第一章 有理数热考题型复习（解析版）

第一章有理数热考题型复习题型一．有理数相关概念及分类1．下列各数中：、、、、0、、中，负有理数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】先化简，根据负数的意义：数字前面带“”的数，直接得出答案即可．【解析】，；所以负有理数有：、、，共4个．故选：．【点评】此题考查负数的意义，注意把数据化为最简形式，再进一步判定即可．2．下面说法中正确的有A．非负数一定是正数 B．有最小的正整数，有最小的正有理数 C．一定是负数 D．0既不是正数，也不是负数【分析】根据正负数的定义及有理数的分类即可得出答案．【解析】非负数包括0和正数，选项不合题意，没有最小的正有理数，选项不合题意，若是负数，则是正数，选项不合题意，既不是正数，也不是负数，选项符合题意，故选：．【点评】本题主要考查正负数的定义和有理数的分类，关键是要牢记有理数的分类．3．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【解析】①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；故选：．【点评】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．4．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是A． B． C． D．【分析】依据实数的分类方法进行判断即可．【解析】、是分数，不符合题意；、是分数，不符合题意；、是无理数，不是分数，符合题意；、是分数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查的是实数，掌握实数的相关概念和分类方法是解题的关键．5．阅读下列材料：设①，则②，则由②①得：，即．所以．根据上述提供的方法把化成分数为．【分析】设①，则②，则由②①得：，即，根据此规律求解即可．【解析】设①，则②，则由②①得：，即，，故答案为：．【点评】本题主要考查有理数计算中的规律性问题，根据规律把循环小数化成分数是解题的关键．6．把下列各数填在相应的集合内：，，，0，，1000，，4，，，，，（每两个3之间依次多一个．正有理数集合：，，1000，4，；负数集合：；整数集合：；分数集合：．【分析】根据有理数的分类即可求出答案．【解析】正有理数集合：，，1000，4，；负数集合：，，，，；整数集合：，0，1000，4，；分数集合：，，，，，．故答案为：，，1000，4，；，，，，；，0，1000，4，；，，，，，．【点评】本题考查有理数的分类，知道有理数分为整数和分数是关键，属于基础题型．7．把下列各数的序号填在相应的数集内：①1；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧6.121221222；⑨．非负整数集合①，④，⑦负分数集合负数集合【分析】根据有理数的分类方法分别填写即可．【解析】非负整数集合①，④，⑦，负分数集合②，⑥，负数集合②，⑥，⑨，【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．8．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．，2.5，1，，0，，，；整数集合分数集合正有理数集合负有理数集合【分析】根据整数、分数、正有理数以及负有理数的定义进行判断．【解析】整数集合，1，；分数集合，，，；正有理数集合，1，，；负有理数集合，．故答案为：，1，0；2.5，，，；2.5，1，，；，．【点评】本题考查了有理数，利用有理数的分类是解题关键．9．把下列各数填入它所属的集合内：15，，，，0，，2.3，，，5．（1）分数集合，，，2.3，；（2）自然数集合；（3）非正整数集合；（4）非负有理数集合．【分析】根据有理数的分类解答即可．【解析】15，，，，0，，2.3，，，5．（1）分数集合，，，2.3，；故答案为：，，，2.3，；（2）自然数集合，0，；故答案为：15，0，5；（3）非正整数集合，；故答案为：，0；（4）非负有理数集合，，0，2.3，，．故答案为：15，，0，2.3，，5．【点评】本题考查了正数和负数以及有理数，掌握相关定义是解答本题的关键．10．将下列各数填在相应的圆圈里（每个数只能写在一个对应区域内），，75，，，0，，，．【分析】根据有理数的定义及其分类可得．【解析】如图所示．【点评】本题主要考查有理数，解题的关键是掌握有理数的定义及其分类．题型二．数轴11．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是A． B． C．1 D．2【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到的取值范围，进而得出答案．【解析】根据数轴得：，可以是．故选：．【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．12．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是①；②；③；④．A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】数轴可知，，求出，，，根据以上结论判断即可．【解析】从数轴可知：，，①正确；②错误，，，，③错误；，，，，，④正确；即正确的有①④，故选：．【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法、加法、减法等知识点的应用，关键是能根据数轴得出，．13．如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是A． B． C． D．【分析】根据数轴可知点在数轴上．【解析】如图，由图可知点在数轴上．故选：．【点评】本题考查了数轴，正确掌握数轴的特点是关键．14．下列数轴表示正确的是A． B． C． D．【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断．【解析】选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；选项，没有原点，故该选项错误；选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；故选：．