复变函数与积分变换课件

引言

在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。

复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。

复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一章复数与复变函数§1.1复数及其表示法

一对有序实数（）构成一个复数，记为.

自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为Z的共轭复数。与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，1.代数形式

:复数的表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴2)向量表示----复数z的辐角(argument)

记作Argz=q.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足-p<q0

p的q0称为Argz的主值,记作q0=argz.则Argz=q0+2kp=argz+2kp(k为任意整数)0xyxyqz=x+iy|z|=r----复数z的模当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:说明：当z在第二象限时，2.指数形式与三角形式利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsinq,可以将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,又因此练习：写出的辐角和它的指数形式。解：§1.2复数复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.

四则运算加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:,,,定理1

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.

等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.

几何上z1z2相当于将z2的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Argz1.01例2：设求：解：若取则若取则;按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.2.

乘方与开方运算1）乘方DeMoivre公式：2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为

于是推得从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例2求[解]

因为所以即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形

很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例3将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.

[解]

通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为

因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)

由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知线段的中点为

例4求下列方程所表示的曲线:解：设z=x+iy

,

方程变为-iOxy

几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出。Oxy-22iy=-x设z=x+iy

,那末可得所求曲线的方程为y=-3.Oyxy=-3§1.4复数域的几何模型---复球面0Nx1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.

对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.

这样的球面称作复球面.扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点

∞.约定:

§1.4区域1.区域的概念

平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|<d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的集合,其中实数M>0,称为无穷远点的邻域.

即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作M<|z|<.0M|z|>M

设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.

如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集

平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D

的一条折线连接起来.

设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.

区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作

D.

如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为无界的.2.单连通域与多连通域

平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

则此曲线可用一个方程

z=z(t) (a

t

b)

来代表.这就是平面曲线的复数表示式.

设C:z=z(t)(a

t

b)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足a<t1<b,a

t2

b的t1与t2,当t1

t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)

任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域§1.5复变函数1.复变函数的定义定义设D是复平面中的一个点集,称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函数w=z2

对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy

在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念

函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW设函数w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2设函数w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1

函数w=z2

对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy

把z平面上的两族双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10

如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.举例：曲线在映射下的像

例题1

例题2例题3例题4

§1.6复变函数的极限和连续性1.函数的极限

定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0<d

),使得当0<|z-z0|<d时有|f(z)-A|<e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作或记作当z

z0时,f(z)A.几何意义:

xyOz0dzOuvAef(z)等价定义：

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则运算性质：当z0时的极限不存在例1

证明函数[证]

令z=x+iy,则由此得让z沿直线y=kx

趋于零,我们有故极限不存在.2.函数的连续性

定义

则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.性质：(1)连续函数的四则运算仍然连续；(2)连续函数的复合函数仍然连续；(3)连续函数的模也连续；(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.例题1

讨论的连续性。x00容易证明：可导可微；可导连续。如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.

例1

求f(z)=z2

的导数。[解]因为所以

f'(z)=2z.复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则。（即f(z)=z2

在复平面处处可导。）例2问f(z)=x+2yi是否可导?[解]

这里所以f(z)=x+2yi

的导数不存在.（即f(z)=x+2yi

在整个复平面处处不可导.）例3讨论的可导性。解：所以在复平面上除原点外处处不可导。2.解析函数的概念函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：例如f(z)=z2

在整个复平面上解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f(z)=x+2yi在整个复平面上不解析。定义否则称为奇点。例4讨论函数f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除

z=0外处处解析；z=0是它的一个奇点。解析函数的性质：(1)

两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)

两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)

一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。问题：对函数

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？换句话说：设函数于是u(x,y)

与v(x,y)

在该点可微,并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。设u(x,y)

与v(x,y)

在点(x,y)可微,于是（

x,

y0时,ek0,(k=1,2,3,4)）并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。即函数f(z)在点z=x+iy处可导.由z的任意性可知：定理1

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足Cauchy-Riemann方程.定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,在该点满足Cauchy-Riemann方程。推论：例题1

解：例题2

判断下列函数在何处可导,在何处解析:解：

得u=x,v=-y,所以在复平面内处处不可导,处处不解析；2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,

所以当且仅当x=y=0时,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.是区域内的正交曲线族。

(正交：两曲线在交点处的切线垂直

)例题3

证：得证。

解析函数退化为常数的几个充分条件：(a)

函数在区域内解析且导数恒为零；(b)

解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数；(c)

