基于mgm1,n模型的变形监测指标综合预测模型

基于mgm1,n模型的变形监测指标综合预测模型

井开挖导致周围土壤的横向位移和土壤沉降、井内支撑轴的增加和结构自身变形。目前,用于基坑变形预测的方法主要有时间序列分析、人工神经网络和灰色GM(1,1)模型、有限元反演预报等,并已取得一定成果。但是,上述观测数据的分析方法大多采用单测点模式,即按单个测点上仪器的测读数据建立各自的数学关系式,进而获得预测方程,判断该处的工作状态。事实上,基坑开挖各种变形量之间彼此是相关的、互有影响的,如果将它们看作一个整体,进行综合分析,可以通过把握工程总体状况,以增加预测的准确度。文献虽然也考虑了不同监测量间的联系,但只是将各个监测数列作简单的相加处理,最终仍转换为一维预测,在监测数列间关系复杂的情况下,将难以取得有效成果。灰色MGM(1,n)模型作为GM(1,1)模型在多维情况下的自然推广,具有数学推导严谨、适用范围广泛、预测结果准确等优点。充分利用MGM(1,n)模型的优势,通过整体全面地获取工程信息,对具有明确物理意义的较强相关性的各个变量进行综合分析,对于科学、有效地进行变形预测,具有重要意义。1agm1,1模型预测方程运用灰色系统方法进行预测分析,首先需要通过数据生成方法(累加、累减或数据映射)进行数据生成,获得非减的、呈指数规律的递增数列;然后通过微分方程获得拟合的指数曲线方程式,对生成数列进行预测、还原,最终可以得到原始数列的预测值。设有n个相互关联的变形观测点,分别获得了以m为周期的系列变形观测资料。其中一周期的数据序列可记为:{x(0)i(0)i(k)}(k=1,2,…,m;i=1,2,…,n)。其相应的一次累加生成数列记为:{x(1)i(1)i(k)},其中:x(1)i(k)=k∑j=1x(0)i(j)k=1,2,⋯,m;i=1,2,⋯,n(1)x(1)i(k)=∑j=1kx(0)i(j)k=1,2,⋯,m;i=1,2,⋯,n(1)记而MGM(1,n)模型即为基于以上生成数列的n元一阶常微分方程组:记X(0)(k)=(x(0)1(k),x(0)2(k),⋯‚x(0)n(k))Τ‚X(1)(k)=(x(1)1(k),x(1)2(k),⋯‚x(1)n(k))Τ‚A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮an1an2⋯ann)‚B=(b1,b2‚⋯,bn)Τ则式(2)可写为:dX(1)dt=AX(1)+B(3)式(3)即为MGM(1,n)模型的预测方程组。解得时间响应式为:X(1)(k+1)=eAk(X(0)(1)+A-1⋅B)-A-1⋅B(4)其中,eAk=Ι+Ak+A22!k2+⋯=Ι+∞∑n=1Ann!kn;I为单位矩阵。为求得参数A、B,将式(3)离散化后得到:x(1)i(k+1)=n∑j=1aij2(x(1)j(k+1)+x(1)j(k))+bi(5)记ai=[ai1,ai2,…,ain,bi]T,则由最小二乘法得到ai的辨析值ˆai,即ˆai=[ˆai1,ˆai2,⋯,ˆain,ˆbi]Τ=(LΤL)-1LΤYii=1,2,⋯‚n(6)式中:Yi=[x(0)i(2),x(0)i(3),…,x(0)i(m)]TL=[12(x(1)1(2)+x(1)1(1))12(x(1)2(2)+x(1)2(1))⋯12(x(1)n(2)+x(1)n(1))112(x(1)1(3)+x(1)1(2))12(x(1)2(3)+x(1)2(2))⋯12(x(1)n(3)+x(1)n(2))1⋮12(x(1)1(m)+x(1)1(m-1))12(x(1)2(m)+x(1)2(m-1))⋯12(x(1)n(m)+x(1)n(m-1))1]于是可得模型预测公式:{ˆX(1)(k+1)=eˆAkX(1)(1)+ˆA-1(eˆAk-Ι)⋅ˆBk=1,2,⋯ˆX(0)(1)=X(1)(1)=X(0)(1)ˆX(0)(k)=ˆX(1)(k)-ˆX(1)(k-1)k=2,3,⋯(7)其中ˆA=(ˆa11ˆa12⋯ˆa1nˆa21ˆa22⋯ˆa2n⋮ˆan1ˆan2⋯ˆann)‚ˆB=(ˆb1ˆb2⋮ˆbn)为了与施工监测进程同步,模型必须具有递补性。随着变形监测数据的增加,其参数也应同步调整。为此采用所谓“等维灰色递补”模型进行预测。