2023-2024学年江苏省南京市高一上学期第二次阶段学情调研数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市高一上学期第二次阶段学情调研数学质量检测模拟试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．2．已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．3．已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（

）A． B． C． D．24．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（

）A． B．1 C． D．5．下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．6．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．7．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，均在上单调递增，则（

）A． B．C． D．8．我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的多少也会对人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：室内二氧化碳浓度（单位：）人体生理反应不高于1000空气清新，呼吸顺畅空气浑浊，觉得昏昏欲睡感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中大于5000可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于即为，所以室内要经常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为，若开窗通风后二氧化碳浓度与经过时间（单位：分钟）的关系式为，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为（

）（参考数据：）A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．下列命题中为真命题的是（

）A．函数与不表示同一个函数B．“”的充要条件是C．不等式的解集为D．若，，且满足，则的最小值为11．关于函数，下列选项正确的是（

）A．的最小正周期是 B．在区间单调递减C．在有4个零点 D．的最大值为212．已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（

）A．函数（其中为常数，为回旋函数的充要条件是B．函数是回旋函数C．若函数为回旋函数，则D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．计算：=.14．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是.15．已知，，若，则．16．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则=.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.18．已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.19．已知二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；(3)设，求的最大值.20．已知函数在时的最大值为1.(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间；(3)求使成立的的取值集合.21．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？22．已知函数是定义域上的奇函数，且.(1)判断并证明函数在上的单调性；(2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；(3)令函数，若对，，都有，求实数的取值范围.1．D【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“”的否定是“”.故选：D2．A【分析】根据韦恩图知阴影部分为，结合集合交集、补集的运算求集合即可.【详解】由题图，阴影部分为，而或，且，所以.故选：A3．D【分析】根据扇形面积公式及其基本不等式求出扇形面积取得最大值时的扇形半径和弧长，利用弧度数公式即可求出圆心角.【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，扇形面积为，当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角，故选：D.4．D【分析】计算得到点的坐标，根据三角函数定义计算得到答案．【详解】，即，则．故选：D．5．A【分析】根据不等式恒成立的条件及其必要不充分条件的定义即可求解.【详解】令，其图象开口向上，∵不等式在上恒成立，∴，解得，又∵，∴是的必要不充分条件，选项,,则是的充要条件，选项,,则是的充分不必要条件，选项,,则是的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】利用正切型函数的对称性可得出的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.【详解】因为函数的图象的一个对称中心为，所以，，可得，，则，故函数的最小正周期为，当时，可知函数的一个最小正周期为.故选：C.7．B【分析】根据函数的奇偶性、单调性、三角函数、指数函数、幂函数等知识确定正确答案.【详解】由于，在上单调递增，所以，A选项错误.，在上单调递增，所以，而在上单调递增，所以，B选项正确.是偶函数，且在上单调递增，所以，在上单调递增，所以，C选项错误.是奇函数，，是偶函数，由于在上单调递增，所以，由于在上单调递增，所以.故选：B8．C【分析】由，可求得的值，然后解不等式，可得结果.【详解】由题意可知，当时，，可得，则，由，可得，故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为分钟.故选：C.9．AD【分析】对两边平方得，结合的范围得到，AD正确；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误.