概率论与数理统计课件

概率论与数理统计

第一章概率论的基本概念随机事件及其运算频率与概率等可能概型(古典概型)条件概率事件的独立性

1.1随机试验、样本空间、随机事件一、随机试验（简称“试验”）随机试验的特点(p2)(1)试验可以在相同条件下大量重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果；(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律性。满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。

E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：在某高楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地面上的位置；E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。随机试验的例子随机试验二、样本空间(p2)

1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验E样本空间，记为S或Ω；2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为e。试给出E1—E5的样本空间幻灯片9三、随机事件例1.1

将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：其中有36个可能的结果，即36个样本点。每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为事件。如事件A：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。A发生

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}，A是S的子集。类似地，B={(1,1),(2,2),…,(6,6)}，B也是S的子集。1、随机事件(p4)——随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C…表示。

任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件为基本事件(或简单事件)。

2、两个特殊事件必然事件S——S包含所有的样本点，是S自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件Φ——空集Φ不包含任何样本点，它是S的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。

课堂练习：从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：(1)不考虑牌的花色；(2)考虑牌的花色。解：(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点A，二点，…，十点，J，Q，K组成，即可表示为Ω={1,2,…,13}。(2)如果考虑整套牌，样本空间包含S，H，D，C的A，…一直到S，H，D，C的K。如果用1,2,3,4分别表示黑、红、方、草，则黑桃J可写成(11,1)，样本空间有52个样本点：四、事件之间的关系事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。

例1.2袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

而且可得到下列随机事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；C={(1,2),(2,1)}={两次都摸得白球}；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={没有摸到黑球}。设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,…)为事件返回1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为A

B，也称A是B的子事件。

A与B两个事件相等：A＝B

A

B且B

A。例1.22.和事件(p4)：“事件A与B至少有一个发生”，记作A∪B2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作2”可列个事件A1,A2,…,An…至少有一个发生，记作3.积事件(p4):A与B同时发生，记作

A∩B＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作3”可列个事件A1,A2,…,An,

…同时发生，记作4.差事件(p5)：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。思考：何时A-B=

?

何时A-B=A？例1.2中B=C∪D

C=B∩C

D=B-C例1.25.互斥的事件(p5)：AB=Φ,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。基本事件是两两互不相容的例1.2中：AB=Φ

AC=Φ

6.互逆的事件(p5)

A∪B＝

,且AB＝

A与B对立：事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。对立事件必为互不相容事件；

互不相容事件未必为对立事件。五、事件的运算(p6)1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)4、对偶(DeMorgan)律：例1.3甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：例1.4试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。解设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：因此对立事件为：即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。1.2频率与概率一、频率定义1.设在相同的条件下，进行了n次试验。若随机事件A在这n次试验中发生了nA次,则比值称为事件A在这n次试验中发生的频率，记作fn(A)，即fn(A)=频率具有如下的性质对任一事件A，0

fn(A)

1；对必然事件S，fn(S)＝1；而fn(

)=0(3)可加性：若事件A、B互不相容，即AB＝，则fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)。一般地，若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者n

nH

fn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005实践证明：当试验次数n增大时，随机事件A的频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。二、概率从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性?P（A）应具有何种性质？?抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？1、概率的统计定义设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。由定义，显然有0≤P(A)≤1,P(S)=1，P(φ)=0。设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(·)具有如下性质：①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0；②规范性：P(S)=1；③可列可加性：若A1，A2，…，An，…是两两互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…则称P(A)为事件A的概率。2、概率的公理化定义（P.9）3、概率的性质(P.10-12)①不可能事件的概率为零，即P(φ)=0；②概率具有有限可加性，即若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则必有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)③设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若A

B，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)≥P(B)，此性质称为单调不减性。④互补性

对任一事件A，有⑤加法公式

对任意两个事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-

P(AB)可推广(P.13)。

⑥可分性对任意两事件A，B，有

例1.5某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨”的概率P(D)，(4)“两天都不下雨”的概率P(E)，(5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。解

设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1A2)=0.1(1)且可得（2）（3）=0.6+0.3-0.1=0.8（4）（5）1.3等可能概型（古典概型）一、古典概型的定义(p.12)设随机实验E满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即S＝{e1,e

2,…,en};2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=…=P(en)。则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：(1)0

P(A)