解析函数的共轭在区域内解析。例如两族分别以直线y=

x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10§2.2解析函数和调和函数的关系定义1

(称为调和方程或Laplace方程)定理1：

证明：

且u,v有任意阶连续偏导数

同样可得

注：逆定理显然不成立，即

对区域D内的任意两个调和函数u,v,不一定是解析函数

.定义2

若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，

则称v为u的共轭调和函数

.定理2：

在区域D内解析

v为u的共轭调和函数

.解析函数的虚部为实部的共轭调和数例如：是解析函数，不是解析函数。已知共轭调和函数中的一个，可利用C-R方程求得另一个，从而构成一个解析函数。例题1已知一调和函数求一解析函数解：由C-R方程于是（法一）从而即为所求解析函数。（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）§2.3初等函数3.1指数函数

定义：

性质：

3.2三角函数定义：性质：(1)Euler公式仍然成立：(2)全平面解析函数，(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外)(4)sinz为奇函数，cosz为偶函数例如(7)定义其他的三角函数：3.3双曲函数定义：

（1）全平面解析函数：（2）以2pi为基本周期的周期函数：（3）chz为偶函数,shz为奇函数。（4）与三角函数的关系：例题1解方程解：3.4对数函数定义：记：

多值性-------主值支例如：性质：(2)Lnz为无穷多值函数，每两个值相差2πi的整数倍，(4)除去原点与负实轴,lnz在复平面内处处解析：

今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.

问题：3.5幂函数定义：----单值函数----n值函数----n值函数----无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且复积分存在的一个充分条件：复积分的性质：1线性性：

例题1

（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1）

（2）参数方程为可见积分与路径有关。例题2

解：

例如例题3

证明：

例如练习例题4

解：可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。§3.2柯西积分定理定理1（Cauchy）

如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,则它在D内任何一条封闭曲线C的积分为零:

注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。

注2：如果曲线C是D的边界,函数f(z)在D内与C上解析,即在闭区域D+C上解析,甚至f(z)在D内解析,在闭区域D+C上连续,则f(z)在边界上的积分仍然有推论：如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，与路径无关仅与起点和终点有关。于是是解析函数。解析函数的导数仍为解析函数特别地例如：注：以上讨论中D为单连通域。这里D为复连通域。可将柯西积分定理推广到多连通域的情况定理2

假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。------闭路变形原理推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，

所围成的多连通区域，

例题1C如图所示：解：

存在f(z)的解析单连通域D包含曲线C，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。从而例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：

（由闭路变形原理）§3.3柯西积分公式若

f(z)在D内解析，则分析：.定理(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则---解析函数可用复积分表示。[证]由于f(z)在z0连续,任给e>0,存在d(e)>0,当|z-z0|<d

时,|f(z)-f(z0)|<e.设以z0为中心,R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R<d.DCKzz0R根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能。推论1如果C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为------一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论2设f(z)在二连域D内解析，在边界上连续，则例题1

解：

§3.4解析函数的高阶导数

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.定理

解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:

其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即

因此就是要证按柯西积分公式有因此现要证当Dz0时I0,而f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|

M.d为z0到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|<d/2,因此L是C的长度这就证得了当Dz0时,I0.Dz0dC这就证得了再利用同样的方法去求极限:依此类推,用数学归纳法可以证明:高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.例1求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r>1.[解]1)函数在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.Cauchy不等式：

证明：注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；注2：

Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。证明：对复平面上任一点z，941.复数列的极限设{an}(n=1,2,...)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e>0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|<e在n>N时成立,则a称为复数列{an}当n

时的极限,记作此时也称复数列{an}收敛于a.95定理一

复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是[证]如果,则对于任意给定的e>0,就能找到一个正数N,当n>N时,96反之,如果972.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n项的和

sn=a1+a2+...+an称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛,98定理二

级数收敛的充要条件是级数

和都收敛

[证]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为

和的部分和,由定理一,{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极限存在,即级数和都收敛.99定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.100定理三[证]101102103另外,因为的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.104[解]1)因1052)由于an=ncosin=nchn,因此,当n

时,an.所以an发散.

例2下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)

因发散;收敛,

故原级数发散.1062)因,由正项级数的比值审敛法知

收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.3)因收敛;也收敛,

故原级数收敛.但因

为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.107§2幂级数1081.幂级数的概念设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数.最前面n项的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)称为这级数的部分和.109存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果对于D内的某一点z0,极限s(z)称为级数的和函数110这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:111定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO112[证]1131141152.收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:

i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.

ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.

iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.116显然a<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy117当a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.118例1求幂级数的收敛范围与和函数.[解]级数实际上是等比级数,部分和为1191203.收敛半径的求法121122123124125例2求下列幂级数的收敛半径1261271281294.幂级数的运算和性质象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.130131更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.132133Oxyab当|z-a|<|b-a|=R时级数收敛134按柯西积分公式,有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关,且0

q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|

M.因此,下面的公式在K内成立:称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.

圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|<d内成立.定理(泰勒展开定理)设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|<d时,

注：如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|.yz0ax

任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.

利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:[解]由于函数有一奇点z=-1,而在|z|<1内处处解析,所以可在|z|<1内展开成z的幂级数.因为

例1

把函数展开成z的幂级数.例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,

-1是它的奇点,所以可在|z|<1展开为z的幂级数.-1OR=1xy推论1：

注：推论2：

推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：推论4：例如：而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数1-z2+z4-…它有两个奇点

i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.

在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受|x|<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.§4洛朗级数

一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：这是z的幂级数,设收敛半径为R：对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：则当|z-z0|>R1时,即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域,原级数才收敛.z0R1R2例如级数在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy定理

设f(z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析,则C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.[证]设z为圆环域内的任一点,

在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得R1R2zrK1zRK2zz0因此有如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:Cz0R1R2称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.

一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.

根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.解：函数f(z)

在圆环域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+

内是处处解析的,应把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2先把f(z)用部分分式表示:ii)在1<|z|<2内：iii)在2<|z|<+

内:例2把函数[解]因有函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.例如在z=i

和z=-i处展开函数为洛朗级数。在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|<1中的泰勒展开式;

2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式;

3)在2<|z-i|<+

中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0<|z+i|<1中的洛朗展开式;

2)在1<|z+i|<+

中的洛朗展开式。O-ii特别的，当洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算积分）

其中C为圆环域R1<|z-z0|<R2内的任何一条简单闭曲线,

f(z)在此圆环域内解析.例３解：

将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<d内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.可去奇点

如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,则在圆域|z-z0|<d内就有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

从而函数f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.2.极点

如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,

且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成

其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d内是解析的函数,且g(z0)0.

反过来,当任何一个函数f(z)能表示为(*)的形式,且g(z0)0时,则z0是f(z)的m级极点.如果z0为f(z)的极点,由(*)式,就有3.本性奇点

如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.4.函数的零点与极点的关系

不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成

f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.根据这个定义,我们可以得到以下结论:

如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.

这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，

易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数

c0=c1=...=cm-1=0,cm0,

这等价于

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。例如z=1是f(z)=z3-1的零点,由于

f'(1)=3z2|z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.定理

如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点,

反过来也成立.这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.例2例3对讨论函数在处的性态。5.函数在无穷远点的性态

如果函数f(z)在无穷远点z=

的去心邻域R<|z|<内解析,称点

为f(z)的孤立奇点.作变换

把扩充z平面上

的去心邻域R<|z|<+映射成扩充w平面上原点的去心邻域：又.这样,我们可把在去心邻域R<|z|<+

对f(z)的研究变为在内对j(w)的研究.显然j(w)在内解析,所以w=0是孤立奇点.f(z)在无穷远点z=

的奇点类型等价于j(w)在w=0的奇点类型。即z=

是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限是否存在(有限值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.例题1例题2例题3

§2留数留数的定义及留数定理

如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那末根据柯西积分定理

但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R两端沿C逐项积分:称C-1为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0],即定理一(留数定理)

设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。

求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中

(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.

如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.2.留数的计算规则

规则1

如果z0为f(z)的一级极点,则规则2

如果z0为f(z)的m级极点,则事实上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令两端z

z0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1。即得规则3。由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:这比用规则1要简单些.例5解：所以原式=例4解：z=0为一级极点。3.在无穷远点的留数

设函数f(z)在圆环域R<|z|<

内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在

点的留数,记作f(z)在圆环域R<|z|<

内解析：

理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。

这就是说,f(z)在

点的留数等于它在

点的去心邻域R<|z|<+内洛朗展开式中z-1的系数变号.定理二

如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括

点)的留数总和必等于零.证：除

点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有所以规则4成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.例61.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiqdq,而其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有

其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.例1计算的值.[解]由于0<p<1,被积函数的分母在0

q2p内不为零,因而积分是有意义的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此

在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.例2计算的值.解：令例3解：取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性,设为一已约分式.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.例4例5解：3.形如的积分

当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.

象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有因此,在半径R充分大的CR上,有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1也可写为例6计算的值.[解]这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例4计算积分的值.[解]

因为是偶函数,所以

为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.由柯西积分定理,有CrCRyxO-rrR-R令x=-t,则有因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明由于所以j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,而由于在r充分小时,例题

211z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),a

t

b

表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.

如果z'(t0)0,a<t0<b,则表示z'(t)的向量(把起点放取在z0.以下不一一说明)与C相切于点z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z'(t0)§1保形映射的概念212

事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.z'(t0)213我们有Argz'(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z02141.解析函数的导数的几何意义设函数w=f(z)在区域D内

解析,z0为D内的一点,且f‘(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线:z=z(t),a

t

b,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.映射w=