第05讲 多边形（8种题型）（解析版）

第05讲多边形（8种题型）【知识梳理】1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：凸多边形凸多边形凹多边形要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．【考点剖析】题型一：多边形及其概念例1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，故选：A．【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．【变式】.下列图形不是凸多边形的是()解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D的图形不是凸多边形．故选D.方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．题型二：确定多边形的边数例2.（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（

）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8【答案】C【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____．【答案】5，6，7．【分析】直接画图，动作操作即可知答案.【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7故填5，6，7．【点睛】本题考查多边形性质，解题关键在于能够画出图形.【变式2】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为()A．14或15或16B．15或16C．14或16D．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A.方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．【变式3】（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．【答案】3或4或5．【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角，故答案为：3或4或5．【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．题型三：确定多边形的对角线的条数例3.从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n边形共有________条对角线．解析：根据n边形从一个顶点出发可引出(n－3)条对角线．从n个顶点出发引出n(n－3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n边形的一个顶点出发有(n－3)条对角线，从而推导出n边形共有eq\f(n（n－3）,2)条对角线．方法总结：(1)多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n－3)条；(2)多边形有n条边，对角线的条数为eq\f(n（n－3）,2).【变式1】（2022春·八年级课时练习）一个十边形有多少条对角线？【答案】【分析】根据多边形对角线计算公式进行求解即可．【详解】解：由题意得，一个十边形有条对角线，答：一个十边形有35条对角线．【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数问题，熟知从n边形一个顶点出发可以引条对角线是解题的关键．【变式2】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n边形有______条对角线．【答案】【分析】由于边形从一个顶点出发可画条对角线，所以边形共有条对角线，根据以上关系直接计算即可．【详解】解：三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，边形有条对角线．故答案为：．【点睛】本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（）

A．54 B．44 C．35 D．27【答案】C【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……一个十边形共有条对角线，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．题型四：根据对角线条数确定多边形的边数例4.从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是()A．6B．7C．8D．9解析：设这个多边形是n边形．依题意，得n－3＝5，解得n＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【变式】．（2023春·全国·八年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（）边形．A．2017 B．2016 C．2015 D．2014【答案】A【分析】边形一个顶点可以画条对角线，代入数据计算即可．【详解】解：设这个多边形是n边形．依题意，得，∴．故这个多边形是2017边形，故选：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线条数，熟记公式是解题关键．题型五：根据分成三角形的个数，确定多边形的边数例5.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是()A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形解析：设原多边形是n边形，则n－2＝6，解得n＝8.故选D.方法总结：从n边形的一个顶点出发可引出(n－3)条对角线，这(n－3)条对角线把n边形分成(n－2)个三角形．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（

）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形【答案】C【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得：，解得：，即这个多边形是七边形，故选C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．【变式2】．（2023秋·八年级课时练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数．【答案】8【分析】根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果．【详解】解：设多边形的边数为，依题意得，解得．∴多边形的边数为8．【点睛】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形是本题的关键．题型六：正多边形的有关概念例6.下列图形中，是正多边形的是()A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．【变式】（2023·全国·八年级假期作业）对于正多边形，下列说法正确的是（

）A．正多边形的边都相等，内角都相等；B．各边相等的多边形是正多边形；C．各角相等的多边形是正多边形；D．由正多边形构成的多边形是正多边形；【答案】A【分析】A.由正多边形的性质可得B.举反例判断即可C.举反例判断即可D.举反例判断即可【详解】A.由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确B.菱形不是正方形，错误C.矩形不是正方形，错误D.正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误故选：A．【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．题型七：多边形面积例7．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A．25 B．12.5 C．9 D．8.5【答案】B【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．试题解析：如图：小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25S△AED=DE•AE=×1×2=1，S△DCH=•CH•DH=×2×4=4，S△BCG=BG•GC=×2×3=3，S△AFB=FB•AF=×3×3=4．5．S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5．故选B．【变式】（2022·全国·八年级专题练习）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________．【答案】【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．【详解】解：四边形ABCD的面积为：=，故答案为：．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．题型八：确定三角形个数例8.（2023·全国·八年级假期作业）从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成__________个三角形．【答案】/十四【分析】从n边形的一个顶点出发有条对角线，共分成了个三角形．【详解】解：当时，，即可以把这个十六边形分成了个三角形，故答案为：．【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟记相关公式是解题的关键，如果记不住公式，可以从四边形、五边形开始，画图探索规律．【变式】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）从n边形的一个顶点出发画对角线，可以将这个n边形分割成__________个三角形．【答案】/【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形，据此即可解答．【详解】解：从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形．故答案为：．【点睛】本题主要考查多边形的对角线，掌握从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·全国·八年级假期作业）从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．【详解】解：设多边形的边数为，由题意，得：，∴，∴该多边形的边数为7；故选C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6【答案】C【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：根据图形可知，过边形的一个顶点引出的对角线，把边形分成的三角形的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】观察图形，找出规律，列出代数式即可．【详解】解：观察图形可得：第1个图，过四边形的一个顶点引出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；第2个图，过五边形的一个顶点引出2条对角线，把四边形分成了3个三角形；第3个图，过六边形的一个顶点引出3条对角线，把四边形分成了4个三角形；……第个图，过边形的一个顶点引出条对角线，把边形分成个三角形；故选：B．【点睛】本题考查了找规律-图形变化类，仔细观察图形，找到变化规律是解题的关键．4．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解．【详解】解：设多边形有n条边，则，解得，．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．5．（2023·全国·八年级假期作业）下列说法错误的是（

