专题10 几何中的尺规作图问题（原卷版）

专题10几何中的尺规作图问题目录一、热点题型归纳【题型一】线段的尺规作图【题型二】角的尺规作图【题型三】垂线的尺规作图【题型四】三角形的尺规作图二、最新模考题组练【题型一】线段的尺规作图【典例分析】如图，已知直线a、b及点P．过点P作线段，使得点A、B分别在直线a、b上，分别根据下列条件作图．（尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明）(1)PA＝PB；(2)PA＝2PB．【提分秘籍】基本规律1.作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a。求作：线段AB，使AB=a。作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a。则线段AB就是所求作的图形。2.作已知线段的垂直平分线已知：如图，线段MN。求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）。作法：（1）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（2）连接PQ交MN于O；则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。【变式演练】1．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）如图,已知线段a,直线AB和CD相交于点O.利用尺规按下列要求作图：（1）在射线OA、OB、OC、OD上作线段OA′、OB′、OC′、OD′，使它们分别与线段a相等；（2）连接A′C′、C′B′、B′D′、D′A′.你得到了一个怎样的图形？2．按要求作图，并保留作图痕迹．如图，已知线段a、b、c，用圆规和直尺作线段AD，使AD=a+2b﹣c．【题型二】角的尺规作图【典例分析】如图，在中，．(1)请在图1中上方作射线，使得；在射线上作一点，作以为直径的圆，使其恰好过点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注字母、）(2)在（1）中所作的图形中，设圆交于点，若，，则的长为______．（如需画草图，请使用图2）【提分秘籍】基本规律1.作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB，求作：射线OP，使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长，为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP；则射线OP就是∠AOB的角平分线。2.作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB。求作：∠A'O'B'，使A'O'B'=∠AOB作法：（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O'为圆心，以OM的长为半径画弧，交O'A'于M'；（4）以M'为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N'；（5）连接O'N'并延长到B'；则∠A'O'B'就是所求作的角。【变式演练】1．如图，已知，P、F是、上一点．(1)用尺规作图法作；(2)若，，，求与的距离．2．请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图①中作出一点D，使得∠ADB＝2∠C；（2）在图②中作出一点E，使得∠AEB＝∠C．【题型三】垂线的尺规作图【典例分析】如图，在中，．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点D，在，上求作点M，N，使A，D关于直线对称；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接，，若，，则四边形的周长为．（如需画草图，请使用图2）【提分秘籍】基本规律1.经过直线上一点做已知直线的垂线。已知：如图，P是直线AB上一点。求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过D、Q作直线CD；则直线CD是求作的直线。2.经过直线外一点作已知直线的垂线已知：如图，直线AB及外一点P。求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB。作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过P、Q作直线CD；则直线CD就是所求作的直线。【变式演练】1．如图1，点O是线段上的一点，经过点B(1)尺规作图：过点A作的一条切线，切点为P（不写作法，保留作图痕迹，用黑笔描黑加粗）(2)在（1）的条件下，连接，若，如图2，求证：2．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）(2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．【题型四】三角形的尺规作图【典例分析】如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．【提分秘籍】基本规律1.已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.作法：（1）作线段AB=c；（2）以A为圆心，以b为半径作弧，以B为圆心，以a为半径作弧与前弧相交于C；（3）连接AC，BC；则△ABC就是所求作的三角形。2.已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n，∠。求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n。作法：（1）作∠A=∠；（2）在AB上截取AB=m，AC=n；（3）连接BC；则△ABC就是所求作的三角形。3.已知两角及夹边作三角形。已知：如图，∠，∠，线段m。 