第02讲 三角形的高、中线、角平分线与稳定性（6种题型）（原卷版）

第02讲三角形的高、中线、角平分线与稳定性（6种题型）【知识梳理】一、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．二、三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【考点剖析】题型一、三角形的高例1．如图，△ABC中AB边上的高是（）A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC【变式1】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()．【变式2】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A． B． C． D．例2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．例3．如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．（1）在△BOC中，OB边上的高是，OC边上的高是，BC边上的高是．（2）在△AOC中，OA边上的高是，OC边上的高是，AC边上的高是．（3）在△AOB中，OA边上的高是，OB边上的高是，AB边上的高是．题型二、三角形的中线例4．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．【变式1】已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是．例5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．例6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．题型三、三角形的三条重要线段例7．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．例8．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④题型四：三角形面积例9．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于．【变式1】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且，则为________．【变式2】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？题型五：重心例10．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）在正方形网格中的位置如图所示，点，，，均在格点上，则点是的（

）A．三条内角角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．无法确定【变式】（2022秋·八年级单元测试）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是点______．（从中选择）题型六、三角形的稳定性例11.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【变式1】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【变式2】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?【过关检测】一、单选题1．（2023秋·八年级课时练习）下列说法中错误的是（

）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条中线一定交于同一点 D．三角形的三条高交于同一点2．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，若是的中线，，则（

）A．12 B．10 C．16 D．83．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·广东东莞·八年级校联考期中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是（

）A．三角形的中线 B．三角形的角平分线 C．三角形的高 D．以上答案均正确5．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列四个图形中，线段是的高的是（

）A． B．C． D．6．（2022秋·内蒙古通辽·八年级校考期中）三角形三条（

）的交点叫做三角形的重心A．高 B．角平分线 C．外角角平分线 D．中线7．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6二、填空题8．（2023秋·湖南株洲·八年级校考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为___．9．（2023秋·八年级课时练习）如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高．10．（2023秋·八年级课时练习）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为_____________．11．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于______．12．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是的中线，G是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．13．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为____．14．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在中，已知点分别为的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为_______15．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为_____________．三、解答题16．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为14，的面积为3，求四边形的面积．17．（2023秋·八年级课时练习）在锐角中，，，、分别是的边、上的高，且，求的长．18．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）如图，已知分别是的高和中线，，，求：(1)的面积；(2)的长；(3)和的周长的差．19．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段的交点称作格点，请按下列要求作图并填空(1)画出中，边上的高；(2)画出中，边上的高；(3)直接写出的面积是______.20．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知．(1)画出的中线和角平分线；(2)画出的高，．21．（2023秋·八年级单元测试）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置