1；(2)P(S)＝1；P(

)=0；(3)AB＝

，则P(A∪B

)＝P(A)＋P(B)。古典概型中的概率(P12-13)：解设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩，T表示某个孩子是女孩。N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1.6有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?例1.7在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，…，10。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。解设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,…,10)，则试验的样本空间为S={1,2,…,10}，因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A={2,4,6,8,10}，所以A中含有k=5个样本点，故乘法公式设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法复习：排列与组合的基本概念加法公式设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1组合从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.二、古典概型的基本类型举例古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。1、抽球问题例1.8设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解设A——取到一红球一白球答:取到一红一白的概率为3/5。一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是例1.9某箱中装有m+n个球，其中m个白球，n个黑球。

(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率；

解

试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？所以，事件A发生的概率为(2)从中任意接连取出k+1(k+1≤m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。解试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为种保留下来的取法，事件B所包含的基本事件总数为所以最后所取的球是白球的概率为注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。2、分球入盒问题解设A：每盒恰有一球，B：空一盒例1.10将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(n

N)，则每盒至多有一球的概率是：例1.11设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：

A={某指定的一个盒子中没有球}

B={某指定的n个盒子中各有一个球}

C={恰有n个盒子中各有一个球}

D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)解把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N–1)n种放法。因此事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm·(N-1)n-m某班级有n

个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？?分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误

球，页

盒子。3.分组问题例1.12

30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解

设A：每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第i组恰有ni个球(i=1,…,m)，共有分法：4.随机取数问题例1.13从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。解N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为：33/200,1/8,1/25

袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？?1.4条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率例1.14设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回。(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；(2)求第二次取到红球的概率；(3)求两次均取到红球的概率。解

设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球S=ABA——第一次取到红球,B——第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p.20)定义设A、B是S中的两个事件，P(A)>0，则?“条件概率”是“概率”吗？何时P(A|B)=P(A)?何时P(A|B)>P(A)?何时P(A|B)<P(A)?概率定义

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(·)具有如下性质：①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0；②规范性：P(S)=1；③可列可加性：若A1，A2，…，An，…是两两互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有

P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…

则称P(A)为事件A的概率。可以验证，条件概率P(·|A)符合概率所需满足的三条基本性质：①非负性：对任意一个事件B，均有0≤P(B|A)≤1；②规范性：P(S|A)=1；③可列可加性：若B1，B2，…，An，…两两互不相容，则有条件概率也满足概率的基本性质（P.21)条件概率的一般计算方法：(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下，B发生的条件概率。“缩减样本空间”(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式例1.15

一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球。

B--从盒中随机取到一只新球。AB例1.16(P.22/例1)设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解

例1.17某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然二、概率的乘法公式(p.23)设A、B、C为随机事件，P(A)>0，则有乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)当P(AB)>0时，上式还可推广到三个事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)

一般地，n个随机事件A1,A2,…,An，且

P(A1A2…An-1)>0,有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1…An－1)例1.18甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。解设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件返回例1.19

盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。（类似P.24例4）解设Ai为第i次取球时取到白球，则三、全概率公式与贝叶斯公式在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计算如下：例1.18甲抽到难签的概率例1.18乙抽到难签的概率，注意到丙抽到难签的概率，注意到可将此类问题推广到一般情况。设S是试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn是试验E的一组事件，若B1,B2,…,Bn满足如下两个条件：（1）B1∪B2∪…∪Bn=S，（2）B1,B2,…,Bn两两互不相容则称事件组B1,B2,…,Bn组成样本空间的一个划分；若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件B1,B2,…,Bn必有且仅有一个发生。1、样本空间的划分(P.24/定义1.3)B1B2……………BnA定理1.1设试验E的样本空间为S，A为E的事件。设事件组B1,B2,…,Bn组成样本空间S的一个划分，且设P(Bk)>0,(k=1,2,…n),则此公式称为全概率公式。2、全概率公式(P.24)例1.20市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B解设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。例1.21某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。解设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则B0,B1,B2,B3,B4组成样本空间的一个划分，返回例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Bi|A)(i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。3、贝叶斯公式(Bayes)

定理1.2设试验E的样本空间为S，A为E的事件。事件组B1,B2,…,Bn组成样本空间S的一个划分，且P(Bk)>0,(k=1,2,…n),及P(A)>0，则此式称为Bayes公式。

例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。例1.22有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球。