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠，AB=m。作法：（1）作线段AB=m；（2）在AB的同旁，作∠A=∠，作∠B=∠，∠A与∠B的另一边相交于C；则△ABC就是所求作的图形（三角形）。【变式演练】1．已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图．（1）在图1中作点P，使得是等腰三角形：（2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心．2．如图，点都在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.（不写作法，保留作图痕迹）（1）在图1中，若，画一个的内接等腰直角三角形.（2）在图2中，若点在弦上，且，画一个的内接等腰直角三角形.1．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知：如图，中，，点是边上一点．(1)尺规作图：以为对角线作平行四边形（要求：保留作图痕迹，不写作法）；(2)填空：当时，平行四边形是菱形．2．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，，，则__________．（如需画草图，请使用图2）3．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知点是矩形中边的中点，连接．(1)分别在、边上求作点、点，使得点关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法）(2)在（1）的条件下，若，，求．4．（2023·江苏扬州·统考一模）【尺规作图】在中，点D、E、F分别在边上，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，(1)如图1，连接，若是的中线，请作出点F，使平分线段；(2)如图2，当时，请作出点D，使；【方案设计】如图3，在问题（2）中，如果符合条件的点D有且仅有一个，请设计画图方案，画出图形（无需尺规作图）5．（2023·江苏扬州·校联考一模）（1）如图1，在中，E为的中点，在上找出一点N，使得请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（2）如图，已知，点P为平面上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①如图2，若点P在边上，且，请在边上确定一点Q，使得；②如图3，若点P在内，过点P作线段，M在边上，N在边上满足．6．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，的边上有一点，以点为圆心，为半径作圆，与边的另一交点为点，过点作的切线，点在射线上．(1)仅用圆规，在边上求作一点（不与、重合），使、所在直线与互相垂直（保留作图痕迹）；(2)连接交于点，，．①若的半径为2，求长；②当的半径为多少时，取最大值？7．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足．(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点；（不要求写作法，但保留作图痕迹）(2)若，试确定的值．8．（2023·江苏无锡·统考一模）数学实验室：有一个直角三角形纸板，，，．小明计划以三角形的一条边为直径所在的边，先剪出一个最大的半圆，用这个半圆围成一个圆锥的侧面，然后在剩下的纸板上再剪出一个完整的圆，用这个圆作为圆锥的底面圆．如图1，小明首先以斜边为直径所在的边进行尝试，发现无法实现他的计划，他打算换成直角边来继续实验．(1)请你在图2中，任选一条直角边为直径所在的边，帮小明画出一个最大的半圆（请使用无刻度的直尺和圆规完成作图）；(2)如果小明按照你选的直角边继续往下操作，他能否顺利得到这个圆锥的底面圆？如果能，请说明理由；如果不能，那么换另一条直角边能否实现？同样请说明理由．（友情提醒：请利用图3完成题（2）的解答）9．（2023·江苏宿迁·统考一模）【问题提出】在一次折纸活动课上，老师提出这样一个问题：如何把一张正方形的纸通过折叠的方式等分成若干份？【解决问题】以下是某个小组的活动过程：若是等分成两份，如图①直接对折，四等分、八等分在二等分的基础上进行对折即可，那三等分呢？学习过相似三角形的相关知识后，小明提出了如下方法：如图②，折出的中点E、F，连接交对角线于点G、H，过点G、H折出的平行线，折痕三等分正方形纸片．(1)小明的想法正确吗？若正确，请证明；(2)尺规作图：如图③，请你用尺规作图，作线段的三等分点（保留作图痕迹，并简要说明作法）．10．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在中，点是的中点，．(1)试用无刻度的直尺和圆规，在上作一点，使得直线平分的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)；(2)在（1）的条件下，若，，求的长．11．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．12．（2022·江苏南京·统考二模）如图，已知．点，分别在，上，且满足，．(1)用直尺和圆规确定点，；（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，，与交于点．①求证；②若，，，则的长为________．13．（2022·江苏南京·统考二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．(1)【初步理解】如图①~③，四边形是矩形，和都与边相切，与边相切，和都经过点，经过点，3个圆都经过点．在这3个圆中，是矩形的第Ⅰ类圆的是________是矩形的第Ⅱ类圆的是________．(2)【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．(3)【深入研究】如图④，已知矩形，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．14．（2022·