专题1.9锐角三角函数（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍（解析版）【苏科版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.9锐角三角函数精讲精练【目标导航】【知识梳理】1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边除以斜边=（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边除以斜边=．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．3.解直角三角形：（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：③边、角之间的关系：sinA==，cosA=，tanA=，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）．4.解直角三角形的应用：（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．5.坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．6.俯角、仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【典例剖析】【考点1】锐角三角函数的定义【例1】（2022秋•姑苏区校级期中）在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值（）A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的一半 C．都没有变化 D．不能确定【分析】在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值；根据锐角三角函数值的概念进行分析即可得到答案．【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知如果各边都扩大原来的2倍，则其锐角的三角函数值不变．故选：C．【变式1.1】（2017秋•淮阴区校级月考）△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，tanB的值是（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义计算即可．【解答】解：如图：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝＝＝12，∴tanB＝＝，故选：D．【变式1.2】（2022秋•高新区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∴sinA＝，故选项A错误，不符合题意；cosA＝，故选项B正确，符合题意；tanA＝，故选项C错误，不符合题意；tanB＝，故选项D错误，不符合题意．故选：B．【变式1.3】（2021秋•姜堰区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（）A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求出BC，再利用锐角三角函数求出结果即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，由勾股定理得，BC＝＝＝6，所以sinA＝＝＝，故选：C．【考点2】同角三角函数【例2】（2022秋•惠山区校级月考）x为锐角，，则cosx的值为（）A． B． C． D．【分析】根据同角三角函数的平方关系：sin2x+cos2x＝1解答即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，，∴cosx＝＝＝．故选：B．【变式2.1】（2022•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．【分析】根据tanA＝求出第三边长的表达式，求出cosA即可．【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故选：D．【变式2.2】（2020秋•靖江市校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么tanA等于（）A． B． C． D．【分析】根据cosA＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．【解答】解：∵cosA＝知，设b＝3x，则c＝5x，根据a2+b2＝c2得a＝4x．∴tanA＝＝＝．故选：D．【变式2.3】（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（）A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB C．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【分析】根据大角对大边定理以及三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：设∠A，∠B，∠C对应的边为a，b，c∵∠A＞∠B，∴a＞b，∵sinA＝，sinB＝，cosA＝，cosB＝，∴sinA＞sinB，cosA＜cosB，故选：B．【考点3】特殊角的三角函数【例3】（2020秋•亭湖区校级期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，＝cosB，解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故选：C．【变式3.1】（2022•泗阳县一模）已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵sinA＝，∠A为锐角，∴∠A＝30°．故选：B．【变式3.2】（2021秋•金坛区月考）已知锐角α满足tan（α+10°）＝1，则锐角α的度数为（）A．20° B．35° C．45° D．50°【分析】根据45°的正切值为1解答即可．【解答】解：∵tan（α+10°）＝1，tan45°＝1，∴α+10°＝45°，∴α＝35°，故选：B．【变式3.3】（2022•淮阴区模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（）A． B． C． D．【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：连接BC，由题意可得：OB＝OC＝BC，则△OBC是等边三角形，故sin∠AOC＝sin60°＝．故选：D．【考点4】三角函数的表格问题【例4】（2022秋•靖江市期中）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA的值为（）A． B．