甲乙思考例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答例1.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%。且各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现从待出厂的产品中抽取1个产品，问(1)该产品是次品的概率，(2)该产品是由哪个车间生产的可能性最大。解设A表示产品为次品的事件，B1,B2,B3分别表示产品是甲、乙、丙车间生产的事件，则P(B1)=45%，P(B2)=35%，P(B3)=20%，且P(A|B1)=4%，P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5%(1)P(A)=

P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=45%×4%+35%×2%+20%×5%=0.035(2)若一病人高烧到40℃，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病B1,B2,…,Bn。这里假定一个病人不会同时得几种病，即B1,B2,…,Bn互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率P(Bi)，这通常称为先验概率。进一步要考虑的是一个人高烧到40℃时，得Bi这种病的可能性，即P(Bi|A)的大小，它可由Bayes公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病人高烧40℃)后，病人得B1,B2,…,Bn这些疾病的可能性的大小，这通常称为后验概率。有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。若我们把A视为观察的“结果”，把B1,B2,…,Bn理解为“原因”，则Bayes公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例1.24(P.26例6）根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被检查者确实患有癌症”，则有现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么他确实患癌症的条件概率是多少？即求P(C|A)。解本例中P(C)=0.005就是先验概率，而P(C|A)=0.087为后验概率。可见比先验概率提高了近16.4倍。虽然诊断的可靠性P(A|C)较高，但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌症)的可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。例1.25

数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解设A---发射端发射0，B---接收端接收到一个“1”的信号。0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)P(A|B)=条件概率条件概率小结缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式贝叶斯公式例1.26袋中有a只红球，b只白球b≠0，现从此袋中取两次球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种情况，记A表示事件“第一次所取的球是红色的球”，B表示事件“第二次所取的球是红色的球”。求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的概率。解（1）有放回（2）无放回1.5事件的独立性返回设A、B是随机试验E的两个事件，若P(A)>0，则可定义P(B|A)，即A发生条件下的B发生的概率。一般地，P(B)≠P(B|A)，即事件A发生对事件B发生的概率是有影响的。如例1.26（2）中而且此时在特殊情况下，一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响，如例1.26(1)中而且此时例1.26定义（P.28)

设A、B是两个事件，若满足等式P(AB)＝P(A)P(B)则称事件A与事件B是相互独立的事件。

由定义可知，必然事件S和不可能事件φ与任何事件都是相互独立的。性质

以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(3)事件相互独立；、B相互独立；(4)事件相互独立。(2)事件A、定理1.3(P.28)设A，B是两事件，且P(A)>0，则A，B相互独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)即A的发生与否与B的发生概率无关。独立性的概念可推广到多个事件定义(p28)

若三个事件A、B、C同时满足下面四个等式：则称事件A、B、C相互独立。（*）式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。注意：（*）不能推出（**），（**）也不能推出（*）。两式必须同时成立，才能称A、B、C相互独立。由定义可知：A、B、C相互独立必有A、B、C两两独立，反之不真。一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，若下面个等式同时成立：则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。……….事件独立性的应用举例1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则

例1.27

甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。解设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件，C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98另解例1.28设某种高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的概率达到95%以上。解设所需高炮为n门，A表示击中飞机的事件，

Ai(i=1,2,…,n)表示第i门高炮击中飞机的事件，则由题意即故至少需14门高炮才能有95%以上把握击中飞机。3、在可靠性理论上的应用如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。设A---L至R为通路，Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5由全概率公式

关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量2.1随机变量的概念定义2.1(p.35)设E是一个随机试验，S={e}是试验E的样本空间，如果对于S中的每一个样本点e，有一实数X(e)与之对应，这个定义在S上的实值函数X(e)就称为随机变量。由定义可知，随机变量X(e)是以样本空间S为定义域的一个单值实值函数。有关随机变量定义的几点说明：(1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数，常用大写字母X、Y、Z或小写希腊字母

、

、

等表示。(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“a<X<b”的概率是确定的；(3)随机变量X(e)的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合；(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。例2.1一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变量。X的一切可能取值为0，1，2，…，20{X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”；{X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”；

