现代控制理论基础线性定常系统的综合

第五章线性定常系统的综合1精选课件5.1线性反响控制系统的根本结构带输出反响结构的控制系统带状态反响结构的控制系统带状态观测器结构的控制系统解耦控制系统2精选课件一、带输出反响结构的控制系统原受控系统：1、输出到系统输入端的反响将系统的输出量乘以相应的反响系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。输出反响控制规律输出反响系统状态空间描述为：3精选课件原受控系统：2、输出到矩阵B后端的反响将系统的输出量乘以相应的负反响系数，馈送到状态微分处。输出反响控制规律：输出反响系统状态空间描述为：4精选课件状态反响：将系统每一个状态变量乘以相应的反响系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。5.3带状态反响系统的综合原受控系统：线性反响规律：5精选课件三、带状态观测器结构的控制系统-状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态。状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。6精选课件解耦问题：如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。目的：使传递函数阵为一个对角线矩阵。四、解耦控制系统7精选课件原受控系统：一、反响至输入矩阵B后端的系统将系统的输出量乘以相应的负反响系数，馈送到状态微分处。输出反响控制规律：输出反响系统状态空间描述为：5.2带输出反响系统的综合8精选课件定理证明方法1：假设系统状态可观测，那么其对偶系统状态能控，根据状态反响系统特性，对偶系统矩阵特征值可以任意配置，而的特征值和一致。所以，当且仅当状态可观时，极点可任意配置定理：输出到状态微分的反响，其极点任意配置条件为原系统状态可观测。定理证明方法2：系统能观测，那么化为第二能观测标准型。能观测标准II型：å),,(CBAå),,(TTTBCATTTHCA-TTTHCA-()HCAHCATTTT-=-å),,(CBAHCA-[]100,100010101010TT1210212LLMOOMOOOL=úúúúúúûùêêêêêêëé----==--CAAnooaaaa9精选课件能观测标准型下输出到状态微分的反响系统矩阵：反响后，仍然为能观测标准II型。其输出到状态微分的反响系统特征方程为：由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。引入反响阵：极点配置方法：同状态反馈系统的极点配置。结论：输出到状态微分的反响不该变系统能观性，不改变系统的零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化10精选课件原受控系统：二、反响至输入矩阵B前端的系统将系统的输出量乘以相应的反响系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。输出反响控制规律：输出反响系统状态空间描述为：11精选课件输出反响增益矩阵：闭环传递函数矩阵为：结论3：由于反响引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。古典控制中常采用的反响形式。结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反响与状态反响等价。即对于任意的输出反响系统，总可以找到一个等价的状态反响。故输出到参考输入的反响不改变系统的能控性。结论2：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以输出反响是局部状态反响，适合工程应用，性能较状态反响差。12精选课件状态反响：将系统每一个状态变量乘以相应的反响系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。一、系统的数学描述5.3带状态反响系统的综合原受控系统：线性反响规律：13精选课件状态反响闭环系统：反响增益矩阵：状态反响闭环传递函数矩阵为：

一般D=0，可化简为：状态反响闭环系统表示：状态反响系统的特征方程为：nrK´维数是úúúúûùêêêêëé=rnrrnnkkkkkkkkkKLMMMLL212222111211îíì++=++=DvxDKCyBvxBKAx)()(&),,(CBBKAk+=S14精选课件极点配置：通过反响增益矩阵K的设计，将参加状态反响后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。二、极点配置定理5-4：(极点配置定理)对线性定常系统进行状态反响，反响后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：状态完全能控。注意：矩阵的特征值就是所期望的闭环极点。1、闭环极点任意配置的条件),,(0CBA=S),,(0CBA=SBKA+15精选课件(2)求状态反响后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定〔或求得〕的期望闭环极点，写出期望特征多项式。(4)由确定反响矩阵K：2、极点配置算法(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤3时）)()(*llff=][21nkkkKL=**-*-++++=---=011121*))))(aaafnnnnllllllllllLL（（（)](det[)(BKAIf+-=ll16精选课件该系统是状态完全能控的，通过状态反响，可任意进行极点配置。[例1]