【点评】本题考查了数轴的画法，画数轴的时候要注意原点，正方向，单位长度要画全．15．如图，数轴上的点，分别表示数，2，，分别是线段，的中点，则点表示的数是．【分析】由题意可得的长度，然后利用线段的中点求得的长度，再结合数轴即可求得点表示的数．【解析】数轴上的点，分别表示数，2，，，分别是线段，的中点，，，点表示的数是，故答案为：．【点评】本题主要考查有理数与数轴的关系，结合已知条件求得的长度，进而求得的长度是解题的关键．16．数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则．【分析】由数轴可得，去掉绝对值跟绝对值里面的数与零的大小有关系．【解析】，，，，故答案为：．【点评】本题考查了数轴和绝对值知识点，熟练掌握数轴知识点，根据字母的大小去掉绝对值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．17．在数轴上表示，0，1，四个数的点如图所示，若，则的值为．【分析】由已知条件和数轴可知：，，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．【解析】由已知条件和数轴可知：，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．数轴左边的为负数，右边的为正数．18．数轴上点表示数为，从出发，沿数轴向右移动5个单位长度到达点，则点表示的数是3．【分析】根据题意画出数轴，利用数形结合即可得出结论．【解析】如图所示：由图可知，从出发，沿数轴向右移动5个单位长度到达点，则点表示的数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是数轴的特点，能借助于数轴，利用“数形结合”的特点进行解答是解答此题的关键．题型三．绝对值19．如果，那么A． B．或2 C． D．2【分析】根据绝对值的意义求解即可．【解析】．故选：．【点评】此题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义．20．当，，且，则的值为A． B．或 C．2 D．【分析】先根据绝对值的性质，判断出、的大致取值，然后根据，进一步确定、的值，再代入求解即可．【解析】，，，，，．，当，时，；当，时，；故的值为或．故选：．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出、的值是解答此题的关键．21．下列各组数中，互为相反数的是A．与 B．与 C．与 D．与【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，从而分别分析，，，四项中符合相反数定义的选项．【解析】项中，，与互为相反数．项中，，，所以与不互为相反数．项中，，，与相等，不互为相反数．项中，，，与不互为相反数．故选：．【点评】本题考查了绝对值的性质和相反数的定义，属于比较基本的问题．题型四．非负数的性质22．若，则与的大小关系是A． B．与互为倒数 C．与异号 D．与不相等【分析】根据非负数的性质列出方程，求出、的值即可．【解析】，，，，，，．故选：．【点评】注意两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0．23．如果，那么A． B．5 C． D．1【分析】根据任何数的绝对值都是非负数，可以得，，即可求解．【解析】，，，，解得，，．故选：．【点评】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质：多个非负数的和为零，那么每一个加数必为零．24．若，求的值．【分析】根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解析】由题意得，，，解得，，所以，．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．25．若，则的值为A． B． C．9 D．6【分析】根据非负数的性质列式求出的值，然后再代入代数式进行计算．【解析】根据题意得，，，解得，，．故选：．【点评】本题主要考查了非负数的性质，几个非负数相加等于0，则每一个算式都等于0．26．若，则的值为A． B． C． D．【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案．【解析】，，，解得：，，则的值为：．故选：．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．27．下列说法正确的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【分析】根据偶次幂，倒数的意义逐项进行判断即可．【解析】如果，那么或，因此选项不符合题意；如果，设，那么，因此选项不符合题意；如果，那么是正确的，因此选项符合题意；如果，设，那么，因此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查偶次幂，倒数的意义，理解偶次幂的性质和倒数的意义是正确判断的前提．28．若，则．【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．【解析】，，，解得，．．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．若，求的值．【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性，求出、的值，再代入计算即可．【解析】，，，，，解得，，．【点评】本题考查绝对值，偶次方的非负性，理解绝对值、偶次方的非负性是解决问题的关键．30．已知，求的值．【分析】根据非负数的意义，求出、的值，再代入计算即可．【解析】，，，即：，，，答：的值为13．【点评】本题考查非负数的意义，求出、的值是正确解答的前提．题型五．有理数的混合运算及应用31．已知、为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示、异号的有个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由得到，可判断、一定异号；由时，可判断、一定异号；由得到，当时，不能判断、不一定异号；由可得到，当，则不能、不一定异号．