2 C． D．【分析】通过平移将△ABC的顶点A、B、C移到格点上，利用网格构造直角三角形及直角边的长，由勾股定理求出斜边的长，由锐角三角函数的定义可得答案．【解答】解：△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，因此可将△ABC向右平移正方形边长的一半得到△A′B′C′，如图所示，则点A′、B′、C′在格点上，过点C′作C′D⊥AB，垂足为D，则A′D＝3，C′D＝4，∴A′C′＝＝5，∴sinA＝sinA′＝＝，故选：C．【变式4.1】（2022•工业园区模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（）A． B． C． D．【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．∴sin∠APC＝sin∠EDC＝＝．故选：D．【变式4.2】（2022•从化区一模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（）A． B． C．2 D．【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得线段AD、AB的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，故选：D．【变式4.3】（2022秋•靖江市校级月考）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）A． B． C． D．【分析】先利用等面积法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正弦的定义求出sin∠BAD即可．【解答】解：法一：如图，连接AC，在Rt△BEC中，BC＝＝5，∵AD⊥BC，∴＝8，即，解得AD＝，在Rt△ADB中，BD＝，∴sin∠BAD＝．法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠ABD+∠CBE＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．故选：C．【考点5】解直角三角形【例5】（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝10．【分析】根据锐角三角函数求出CD与BD的比，由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△CBD的面积，进而可以求出△ABC的面积．【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案为：10．【变式5.1】（2022秋•工业园区校级期中）在△ABC中，sinB＝，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为2或6．【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性质先求出CD、AD，再利用直角三角形的边角间关系求出AB，勾股定理求出BD，最后利用线段的和差阿关系求出BC．【解答】解：当点D在线段BC的延长线上时，∵AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，∴CD＝AD．∵AC2＝CD2+AD2，AC＝2，∴CD＝AD＝2．∵sinB＝＝，∴AB＝2．在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．∴BC＝BD﹣CD＝4﹣2＝2．若点D在线段BC上时，同理可求BD＝4，CD＝2，∴BC＝6，故答案为：2或6．【变式5.2】（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝．【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案为：．【变式5.3】（2022春•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝15°，∠B＝30°，则△ABC的面积为（﹣1）．【分析】过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，运用三角函数求AD＝CD的长，在Rt△ABD中，运用三角函数求出BD的长，最后运用三角形面积公式计算．【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝15°，∠B＝30°，∴∠DAC＝∠DCA＝30°+15°＝45°，AB＝2AD，∴AD＝CD，在Rt△ADC中，AC＝2，∴AD＝CD＝，在Rt△ABD中，BD＝，∴S△ABC＝S△ABD﹣S△ADC＝＝＝﹣1，故答案为：（﹣1）．【考点6】三角函数与几何问题【例6】（2022秋•虎丘区校级期中）（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．【分析】（1）由∠A与∠B互余即可求出∠B，由直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半可求b，由锐角的正切定义可求a；（2）由锐角的正弦定义，勾股定理可求AD长．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tanA＝，∴a＝btanA，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sinA＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．【变式6.1】（2022秋•清江浦区月考）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，求AC、BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义求出AD，从而求出BD，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD，利用勾股定理求出AC，最后求出BC即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，∴AD＝AB•sinB＝3×＝1，∴BD＝＝＝＝2，在Rt△ADC中，tanC＝，∴CD＝＝＝，∴AC＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝2+＝3，∴AC的长为，BC长为3．【变式6.2】（2022•宿豫区校级开学）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD．如果sin∠ACB＝，求AD的长．【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝2，sin∠ACB＝，∴AC＝＝＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵CD＝8，∴AD＝＝＝10，∴AD的长为10．