考虑线性定常系统试设计状态反响矩阵K，使闭环系统的极点为-2±j4和-10。[解]：〔1〕先判断该系统的能控性BuAxx+=&其中：úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé---=100,651100010BA33161610100][]M[2=úúúûùêêêëé--==rankBAABBrankrankMM17精选课件由得：〔4〕确定K阵求得：所以状态反响矩阵K为：〔2〕计算闭环系统的特征多项式设状态反响增益矩阵为：〔3〕计算期望的特征多项式][321kkkK=122333213211)5()6(6511001][100651100010000000||)(kkkkkkkkkBKAIf-+-+-+=úúúûùêêêëé-+--=úúúûùêêêëé-úúúûùêêêëé----úúúûùêêêëé=--=lllllllllll2006014)10)(42)(42()(23*+++=+++-+=llllllljjf)()(*llff=1232001,605,146=-=-=-kkk8,55,199321-=-=-=kkk]855199[---=K18精选课件三、状态反响下闭环系统的镇定问题镇定的概念：一个控制系统，如果通过反响使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，那么称该系统是能镇定的。如果采用状态反响来实现这种渐近稳定，那么称系统是状态反响能镇定的。定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，那么它状态能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定理证明：按照能控性分解：引入状态反响后，系统矩阵变为：úúûùêêëé==-2212111ˆ0ˆˆˆAAAARRAccúûùêëé==-0ˆˆ11BBRBcúúûùêêëé++=+2221121111ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆAkBAkBAKBA19精选课件闭环系统特征多项式为：能控局部，总可以通过状态反响使之镇定。要求渐近稳定20精选课件5.4状态重构与状态观测器的设计状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态。状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。21精选课件状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态。状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。如果是状态完全能观测的，那么根据输出y的测量，可以唯一地确定系统的初始状态，而系统任意时刻的状态：所以只要满足一定的条件，即可从可测量y和u中把x间接重构出来。一、状态观测器的原理和构成CxyBuAxx=+=,&22精选课件一、全维状态观测器的设计23精选课件状态观测器能否起作用的关键：观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构原状态。状态观测器的存在条件：存在性定理：线性定常系统不能观测的局部是渐近稳定的。存在条件0)ˆ(=-¥®xxLimt24精选课件由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理：定理5-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为状态完全能观测。状态观测器极点配置条件和算法：25精选课件能观测标准II型：能观测标准型下状态观测器的系统矩阵：与输出到状态微分的反响相似。]100[T,100010001000TT21210212LLMOOMMOLL==úúúúúúûùêêêêêêëé----==--onooCCAAaaaa26精选课件状态观测器的设计步骤：1、第二能观标准型法〔维数较大时，n>3时，适合计算机求解〕(2)确定将原系统化为第二能观测标准型的变换阵。假设给定的状态方程已是能观测标准型，那么，无需转换。(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按以下步骤继续。12T-oå),,(CBAIo=-12T27精选课件(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反响矩阵：(5)求未变换前系统状态观测器的反响矩阵：(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：**-*-++++=---=011121*))))(aaafnnnnllllllllllLL（（（[][]TnnTeneeeaakkkK11110021-*-**---==aaaaLL()eoeoeKKK1122TT--==28精选课件(3)写出状态观测器的期望特征多项式：2、直接法〔维数较小时，n≤3时〕(2)求观测器的特征多项式：(4)由确定状态观测器的反响矩阵：(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按以下步骤继续。)()(CKAIfe--=ll**-*-++++=---=011121*))))(aaafnnnnllllllllllLL（（（)()(*llff=[]TeneeekkkKL21=29精选课件降维观测器出现的原因：实际上，对于m维输出系统，就有m个变量可以通过传感器直接测量得到。如果选择该m个变量作为状态变量，那么这局部变量不需要进行状态重构。观测器只需要估计n-m个状态变量即可。n-m维降维观测器，或最小阶观测器。在n个状态中，m个状态可直接测量得到，其余n-m个状态需要借助观测器进行重构，为建立观测器，先求这局部的状态空间描述。