设每m个监测数为一预测段,记t时刻原始数列为:Ζ(0)(t)=(X(0)(t-m+1),X(0)(t-m+2),⋯,X(0)(t))(8)利用该数列建立预测模型,记该模型的A、B矩阵为At、Bt,可以预测t+1时刻数值。随着施工进展,时刻t变为t+1,得到t+1时刻的监测值。此时,保持m值不变,去除X(0)(t-m+1),加入X(0)(t+1),原始数列将变为:Ζ(0)(t+1)=(X(0)(t-m+2),X(0)(t-m+3),⋯,X(0)(t+1))(9)由于原始数列的变化,预测模型的A、B矩阵也必将发生变化,记为At+1、Bt+1。用此更新后的模型再预测t+2、t+3时刻的变形。不断重复以上过程,即可以实现MGM(1,n)模型的动态变化,每加入一个观测数据,就有一个新模型与之对应。由此可见,等维递补MGM(1,n)模型是一个自适应系统,可以实现监测数据的实时更新。但是,计算量将大大增加。刘国华曾对某土石坝的观测资料进行分析与计算,比较了MGM(1,n)模型、自适应MGM(1,n)模型、GM(1,1)模型和自适应GM(1,1)模型这四种模型的预测结果,其中平均相对误差:GM(1,1)模型是2.86%,自适应GM(1,1)模型是3.84%,MGM(1,n)模型是1.86%,自适应MGM(1,n)模型是1.54%。MGM(1,n)模型要优于GM(1,1)模型,与自适应MGM(1,n)模型差别不大。因此,本文仅考虑MGM(1,n)模型的应用。2基坑侧向位移测定某基坑开挖深度7.03～7.43m。采用大直径钻孔灌注桩加一道环形钢筋混凝土内支撑,一排水泥搅拌桩作为止水帷幕。在基坑邻近楼附近,设置测斜孔监测基坑侧向位移,设置M-1和M-2观测点以监测建筑物的沉降。上述三点在一段时间(30d)内的变形监测值如表1所示。2.1关联系数和关联度首先判断测斜孔侧向位移、M-1和M-2沉降系列数据之间的关联度。经过对原始数据进行初值化处理后,得到测斜孔的系列x1、M-1的为x2、M-2的为x3,其标准差分别为σ1、σ2和σ3。采用下列公式计算:关联系数ξij(k)=11+|xi(k+1)-xi(k)σi-xj(k+1)-xj(k)σj|i,j=1,2,3‚k=1,2,⋯14关联度γij=11414∑k=1ξij(k)。计算得γ12=0.9874,γ13=0.9738,γ23=0.9836。可见,这三者之间关联度很强,可以进行联合预测。2.2建立mgm1.4.2模型n=3,m=15,根据上述步骤,可以得到向量x(1)1(15)、x(1)2(15)和x(1)3(15),得到矩阵L(14×4)和Y(14×3)。于是:ˆA=[0.9868-3.36531.33550.1914-0.3741-0.015-0.22511.2616-0.7682]‚ˆB=[14.78187.53189.2832]建立的MGM(1,3)模型为式(10):dx(1)1dt=0.9868x(1)1-3.3653x(1)2+1.3355x(1)3+14.7818dx(1)2dt=0.1914x(1)1-0.3741x(1)2-0.015x(1)3+7.5318dx(1)3dt=-0.2251x(1)1+1.2616x(1)2-0.7682x(1)3+9.2832(10)根据式(7)求得ˆX(1)(k)和拟合值ˆX(0)(k)。与实测值对比如图1和图2所示,可以看到拟合值曲线光滑,实测值绕拟合曲线而波动,拟合效果良好。表2给出了9月26日-10月10日的拟合具体数值和各点相对误差,其中测斜孔相对误差绝对值最大为5.7%,M-1为2.4%,M-2为7.3%。2.3沉降观测点预测误差下面利用上述模型进行预测。预测结果与实测值的比较如表3所示。由表3可以看出,测斜孔位移值预测精度较高,相对误差绝对值最大为2.6%,M-1的为5%,而M-2沉降观测点预测误差较大,达8.4%。这主要是由于该段时间M-2观测值变化异常引起的。平均相对误差:测斜孔处为1.68%,M-1处为1.74%,M-2处为3.3%。从整个施工过程来看,仍然具有相当的准确性。3多点多参数综合预测利用MGM(1,n)灰色模型进行基坑变形综合预测,由于能够考虑各个监测参数间的相互影响关系,因此预测结果更为准确合理。通过预测变量的合理选择与组合,