【变式6.3】（2022秋•姑苏区校级期中）小华同学学习了《解直角三角形》后，对求三角形的面积方法进行了研究，得到了新的结论．（1）如图1，已知锐角△ABC．求证：S△ABC＝AB•AC•sinA．（2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC＝12cm，点P从A点出发，沿着边AB移动，点Q从C点出发，沿着边CA移动，点Q的速度是1cm/s，点P的速度是点Q速度的2倍，若它们同时出发，设移动时间为ts．当t为何值时，＝？【分析】（1）△ABC的面积等于AB与AB边上高的乘积的一半，要证明结论，只需证明AB边上的高等于AC•sinA；（2）点P从A点出发，沿着边AB移动，点Q从C点出发，沿着边CA移动，点P的速度是点Q速度的2倍，则AP＝2CQ；设移动时间为t秒，用含有t的代数式结合三角形的面积公式分别表示出S△APQ和S△ABC，再结合已知即可解答．【解答】（1）证明：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，则sinA＝，∴CD＝AC•sinA，∵S△ABC＝AB•CD，∴S△ABC＝AB•AC•sinA；（2）解：设移动时间为t秒，则AP＝2t，CQ＝t，AQ＝12﹣t，由（1）得：S△APQ＝AP•AQ•sinA＝×（12﹣t）×2t×sinA＝t（12﹣t）sinA．S△ABC＝AB•AC•sinA＝×12×12sinA＝72sinA，当＝时，＝，∴整理得出：t2﹣12t+27＝0，（t﹣3）（t﹣9）＝0，解得：t1＝3，t2＝9（不合题意舍去），∴当t＝3秒时，＝．【考点7】锐角三角函数的应用：坡度坡角问题【例7】（2022秋•高新区校级期中）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．（1）求OA的长；（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？【分析】（1）设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，利用勾股定理得到AO′＝4x，则4x＝40，解方程可得到AO′＝50cm，O′C＝30cm，所以AO为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，先计算出∠BOH＝30°，利用30的正弦得到BH＝25cm，再计算CB′＝80cm，然后计算B′C′﹣BH即可．【解答】解：（1）∵AO'：O'C＝5：3，∴设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，∵O'C⊥OA，∴∠ACO′＝90°，∵AO′＝＝4x，∴4x＝40，解得x＝10，∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，∴AO＝AO′＝50cm；答：OA的长为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，∴∠AOB＝150°，∴∠BOH＝30°，∵BH＝OB＝25cm，∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了55cm．【变式7.1】（2022秋•高新区期中）如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）【分析】（1）作DF⊥AB于点F，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；（2）作D′G⊥A′B于点G，求出CD′、A′B，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F，∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，在Rt△CEB中，tanα＝，∴BE＝＝5，∴AB＝AF+FE+EB＝（+5）米；（2）如图，作D′G⊥A′B于G，在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，∴梯形D′A′AD的面积＝×（0.5+1.5）×5＝5，答：横截面增加的面积为5平方米．【变式7.2】（2022秋•惠山区校级月考）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．（1）直接写出∠BAD＝18°；（2）求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，可得∠ADE＝72°，即可得∠BAD＝180°﹣90°﹣72°＝18°．（2）过点C作CM∥AB，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N，由平行投影可得，可求得CM＝BN＝米，在Rt△AMN中，tan72°＝≈3.08，求出AN的值，根据AB＝AN+BN可得答案．【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，由题意得，∠ADE＝72°，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣72°＝18°．故答案为：18°．（2）过点C作CM∥AB，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N，由题意得，∠AMN＝72°，CM＝BN，MN＝BC＝4米，由平行投影可得，，即，解得CM＝，∴BN＝米，在Rt△AMN中，tan72°＝≈3.08，解得AN≈12.3，∴AB＝AN+BN≈13.8米．∴旗杆的高度约为13.8米．【变式7.3】（2022•姜堰区二模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，即可得出DE．（2）由（1）得，DE＝0.4m，则GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°＝≈，sin53°＝≈，解得EF＝0.48，FG＝0.8，根据运动员的身高为GF+EF+DE可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，解得DE＝0.4，∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．（2）由（1）得，DE＝0.4m，∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），∵EF∥AB，∴∠GEF＝∠EDB＝90°，在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，tan53°＝≈，sin53°＝≈，∴EF＝0.48，FG＝0.8，∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．