河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第四章第2节三角形与全等三角形

第二节三角形与全等三角形【课标要求】☆探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论．证明三角形的任意两边之和大于第三边．☆理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．☆了解三角形的重心、垂心、内心、外心的概念．☆探索并证明三角形的中位线定理．☆理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．☆掌握3个基本事实：(1)三边分别相等的两个三角形全等；(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．☆证明定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．☆探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．【教材对接】人教：八上第十一章P1～29，第十二章P30～56；冀教：七下第九章P99～114，八上第十三章P35～51，第十七章P159～161，八下第二十二章P130～133；北师：七下第四章P81～104，P108～109，八上第七章P178～183，八下第六章P150～152.三角形的分类1．按角分eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(三角形)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直角三角形,锐角三角形,钝角三角形))2．按边分eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(三角形)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(不等边三角形,等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(腰与底边不相等的等腰三角形,等边三角形（特殊的等腰三角形）))))三角形的边、角关系3．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边．如图，a＋b>c，|a－b|<c.【温馨提示】判断构成三角形的条件：已知三条线段长，只要较短两条线段长度的和大于第三条线段的长度，即可判定其能构成三角形；已知两边和第三边给定范围求三角形周长时，一定要利用三边关系先判断是否能构成三角形，再计算．4．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.5．三角形内外角关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．6．三角形的稳定性：三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形的三边长度固定，其形状和大小就固定不变了．三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如桥梁、起重机、人字形屋顶等．【基础练1】(1)(2021·宜宾中考)若长度分别是a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是(C)A．1B．2C．4D．8(2)(2021·梧州中考)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于(A)A．32°B．36°C．40°D．128°(3)(2021·唐山丰南区二模)如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC中∠BAC的平分线，则∠ADC的度数为(D)A．40°B．100°C．73°D．107°三角形中的重要线段图示性质备注中线BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，S△ABD＝S△ADC＝eq\f(1,2)S△ABC重心：三角形三条中线的交点，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，如AO＝2OD高线AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°垂心：三角形三条高线的交点续表图示性质备注角平分线∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠BAC内心：三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等中垂线AM＝BM且OM⊥AB，BN＝CN且ON⊥BC外心：三角形三条边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等中位线DE∥BC且DE＝eq\f(1,2)BC△ADE∽△ABC，它们的相似比为1∶2，面积比为1∶4【基础练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G.下面说法正确的是(D)①S△ABE＝S△BCE；②∠FAG＝∠FCB；③∠ABD＋∠ACD＝90°.A．①②③B．①②C．②③D．①③【温馨提示】与角平分线有关的三个角度关系(1)如图1，在△ABC中，若∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则有∠P＝90°＋eq\f(1,2)∠A；(2)如图2，在△ABC中，若∠ABC与外角∠ACE的平分线交于点P，则有∠P＝eq\f(1,2)∠A；(3)如图3，在△ABC中，若外角∠CBF与∠BCE的平分线交于点P，则有∠P＝90°－eq\f(1,2)∠A.全等三角形及其性质与判定7．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．8．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的对应线段(中线、高线、角平分线、中位线)相等；(3)全等三角形的周长相等，面积相等．9．全等三角形的判定(1)全等三角形的判定方法已知条件图示是否全等形成结论三边相等是SSS(基本事实)两角一边两角及其夹边相等是ASA(基本事实)两角及其一角的对边相等是AAS两边一角两边及其夹角相等是SAS(基本事实)两边及其一边的对角相等直角三角形是HL一般三角形不一定三个角相等不一定(2)三角形全等的证明思路(已知边或角对应相等)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(已知两边\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找第三边（SSS）,找夹角（SAS）,找是否有直角（HL或SAS）)),\a\vs4\al(已知,一边,一角)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(已知一边和,它的邻角)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找这条边的另一个邻角（ASA）,找这个角的另一条邻边（SAS）,找这条边的对角（AAS）)),\a\vs4\al(已知一边和,它的对角)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找另一角（AAS）,已知角是直角，找另一边（HL）)))),已知两角\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找两角的夹边（ASA）,找夹边外的任意边（AAS）))))(3)全等三角形常见模型平移模型翻折(轴对称)模型旋转模型三垂直模型【温馨提示】(1)“SSS，SAS，ASA，AAS”适用于所有三角形全等的判定，而“HL”只适用于直角三角形全等的判定．(2)“SSA”和“AAA”不能判定两个三角形全等．(3)证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上．(4)灵活运用“截长补短法”添加辅助线构造全等三角形.【基础练3】(1)如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(C)A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．乙(2)(2021·成都中考)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是(C)A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFDeq\a\vs4\al(三角形的三边关系)【例1】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－9x＋18＝0的两根，则该等腰三角形的周长为15．【解题思路】本题可以先求出一元二次方程的解，从而得出三角形的两边长，再分类讨论第三边的长．注意不要忘记了构成三角形的三边关系是：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边．1．(2021·娄底中考)2，5，m是某三角形三边的长，则eq\r(（m－3）2)＋eq\r(（m－7）2)等于(D)A．2m－10B．10－2mC．10D．42．(2021·大庆中考)三个数3，1－a，1－2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为－3<a<－2．三角形内角和定理、外角与内角的关系【例2】(2021·常州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°.若DE∥AB，则∠AED＝100°.【解题思路】已知∠B和∠C的度数，根据三角形的内角和定理可以求出∠A的度数，由平行线的性质即可求得∠AED的度数．3．(2021·陕西中考)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为(B)A．60°B．70°C．75°D．85°eq\a\vs4\al(全等三角形的判定与性质)【例3】(2021·唐山路北区二模)已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．【解题思路】(1)由平行可得内错角∠A＝∠C，再根据ASA即可得证；(2)根据(1)中的结论以及中位线定理即可求得AB的长．【解答】(1)证明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AB＝CD，,∠B＝∠D，))∴△ABE≌△CDF(ASA)；(2)解：∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴EG＝eq\f(1,2)CD.∵EG＝5，∴CD＝10.∴AB＝CD＝10.4．(2021·唐山滦南县二模)如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD，点E，F为垂足，若EF＝6，∠1＝2∠2，则BC的长为(D)A．6B．8C．10D．125．(2021·河北一模)如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EF＝BC；(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．(1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠EAF＝∠BAC.∵AE＝AB，AF＝AC，∴△EAF≌△BAC(SAS).∴EF＝BC；(2)解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.∴∠FAG＝∠BAE＝50°.由(1)知△EAF≌△BAC，∴∠F＝∠C＝28°.∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.未掌握好三角形全等的判定条件而出错【例】如图，点C，F，B，E在同一直线上，∠C＝∠DFE＝90°，添加下列条件，仍不能判定△ACB与△DFE全等的是()A.∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，CF＝BEC．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E【错解分析】本题考查三角形全等的判定方法，C选项容易遗漏掉HL这种判定方法而出错．还要注意AAA，SSA不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【正确解答】D如图，AB＝DB，∠1＝∠2，添加下列条件不能判定△ABC≌△DBE的是(B)A.BC＝BEB．AC＝DEC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠DEB三角形三边关系(5年2考)1．(2017·河北中考)如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))三角形内角和与内外角关系(5年2考)2．(2021·河北中考)定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A＋∠B.证法1：如图，∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)，又∵∠ACD＋∠ACB＝180°(平角定义)，∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB(等量代换).∴∠ACD＝∠A＋∠B(等式性质).证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°(量角器测量所得).又∵135°＝76°＋59°(计算所得)，∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换).下列说法正确的是(B)A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理3．(2021·河北中考)如图是