【解析】当时，、一定异号；当时，、一定异号；当，则，可能等于0，，、不一定异号；当，，即，所以，有可能，、不一定异号．所以一定能够表示、异号的有①②．故选：．【点评】本题考查了有理数的混合运算：先算乘方，再进行有理数的乘除运算，最后进行有理数的加减运算；有括号先计算括号．也考查了绝对值的意义．32．对于一个自然数，如果能找到正整数、，使得，则称为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则是“好数”，据此判断即可．【解析】根据分析，，是好数；，是好数；，11是一个质数，不是好数；，是好数．综上，可得在8，9，10，11这四个数中，“好数”有3个：8、9、11．故选：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．（2）此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果是合数，则是“好数”．33．为有理数，定义运算符号△：当时，△；当时，△；当时，△．根据这种运算，则△△的值为．【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果．【解析】根据题中的新定义得：△△，则原式△△，故答案为：【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．34．规定如下两种运算：；⊕．例如：；2⊕．若⊕的值为79，则的值是7．【分析】根据；⊕，⊕的值为79，可以得到的值，然后将所求式子化简，再将的值代入计算即可．【解析】；⊕，⊕的值为79，，，解得，，故答案为：7．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，求出的值．35．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为1，则输出的值为4．【分析】把1代入程序框图中计算，判断结果与0大小，小于0，再代入程序框图中计算，判断结果与0大小，即可得到输出的值．【解析】根据题意得：，，故输出的值为4．故答案为：4．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清运算程序是解题的关键．36．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可；（2）先算乘方和去绝对值，然后算乘除法、最后算加减法．【解析】（1）；（2）．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．37．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先做括号和绝对值内的运算，再计算乘法，最后计算减法；（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的运用．【解析】（1）；（2）．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．38．某一出租车一天下午以鼓楼为出发点，在东西方向上营运，向东为正，向西为负，行车依先后次序记录如下：（单位：，，，，，，，，，．（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼什么方向？（2）若每千米的价格为2.4元，司机一下午的营业额是多少元？【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得出租车离鼓楼出发点多远，在鼓楼什么方向；（2）根据乘车收费：单价里程，可得司机一下午的营业额．【解析】（1），答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点3千米，在鼓楼西方；（2）（元，答：每千米的价格为2.4元，司机一下午的营业额是132元．【点评】本题考查了正数和负数，把有理数相加是解（1）的关键，乘车就交费是解（2）的关键．39．某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）；星期一二三四五六日增减（1）根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期四；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【分析】（1）比较出记录中的数的最大数即可判断；（2）用记录中的最大数减去最小数即可；（3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可．【解析】（1），该厂生产风筝最多的一天是星期四．故答案为：四；（2）（只，答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；（3）（元，答：该厂工人这一周的工资总额是14225元．【点评】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．40．计算：．【分析】先算乘方，再算乘法，最后算减法即可．【解析】．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．41．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算律进行简便计算即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．【解析】（1）；（2）．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．题型六．科学记数法—表示较大的数（42．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为A． B． C． D．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解析】．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．43．据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解析】将35000000用科学记数法表示为：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中