【详解】，两边平方得：，解得：，D正确；故异号，因为，所以，A正确；因为，结合，得到，解得：，故，BC错误.故选：AD10．ABD【分析】选项A：函数定义域不同，进而判断函数不同即可；选项B：分析集合间的关系判断；选项C：对进行分类讨论进行判断；选项D：将变形为：，然后利用1的代换，根据基本不等式求解；【详解】选项A:，定义域为,定义域不同，不表示同一函数，选项正确；’选项B：即，即，两者等价，故“”的充要条件是，选项正确；选项C：，当时，无解；当时，解集为；当时，解集为，选项错误；选项D：若，，且满足，所以，所以所以当且仅当即且时取等号，选项正确；故选:ABD11．BD【分析】选项A：举反例说明；选项B：，，将函数化简成然后判断分析；选项C：将函数表示成然后分段判断；选项D：结合三角函数的性质求解判断；【详解】选项A：令，，选项错误；选项B：，，所以在区间单调递减，选项正确；选项C：当，令得解得：当，令得解得：或所以函数在有3个零点，选项错误；选项D：因为所以又所以的最大值为2,选项正确；故选：BD.12．ACD【分析】A选项，得到，从而得到充要条件是；B选项，得到，不存在符合题意；C选项，化简得到有解，则；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点.【详解】函数（其中a为常数，）是定义在R上的连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（其中a为常数，）为回旋函数的充要条件是，A正确；是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，故B错误；在R上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，C正确；由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，当时，有，所以在上至少有1011个零点，D正确.故选：ACD13．10【分析】由指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由指数幂与对数的运算公式，可得：原式本题主要考查了指数幂与对数的运算及性质，其中解答中熟记指数幂与对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.14．【分析】配方后得到函数的单调性，从而结合零点存在性定理得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】由题意得：为连续函数，且在上单调递减，在上单调递增，故，，，所以只需或，解得：，故实数的取值范围是.故15．【详解】因为,所以,又因为,所以,所以===,又因为,所以β=.16．【分析】根据抽象函数的已知关系可得，即有，结合时，有时，且，即可求的值.【详解】由，即有，由，即有，∴，即的周期为2，则，而，即，若令，则，当时，知：，结合，∴时，，∴，故答案为.本题考查了利用函数的周期性及已知区间的解析式求函数值，根据函数关系推导出函数的周期，并由已知区间解析式求目标区间解析式，进而求函数值.17．(1)或(2)答案见解析【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.【详解】（1）当时，，而，所以，则或.（2）选①：因为，所以，当时，则，即，满足，则；当时，，由得，解得；综上：或，即实数的取值范围为；选②：因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，当时，则，即，满足题意，则；当时，，则，且不能同时取等号，解得；综上：或，即实数的取值范围为；选③：因为，所以当时，则，即，满足，则；当时，，由得或，解得或，又，所以或；综上：或，实数的取值范围为.18．(1)(2)【分析】（1）先利用诱导公式化简，再根据平方关系及商数关系即可得解；（2）找出已知角和所求角得关系，再利用诱导公式化简即可得解.【详解】（1），由，得，所以；（2）由，得，则.19．(1)(2)(3)【分析】（1）设，再根据结合系数的关系求解即可；（2）化简可得，再根据在区间上的单调性求最小值即可；（3）求得，再根据对称轴与区间中点的位置关系求最大值分析即可【详解】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，恒成立，，又，

；（2）当时，恒成立，即恒成立，令，当时，单调递减，.所以；（3），，对称轴为，①当，即时，；②当，即时，，综上所述20．(1)(2)(3)【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式，再根据最大值求；（2）利用正弦函数的单调性确定区间；（3）利用正弦函数的图象与性质确定的取值集合.【详解】（1）；因为，所以，所以当时，有最大值，所以，所以.（2），令，得，所以函数的单调递减区间是.（3），即，所以，所以，解得，所以使成立的的取值集合是.21．(1)(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元【分析】（1）分和两种情况下，结合投入成本的解析式求出的解析式；（2）在第一问的基础上，分与，结合函数单调性，基本不等式，求出两种情况下的最大值，得到答案.【详解】（1）由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元，且，当时，，当时，所以利润万元关于年产量台的函数解析式为.（2）当时，，故当时，最大，最大值为1500；当时，，当且仅当时，即时等号成立，综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元22．(1)证明见解析；(2)；(3)；【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；（3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围.【详解】（1），且是奇函数，，，解得，．检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，，所以是奇函数，满足要求；函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，且，则，，且，，，∴，，即，函数在上单调递减.同理可证明函数在上单调递增．（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，所以在上有两个不相等的实数根，则，