1、不能直接测量的n-m维子系统的状态描述二、降维观测器0)()(0)(0³+=ò-tdBuexetxttAAtttt30精选课件那么存在非奇异变换：那么：[]úûùêëé=úûùêëé+úûùêëéúûùêëé=úûùêëé-2121212221121121~~0~~~~~~~~~~xxIyuBBxxAAAAxxmmn&&úûùêëé=úûùêëé-=---2111211200CCITCCCITT为：变换阵则：uBxAxAxuBxAxAx2222121212121111~~~~~~~~~~~~++=++=&&vmnxyu维向量引入可以直接测量得到，故是已知的输入，其中，-=2~uByAuBxAv1121212~~~~~+=+=vxAx+=1111~~~&31精选课件2、不能直接测量的n-m维子系统的状态观测器对(1)式设计全维状态观测器：）（为输出的状态描述：为状态向量，以维向量则得到以1~~~~~~12111111ïîïíì=+=-xAzvxAxzxmn&32精选课件含有y的导数项，需要消去：消掉z和v：仿照全维状态观测器的设计，由图写出降维观测器方程：zHvxAHAx11211111ˆ)~~(ˆ++-=&)2()~~()~~(ˆ)~~()~~()~~(ˆ)~~(ˆ22211121211112222211121211111uByAyHuByAxAHAuBxAxHuByAxAHAx--+++-=--+++-=&&&yHxww11ˆ-=，且令观测器的状态向量为[]uBHByAHAHAHAwAHAyHxw)~~()~~()~~()~~(ˆ211221121211112111111-+-+-+-=-=&&&量由观测器重构的状态向＝Þ+yHwx11ˆ33精选课件那么误差方程为：降维状态观测器的特征多项式为：|)~~(|)(21111AHAIf--=ll态。使估计状态逼近系统状到达满意的衰减速度，使误差e得到任意配置。，从而使观测器的极点选择所以，可以通过合理地1HeAHAxxAHAxxexxe)~~()ˆ~)(~~(ˆ~ˆ~2111111211111111-=--=-=Þ-=&&&x1yIHwIyyHwyxxxxmmnúûùêëé+úûùêëé=úûùêëé+=úûùêëé=úûùêëé=-1112110ˆ~ˆ为：整个系统的状态。维观测器中的反馈矩阵为维列向量，为其中：mmnHmnw´--)(134精选课件(5)：由下式设计降维状态观测器：3、n-m维降维观测器的设计步骤：(1)：求非奇异变换阵T，对系统进行结构分解。(2)：确定降维观测器的期望多项式：(3)：求降维观测器的特征多项式：(4)：由)(*lf~~|)(|)(21111AHAIf--=ll1*)()(Hff，求出ll=[]uBHByAHAHAHAwAHAw)~~()~~()~~()~~(2112211212111121111-+-+-+-=&yHwx11ˆ+＝35精选课件5.5带观测器状态反响系统的综合一、系统的结构与数学模型状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反响提供了条件构成：带有状态观测器的状态反响系统由观测器和状态反响两个子系统构成的组合系统。用观测器的估计状态实现反响。如图5-18所示。36精选课件二、闭环系统的根本特性参加反响控制规律：状态反响局部的状态方程：观测器局部的状态方程：原系统状态空间描述为：带有观测器的状态反馈组合系统的状态空间描述为：维数2n为方便求式（1）特征多项式，特作如下线性非奇异变换：CxyBuAxx=+=,&xKvuˆ+=CxyBvxBKAxxKvBAxBuAxx=++=++=+=,ˆ)ˆ(&BvCxKxCKBKAxKvByKxCKAxeeee++-+=+++-=ˆ)()ˆ(ˆ)(ˆ&37精选课件那么经过非奇异变换后的状态空间描述为：非奇异变换不改变系统的传递函数阵、特征值和特征多项式。úûùêëéúûùêëé-úûùêëé-=úûùêëéxxIIIxxxxxxxnnnˆ0ˆ~~＝组成的状态方程为：和则：由úûùêëé-==úûùêëé-=nnnnnnIIIPIII0P0PP1－，则为：令非奇异变换阵38精选课件得组合系统的传递函数为：结论1：组合系统的传递函数和状态反馈部分的传递函数完全相同，与观测器部分无关，用观测器的估计状态进行反馈，不影响系统的输入输出特性。结论2：特征值由状态反馈和观测器两部分组成，相互独立，不受影响。所以，只要系统能控和能观测，则状态反馈矩阵K和状态观测器的反馈矩阵Ke可以单独设计。分离特性得组合系统的特征多项式为：[][])(det)(det)(0)()(CKAIBKAICKAIBKBKAIAIfee--+-=---+-=-=llllll[][]BBKAsICBCKAsIBKBKAsICBAsICsGe11)(0)(0)(0)()(--+-=úûùêëéúûùêëé--+-=-=39精选课件解耦问题：方法：前馈补偿器解耦；状态反响解耦。如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。目的：使传递函数阵为一个对角线矩阵。5.6解耦控制系统的综合úúúúûùêêêêëé=+-==-mmDBAsICsUsYsW0W0W)()()()(W22111O40精选课件一、前馈补偿器解耦

方法：在需要进行解耦的系统前串联一个补偿器，来实现解耦。41精选课件[例]：有一个MIMO系统结构如图，求补偿器的传递函数阵，使闭环系统的传递函数为以下的解耦形式：42精选课件[解]：系统结构图简化为：由组合系统的传递函数知道系统为串联－反响混合系统，其中：由反响联结的组合系统的传递函数阵有：43精选课件整理上式有：进行矩阵求逆计算：将以上结果代入〔1〕式有：[][])1()(W)(W)(W)(W11---=sIsssBBpc[]úûùêëé+++-+=úûùêëé++