2023-2024学年吉林省长春市高一上学期9月月考数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市高一上学期9月月考数学质量检测模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则集合（

）A． B．C． D．2．已知，，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．函数的定义域为（

）A． B．C． D．4．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（

）A． B．，C．， D．，5．已知为正实数，且，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．6．“”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知命题，则的一个必要不充分条件是（）A． B．C． D．8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知全集，集合，，则（

）A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为10．下列命题中假命题有（

）A．，B．“且”是“”的充要条件C．，D．函数的值域为11．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是（

）A． B． C． D．12．（多选）已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题：的否定是．14．设集合，则的非空真子集的个数是．15．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是.16．若函数的定义域是，则函数的定义域为.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）解关于x的不等式；（2）解关于x的不等式.18．全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号．全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌．吉林省某市一块空闲地，垃圾成堆并存在违规菜地现象，为响应政府号召，对这块空闲地进行改造，计划建一面积为4000m2矩形市民休闲广场．为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用．初步决定在休闲广场四周安排绿化带，绿化带东西宽为2m，南北宽为5m．(1)设总占用空地的面积为S（单位：m2），矩形休闲广场东西距离为x（单位：m，），试用x表示为S的函数；(2)当x为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值．19．已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.20．已知函数(1)已知，求函数在区间上的值域；(2)已知，求函数在区间上的最小值．21．设函数(1)若不等式的解集为，试求的值；(2)若，求不等式的解集.22．对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．(1)求二次函数的不动点；(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．1．A【分析】由并集运算的定义可得.【详解】，，根据并集运算的定义可得，.故选：A.2．B【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A，若，则，即A错误；对于B，由，结合糖水不等式可知，或作差法证，即，即B正确；对于C、D，取，则满足，，但，，即C、D错误；故选：B3．C【分析】根据函数要有意义，则需满足要有意义，则，二次根式的被开方数大于或等于0，解不等式即可.【详解】，，且，，且，函数的定义域为.故选：C.4．C【分析】根据同一个函数的概念一一判定即可.【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数，对于A，显然的定义域为，与的定义域为R，定义域不同，即A错误；对于B，显然的定义域为R，与的定义域为，定义域不同，即B错误；对于C，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即C正确；对于D，显然，即的定义域为，而或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D错误；故选：C5．D【分析】由，然后由“1”的代换，利用基本不等式求得最小值．【详解】，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：D.6．B【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可.【详解】由特称命题的否定形式及真假可知：“”为假则其否定形式“”为真命题，显然当时符合题意，当时，由一元二次不等式的恒成立问题得，解之得，综上可得.故选：B7．A【分析】通过分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可.【详解】，，在上恒成立，即，令，，在上单调递减，在上单调递增，当，时，的值均为4，在上的最大值为4，是命题的充要条件，可以得到，而得不到，是命题的一个必要不充分条件，故A正确，而B是命题的充要条件，C是命题的一个充分不必要条件，D是命题的既不充分也不必要条件.故选：A.8．D【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.9．ACD【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.【详解】因为，所以，因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；由，，得，所以，故B不正确；由，，所以，所以，故C正确；由，得中的元素个数为，故D正确.故选：ACD.10．BC【分析】由不等式性质判断A；特殊值法并结合充分、必要性定义判断B；根据函数的性质判断C；利用二次函数性质求值域判断D.【详解】A：由，则，故，真命题；B：显然满足，但此时且不成立，假命题；C：对于，开口向上且，则恒成立，假命题；D：且开口向下，易知其值域为，真命题.故选：BC11．BD【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】由，得当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；当时，不等式的解集为，不符合题意；当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；综上所述：实数的取值范围是.对选项逐一检验，只有，符合.故选：BD12．ABD【分析】利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.【详解】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，故选：ABD13．【分析】根据特称命题的否定形式直接写出即可.【详解】特称命题的否定形式为修改量词为全称量词，并否定结论即可，故命题：的否定是.故答案为.14．14【分析】先求出两个集合的交集，然后再根据元素个数求其非空真子集的个数即可.【详解】因为，所以，其非空真子集有个.故1415．【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.【详解】，，，当且仅当，即时等号成立，，解得.故答案为.16．【分析】根据题意结合函数的表达式，列出x需满足的不等式组，即可求得答案.【详解】由题意知函数的定义域是，故函数需满足，即函数的定义域为，故17．（1）或；（2）【分析】（1）变形后利用公式进行求解；（2）将分式不等式化为一元二次不等式，求出解集.【详解】（1）变形得到，解得或，故解集为或；（2）变形为，故，解得，故不等式的解集为.18．(1)(2)休闲广场东西距离为时，用地最小值为4840．【分析】（1）由题意，根据矩形面积公式列式即可；（2）代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.【详解】（1）因为广场面积须为4000，所以矩形广场的南北距离为m，所以．（2）由（1）知，当且仅当时，等号成立．答：当休闲广场东西距离为时，用地最小值为4840．19．(1)；(2).【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再把代入，利用补集、交集的定义求解作答.（2）由已知可得，再利用集合的包含关系分类求解作答.【详解】（1）解不等式，得，即，当时，，，所以.（2）由（1）知，，由，得，当，即时，，满足，因此；当，即时，，即有，则，解得，因此，所以实数的取值范围.20．(1)(2)【分析】（1）由题意，当时，判断函数在上单调性，可求得值域；（2）利用对称轴与定义域区间的位置关系，分类讨论可得函数在上的单调性，据此可求出函数的最小值.【详解】（1）当时，，的图像是开口向上的抛物线，对称轴是，函数在上单调增函数，，即，函数在上的值域为.（2）因为，所以的图像是开口向上的抛物线，对称轴是直线．如图：

当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，即；当时，即时，函数在上单调减函数，

所以时，．综上所述，当，函数单的最小值为；当时，函数的最小值为．21．(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据不等式的解集确定1和3是方程的两个根，结合韦达定理即可求得答案；（2）求出方程的两根为和2，分类讨论两根的大小，即可求得不等式解集.【详解】（1）由题意知1和3是方程的两个根，且，即有，解得.（2），则不等式，即即，因为，方程的两根为和2，所以：①当，即时，不等式的解集