……{X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。例2.2将一颗骰子投掷两次，观察所的点数，以X表示所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……P(X=2)=1/36……………P(X=3)=2/36……P(X=4)=3/36…P(X=12)=1/36例2.3一正整数n等可能地取1,2,3,…,15共十五个值，且设X=X(n)是除得尽n的正整数的个数，则X是一个随机变量，且有下表：即可得X取各个可能值的概率为：n123456789101112131415X(n)122324243426244X12346P1/156/152/155/151/15例2.4一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围是[0，5]?请举几个实际中随机变量的例子练习

引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，事件B={有2个空格}，事件C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，事件F={试验至少成功一次}，事件G={至多成功3次}随机变量的分类：随机变量2.2离散型随机变量

一、

离散型随机变量及其分布律1、离散型随机变量的概念若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。2、分布律(P.40)设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1,x2,…,xk,…,且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pk,…,即则称P(X=xk)=pk(k=1,2,…)为随机变量X的概率分布律，简称分布律。分布律可用表格形式表示为：P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)而且满足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…例2.5设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解X=k的所有可能取值为0，1，2X是一个随机变量解设Ai

第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2，…，A5相互独立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律1、(0-1)分布(p.37)

若随机变量X的分布律为：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0<p<1)则称X服从以p为参数的0-1分布，记为X~B(1,p)。0-1分布的分布律也可写成X10Pp1-p即随机变量只可能取0，1两个值，且取1的概率为p，取0的概率为1-p(0<p<1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为S={e1,e2},我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。2、二项分布(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。

设随机试验满足：1°在相同条件下进行n次重复试验；2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p；4°各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p，发生的概率为1-p=q。(X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即这里每一项表示k次试验中出现A，而另外n-k次试验中出现，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。由4°独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k，因此此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为（2）二项分布定义（P.40）若随机变量X具有概率分布律其中p+q=1，则称随机变量X服从以n，p为参数的二项分布，记为X~B(n,p)（或称贝努里分布）。可以证明：正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为0-1分布。例2.7(P.40例1)设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。解（视作放回抽样检验）设(X=k)表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，…，100。本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)，X~B(100,0.002)。因此，所求分布律为例2.8(P.40例2)某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率室0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。解设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，…，7。（视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,X~B(7,0.6)。因此X的分布律为所求概率为例2.9从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。解

(1)由题意，X~B(6,1/3)，故X的分布律为：例2.10某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。解每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则X~B(400,0.02)，X的分布律为所求概率为

泊松(Poisson)定理设

>0，n是正整数，若npn=

，则对任一固定的非负整数k，有

即当随机变量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小时，记=np，则例2.10可用泊松定理计算。取

=np=400×0.02＝8,

近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

3、泊松(Poisson)分布

若随机变量X所有可能取值为0,1,2,…，且其中

>0是常数，则称X服从参数为

的泊松分布，记为X~P(

)。泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。例2.11某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？解用X表示每月销量，则X~P(

)=P(5)。由题意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即这里的计算通过查Poisson分布表(p.333-334)得到，=5

i=k+1=14时,i=k+1=13时,k+1=14，k=13即月初进货库存要13件。例2.12设某国每对夫妇的子女数X服从参数为

的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解由题意4、几何分布

设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，…,其中0<p<1是参数，则称随机变量X服从参数p为的几何分布。几何分布背景：随机试验的可能结果只有2种，A与试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次试验，前k-1次失败，第k次成功。例2.13进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。解

m=1时,m>1时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,…P(X=m+1)=P(第m+1次试验时成功，并且

在前m次试验中成功了m-1次)2.3随机变量的分布函数前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间[0,+∞)，事件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0,在实际中，即使测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就是说，事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为P(X=x0)=0。由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间(a,b]上的概率(a≤b)。由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R，只要知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻可得。因此我们用P(X≤x)来讨论随机变量X的概率分布情况。P(X≤x)：“随机变量X取值不超过x的概率”。

定义(P.45)

设X是一随机变量，X是任意实数，则实值函数F(x)＝P{X

x}，x∈(-∞，+∞)称为随机变量X的分布函数。有了分布函数定义，任意x1，x2∈R，x1＜x2，随机变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算：P{x1<X

x2}＝P{X

x2}－P{X

x1}＝F(x2)－F(x1).在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况。一、分布函数的概念例2.14设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率解设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则

P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：X0123P1/21/41/81/8X的分布函数：所求概率为一般地，X是离散型随机变量，其概率分布律为P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)则X的分布函数F(x)为