【考点8】锐角三角函数的应用：仰角俯角问题【例8】（2022秋•惠山区期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1．小明站在E处，眼睛F望向楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余．过点F作FG⊥AB于点G．已知BG＝1.5米，BE＝CD＝20米，BD＝60米，点B、E、D在一条直线上．AB⊥BD，FE⊥BD，CD⊥BD，试求单元楼AB的高．（注：BE＝FG，BG＝EF，∠1与∠3互余）．【分析】根据题意得四边形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1.5米，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：由图可得∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵FG⊥AB，CD⊥BD，∴∠AGF＝∠EDC＝90°，∵BE＝CD，FG＝BE，∴FG＝CD＝20，在△AFG与△EDC中，，∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝40米，∴AB＝AG+BG＝40+1.5＝41.5（米），答：单元楼AB的高为41.5米．【变式8.1】（2022•鼓楼区校级二模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A、D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到1米）．参考数据：tan33°≈0.65，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84．【分析】延长BC交MN于点F，则DE＝AB＝FN＝1.6米，BE＝AD＝3.5米，∠MFB＝90°，设MF＝x米，然后在Rt△MFE中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再在Rt△BFM中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：延长BC交MN于点F，则DE＝AB＝FN＝1.6米，BE＝AD＝3.5米，∠MFB＝90°，设MF＝x米，在Rt△MFE中，∠MEF＝45°，∴EF＝＝x（米），∴BF＝BE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△BFM中，∠MBF＝33°，∴tan33°＝＝≈0.65，解得：x＝6.5，经检验：x＝6.5是原方程的根，∴MF＝6.5米，∴MN＝MF+FN＝6.5+1.6≈8（米），∴电池板离地面的高度MN约为8米．【变式8.2】（2022秋•靖江市校级月考）某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：如图，用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°．（1）填空：∠EBA＝60度，∠ECD＝30度；（2）求万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）【分析】（1）由题意可得结论；（2）在Rt△ABE中和Rt△CDE中，AB＝120米，∠ABE＝60°，∠DCE＝30°，CE＝BE+CB，根据解直角三角形的应用，在Rt△ABE中，可计算出BE和AE的长度，在Rt△CDE中，可计算出AD的长度，由AD＝AE﹣DE计算即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得，∠EBA＝60度，∠ECD＝30度；故答案为：60，30；（2）在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝120＝60（米），AE＝sin60°•AB＝×120＝60（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝×90＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60﹣30＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．【变式8.3】（2022•淮安二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角∠EAD＝9.7°，塔底C处俯角∠EAC＝26.6°，小明所在位置高度AB＝95m．（1）求两栋建筑物之间的水平距离BC；（2）求国师塔高度CD．（结果精确到1m）（参考数据：sin9.7°≈0.17，tan9.7°≈0.17，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）【分析】（1）延长CD交AE于点F，根据题意得：CF＝AB，CF⊥AE，从而在Rt△ACF中，利用tan∠CAF＝，求得两建筑物底部之间水平距离；（2）在Rt△AFD中利用∠FAD＝9.7°，求得DF，然后即可求得CD的长．【解答】解：（1）延长CD交AE于点F，根据题意得：CF＝AB，CF⊥AE，在Rt△ACF中，tan∠CAF＝，∴tan26.6°＝≈0.5，∴AF≈190，∴BC＝AF＝190米，答：两建筑物底部之间水平距离BD的长度为190米；（2）在Rt△AFD中，∠FAD＝9.7°，∴DF＝AF•tan∠FAD＝190×0.17≈32.3，又∵FC＝95米，∴CD＝95﹣32.3≈63（米）．答：国师塔高度为63米．【考点9】锐角三角函数的应用：方向角问题【例9】（2022秋•虎丘区校级期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在82分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP＝∠ADP＝90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意得：∠ABC＝105°，∠PAD＝30°，从而求出∠C＝45°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴PD＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜82分钟，∴补给船能在82分钟之内到达C处．【变式9.1】（2022•东海县二模）如图轮船从岛M向岛N行驶，岛M位于码头A的正南方向80海里处，在M处测得码头B在M的北偏西45°方向上，轮船行驶60海里到达岛N，此时测得岛M在岛N的北偏东63°方向上，码头C在N的北偏西30°方向上，已知码头B，C都在码头A的正西方向，求码头B与码头C之间的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，≈1.73）【分析】证△ABM是等腰直角三角形，则AB＝AM＝80海里，过点N作ND⊥AC于D，过点M作ME⊥ND于E，再由锐角三角函数定义求出A