）A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；B．四边形有2条对角线；C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；D．六边形的六个角都相等；【答案】D【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．6．（2023春·浙江·八年级专题练习）从一个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形是（）A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】C【分析】根据n边形从一个顶点出发，可引出条对角线，即可求解．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则，解得，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发，可引出条对角线是解题的关键．7．（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：．【点睛】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．8．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（

）A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18【答案】A【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，故选：【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.二、填空题9．（2023秋·八年级单元测试）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．【答案】2025【分析】从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，由此即可解决问题．【详解】解：从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，，，故答案为：2025．【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形．10．（2023春·八年级单元测试）若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则_____．【答案】13【分析】根据对角线构成，不是一条边上的两个端点连线构成对角线，一个顶点所在两条边上与其相邻的两个顶点除外，边形的一个顶点引出条对角线直接求解即可得到答案．【详解】解：从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，根据题意得，解得，故答案为：13．【点睛】本题考查多边形对角的规律，掌握边形的一个顶点引出条对角线是解决问题的关键．11．（2023·全国·八年级假期作业）若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________【答案】三角形【分析】由多边形的对角线的定义可得答案．【详解】解：一个多边形无对角线，则这个多边形是三角形，故答案为：三角形【点睛】本题考查的是多边形的对角线的含义，熟记图形特点与对角线的定义是解本题的关键．12．（2022·全国·八年级专题练习）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______．【答案】6或7或8【分析】存在三种情况，根据图示进行分析．【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8，故答案为：6或7或8．【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解．13．（2023·全国·八年级假期作业）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．【答案】14或15或16【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，∴此时原多边形的边数为；如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，∴此时原多边形的边数为15；如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，∴此时原多边形的边数为；综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．故答案为：14或15或16．【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．14．（2023春·广西贵港·八年级统考期中）若一个多边形经过一个顶点的对角线将该多边形分成8个三角形，则该多边形为___________边形．【答案】十【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，计算可求解．【详解】解：设这是个n边形，由题意得：，故答案为：十．【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键．15．（2023·全国·八年级假期作业）一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成个三角形．则这个多边形有______条边．【答案】7【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，即可求解得到答案．【详解】解：设多边形有条边，则，解得：．所以这个多边形有条边，故答案为：．【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题关键．16．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则______．【答案】216【分析】根据m边形从一个顶点发出的对角线有条，从而可求得m的值；又根据n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，从而可求得n的值；再根据k边形共有对角线条，从而可求得k的值，代入即可求出代数式的值．【详解】解：∵m边形从一个顶点发出的对角线有条，∴，又∵n边形没有对角线，∴，又∵k边形有2条对角线，∴，∴，（舍去）∴．故答案为：216．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记n边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．17．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是___．【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案．【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式：下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十七边形如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十八边形如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十九边形∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形．【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解．18．（2023春·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____．【答案】3或4或5【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变．【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．故答案为：3或4或5．【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况．三、解答题19．（2023春·浙江·八年级专题练习）画图题：(1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形；(2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形；(3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可；（2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；（3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可；（2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；（3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；【点睛】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键．20．（2021春·八年级课时练习）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是几边形？【答案】九边形【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，解得：n=9，故这个多边形是九边形．【点睛】本题考查了多边形的对角线分成三角形的问题，理解n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形是解题的关键．21．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）如图，请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…n正多边形每个内角的度数（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【答案】（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解．【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-°求解；（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．【详解】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n，故答案为60°，90°，108°，120°，…，；（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）正方形和正八边形（如下图所示），理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解，即2m＋3n＝8的正整数解，只有一组，∴符合条件的图形只有一种．【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．22．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678……从一个顶点出发的对角线的条数12345……①多边形对角线的总条数2591420……②(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.(2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?【答案】(1)①，②(2)他们一共通了2850次电话【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），故答案为：，．（2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，则，答：他们一共通了2850次电话．【点睛】本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．23．（2023春·全国·八年级专题练习）探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有___