F(x)的图像：非降，右连续，且在x1，x2，…，xk，…处跳跃。二、分布函数的性质(P46)

1、单调不减性：若x1<x2,

则F(x1)

F(x2)；

2、归一性：对任意实数x，0

F(x)

1，且

3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。如X为被测灯泡的寿命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定会发生的，否则不会出现事件(X>1000)，所以

不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。同样，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。例2.15

设随机变量X具分布律如下表解

X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。例2.16

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。解

F(x)=P(X≤x)

当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?ab2.4连续型随机变量1、概念(p46)设F(X)是随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，(-

<x<+

)，使对一切实数x，均有则称X为连续型随机变量，且称f(x)为随机变量X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。常记为X～f(x),(-

<x<+

)一、连续型随机变量及其概率密度函数X──连续型随机变量，则X的分布函数必是连续函数。

(1)

非负性

f(x)0，(-<x<+)；2、密度函数的性质(p47)(2)(3)归一性事实上(4)若f(x)在x0处连续，则有(5)f(x)在x0处连续，且Δh充分小时,有

f(x)称为概率密度的原由。对任意实数c，若X～f(x)，(-<x<+)，则P(X=c)=0连续型随机变量X取任一固定值的概率为0证明令即得P(X=c)=0。因此，对连续型随机变量X，有密度函数的几何意义为密度函数曲线位于Ox轴上方。即y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。例2.17设求:(1)常数K；(2)X的分布函数；(3)解(1)由性质得解之得(2)X的分布函数为(3)练习

已知随机变量X的概率密度为(1)求X的分布函数F(x),(2)求P{X

(0.5,1.5)}二、几个常用的连续型随机变量的分布若随机变量X具有概率密度函数1.均匀分布(p.50)则称X在[a,b]上服从均匀分布，记作X~U[a,b]。对任意实数c,d

(a≤c≤d≤b)，l=d-c，都有若X~U[a,b]，则X具有下述等可能性：

X落在区间[a,b]中任意长度相同的子区间里的概率是相同的。即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。X的分布函数f(x),F(x)的图像分别为O

ab

xf(x)O

ab

xF(x)1例2.18设随机变量X~U[1,6]，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。解当Δ=X2-4≥0时，方程有实根。所求概率为而X的密度函数为另解例2.19长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。1545解设A—乘客候车时间超过10分钟，X—乘客于某时X分钟到达，则X

U(0,60)正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。2、正态分布ABA，B间真实距离为

，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？则称X服从参数为

,

2的正态分布,记为X～N(

,

2)。若随机变量X的概率密度函数为（其中

，

为实数，

>0）f(x)的图像为

(1)

单峰对称密度曲线关于直线x=

对称，即f(

+x)=f(

-x)，x∈(-∞,+∞)正态分布密度函数f(x)的性质(p51)(2)x=时，f(x)取得最大值f(

)=；

(3)x=

±σ处有拐点；(4)

的大小直接影响概率的分布，

越大，曲线越平坦，

越小，曲线越陡峭。（如图）正态分布也称为高斯(Gauss)分布(5)曲线f(x)以x轴为渐近线。易知且事实上，令正态分布随机变量X的分布函数为其图像为OμxF(x)1标准正态分布(p53)

当参数

＝0，

2＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，记作X~N(0,1)。分布函数表示为其密度函数表示为Ox1Φ(x)标准正态分布的密度函数与分布函数的图像分别为可得对于标准正态分布的分布函数Φ(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(P.298)。表中给出了x>0的函数值。当x<0时，可利用Φ(-x)=1-Φ(x)计算得到。例2.20已知X~N(0,1)，求P(-∞＜X≤-3)，P(|X|＜3)解P(-∞＜X≤-3)=Φ(-3)=1-Φ(3)标准正态分布表P(|X|＜3)=P(-3＜X＜3)=Φ(3)-Φ(-3)=Φ(3)-[1-Φ(3)]=2Φ(3)-1=2×0.9987-1=0.9974=1-0.9987=0.0013一般地,X~N(0,1),P(X≤x)=Φ(x),P(|X|＜x)=2Φ(x)-1对于一般正态分布的随机变量X～N(

,

2)，可通过将其分布函数标准化的方法来计算其分布函数值(即概率)。设随机变量X～N(

,

2)，其分布函数为FX(x)，则有证明一般有例2.21已知X~N(