人教版八年级数学上册12.2.2全等三角形的判定2(边角边)

八年级上册12.2.2

三角形全等的判定

（第2课时）2021/5/91学习目标1.了解“SAS”公理的形成过程。2.掌握“SAS”公理的几何意义，会用定理进行推理证明。3.注意：掌握“SSA”不能保证两个三角形全等的反例图形的几何意义。自学指导自学课本：第37-39页，包括课后练习2021/5/92

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：三角形全等判定方法1知识回顾:2021/5/93C2021/5/94D2021/5/95

三步走：①准备条件②摆齐条件③得结论注重书写格式2021/5/96除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.思考(2)三条边(1)三个角(3)两边一角(4)两角一边当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:SSS不能!?2021/5/97继续探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图二在图一中，∠A是AB和AC的夹角，符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”2021/5/98尺规作图，探究边角边的判定方法问题1先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ABC2021/5/99ABCA′

DE尺规作图，探究边角边的判定方法现象：两个三角形放在一起能完全重合．说明：这两个三角形全等．

画法：（1）画∠DA′E=∠A；（2）在射线A′D上截取

A′B′=AB，在射线

A′E上截取A′C′=AC；（3）连接B′C′．B′

C′

2021/5/910三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF尺规作图，探究边角边的判定方法2021/5/911例1已知:如图,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求证:△ACB≌△ADB.ABCD证明:在△ACB和△ADB中

AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB(公共边）∴△ACB≌△ADB（SAS）课堂练习2021/5/912CABDO在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：(1)如图，在△AOB和△DOC中已知AO=DO，BO=CO，求证：△AOB≌△DOCAO=DO(已知)______=_______()BO=CO(已知)∴△AOB≌△DOC（）∠AOB∠DOC对顶角相等SAS证明：在△AOB和△DOC中2021/5/913(2).如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD,AC=AB。求证：△AEC≌△ADB____=____(已知)∠A=∠A(公共角)____=____(已知)∴△AEC≌△ADB（）AEBDCAEADACABSAS证明：在△AEC和△ADB中2021/5/914证明三角形全等的步骤：1.写出在哪两个三角形中证明全等。（注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）.2.按边、角、边的顺序列出三个条件，用大括号合在一起.3.写出结论.每步要有推理的依据.2021/5/915在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二是图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等.线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质.2021/5/916如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．课堂练习2021/5/917

已知：如图，MA＝NB，MC＝ND，∠M＝∠N．求证：AB＝CD．∠M∠N

MCND

(SAS）

全等三角形的对应边相等

等量减等量差相等

∴△AMC≌△BND∴AC=BD∴AC-BC=BD-BC∴AB=CD证明：在△AMC和△BND中课堂练习2021/5/918利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．应用“SAS”判定方法，解决简单实际问题问题2某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？2021/5/919问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？AB例题讲解，学会运用2021/5/920ABCED在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连结AC并延长至D使CD=CA延长BC并延长至E使CE=CB连结ED，那么量出DE的长，就是A、B的距离.你知道为什么吗？例题讲解，学会运用按图写出“已知”“求证”，并加以证明已知：AD与BE交于点C，CA=CD，CB=CE.求证：AB=DE2021/5/921例题讲解，学会运用AC=

DC（已知），∠1=∠2（对顶角相等），BC=EC（已知）

，证明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC（SAS）．∴

AB=DE（全等三角形的对应边相等）．2021/5/922FABDCE例2：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF

求证：△AFD≌△CEB分析：证三角形全等的三个条件两直线平行，内错角相等∠A=∠C边角边AD//BCAD=CBAE=CFAF=CE？（已知）2021/5/923证明：∵AD//BC∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）又∵AE=CF在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

△AFD≌△CEB（SAS）∴AE+EF=CF+EF即AF=CE

摆齐根据写出结论FABDCE指范围准备条件(已知）(已证）(已证）2021/5/924练习1、如图，两车从路段AB的一端A出发，分别向东，向西行进相同的距离，到达C、D两地，此时C、D到B的距离相等吗？为什么？ADCB2021/5/9251.已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD△ABD和△CBD全等吗？学以致用分析:△ABD≌△CBD边:角:边:AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已知)？ABCD(SAS)BD=BD(公共边）证明：在△ABD和△CBD中

BA=BC（已知）∠ABD=∠CBD（已知）

BD=BD(公共边）∴△ABD≌△CBD（SAS）追问：例1的已知条件不改变,问AD=CD吗?BD平分∠ADC吗？

2021/5/926已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD。问AD=CD，

DB平分∠ADC吗？例题推广ABCD2021/5/927ABCD变式：已知:AD=CD，BD平分∠ADC。

问∠A=∠C吗？2021/5/9282.已知：如图，AO=BO，DO=CO求证：AD∥CB归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。2021/5/929综合提高已知：AB=AD，CB=CD.求证：AC⊥BD.分析：欲证AC⊥BD，只需证∠AOB=∠AOD，这就要证明

ABO≌ADO，它已经具备了两个条件：AB=AD，OA=AO,所以只需证∠BAO=∠DAO，为了证明这一点，还需证明

ABC≌ADC.证明：在

ABC和ADC中，AB=AD(已知），CB=CD（已知），AC=AC(公共边）∴

ABC≌ADC（SSS），∴∠BAO=∠DAO(全等三角形的对应角相等）在

ABO和ADO中，AB=AD(已知），

∠BAO=∠DAO(已证），AO=AO(公共边）∴

ABO≌ADO（SAS），∴∠AOB=∠AOD(全等三角形的对应角相等）∴∠AOB=∠AOD=90°.∴AC⊥BD(垂直定义）.又∵∠AOB+∠AOD=180°(邻补角定义）如右图，2021/5/930如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=

AD，∠B=∠B，但△ABC和△ABD不全等．

探索“SSA”能否识别两三角形全等问题3

两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？ABCD2021/5/931

画△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm

，AC=DF=3cm

．观察所得的两个三角形是否全等？

两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．探索“SSA”能否识别两三角形全等2021/5/932课堂练习1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：△ABC≌△ADE.122、已知：如图，AE是△ABC的中线，D是BC延长线上一点，且CD＝AB，∠BCA＝∠BAC.求证：AD＝2AE.ABCDE【点评】这里∠1和∠2不是所证三角形中的角，∠BAC和∠DAE才是三角形的内角.所以须证∠BAC＝∠DAE，才能满足①、②、③三个条件.

【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形是一种常用的思考方法.若已知条件中有中线，常延长中线成两倍关系，构成全等三角形.F2021/5/933证明题：3．已知:如图，AD∥BC，AD＝CB.

求证:AB＝CD.【提示】连结AC，由△ABC≌△CDA，故AB＝CD.

4．已知:如图，∠1＝∠2，BD＝CA.

求证:∠A＝∠D.

【提示】先证ΔABC≌ΔADC2021/5/934求证:(1)AE＝CF；(2)AE∥CF；(3)∠AFE＝∠CEF.5．已知:如图，B、F、E、D在一条直线上，AB＝CD，BF＝ED，∠B＝∠D.

【提示】先证ΔABE≌ΔDCF6．已知：如图，ABC为直线，EB⊥AC，BD＝BC，AB＝BE.

求证：AF⊥EC.【提示】求证△ABD≌△EBC，

得∠A＝∠E，因为∠ADB＝∠EDF，∠A＋∠ADB＝90°，所以∠E＋∠EDF＝90°，

AF⊥EC.2021/5/935已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，FD⊥AD，垂足分别是A，D。求证：△EAB≌△FDCAEBCDF∟∟90°附加题2021/5/936已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACE证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB

即∠DAB=∠EAC

在△ABD和△ACE中，

AB=AC