高考数学课件-第2讲 数学思想方法

第2讲数学思想方法考情分析热点突破考情分析概述数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法”是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想等数学思想方法.1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确.3.化归与转化思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面:(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论思想就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.热点突破热点一函数与方程思想在不等式中的应用一、函数与方程思想例1:(2018·合肥市二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立,则()(A)4f(-2)<9f(3) (B)4f(-2)>9f(3)(C)2f(3)>3f(-2) (D)3f(-3)<2f(-2)解析:根据题意,令g(x)=x2f(x),其导数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x),又对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立,则当x>0时,有g′(x)=x(2f(x)+xf′(x))>0恒成立,即函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x),则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数g(x)也是偶函数,则有g(-2)=g(2),且g(2)<g(3),则有g(-2)<g(3),即有4f(-2)<9f(3).故选A.思维建模函数与方程思想在不等式中的应用(1)若给出的不等式左、右两边结构相同,可构造函数,利用构造的函数的单调性,转化为自变量的大小比较.(2)若给出含函数f(x)与其导函数f′(x)满足的不等式,需要构造函数,再根据构造的函数的单调性解决问题.常见类型有:①含f′(x)+k不等式,可构造函数g(x)=f(x)+kx;②含af(x)+xf′(x)不等式,可构造函数g(x)=xaf(x);④含f(x)+f′(x)不等式,可构造函数g(x)=exf(x);⑥含sinxf′(x)+cos

xf(x)不等式,可构造函数g(x)=sinxf(x)(2)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则有(

)(A)e2018f(-2018)<f(0),f(2018)>e2018f(0)(B)e2018f(-2018)<f(0),f(2018)<e2018f(0)(C)e2018f(-2018)>f(0),f(2018)>e2018f(0)(D)e2018f(-2018)>f(0),f(2018)<e2018f(0)热点二函数与方程思想在数列中的应用(2)求使b1+b2+…+bn>2018成立的最小正整数n的值.思维建模数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数,可用函数与方程思想处理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),已知Sn与an关系问题,应用方程思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数范围问题,应用函数思想来解决.热点训练2:(1)(2019·广东省六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于()(A)16 (B)15 (C)8 (D)7热点三函数与方程思想在立体几何、解析几何中的应用答案:(1)B思维建模立体几何、解析几何中的求值问题及位置关系问题常应用方程思想列方程(组)求解;求范围、最值等问题常选择恰当的变量建立目标函数,然后应用有关知识,求函数的最值或值域.二、数形结合思想热点一利用数形结合思想研究函数零点问题解析:函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点等价于方程f(x)-ax+a=0,即f(x)=a(x-1)有解,等价于函数y=f(x)与y=a(x-1)的图象有交点.思维建模解函数零点个数问题常应用数形结合思想转化为两个函数图象交点个数问题;解函数零点和问题,常应用数形结合思想利用图象的对称性求解.热点二利用数形结合思想解(非)线性规划问题思维建模在约束条件下求目标函数最值问题应用数形结合思想,画出可行域,根据目标函数的几何意义求解,最优解一般在可行域的顶点或边界处取得.答案:(1)A答案:(2)5热点三利用数形结合思想解决不等式、参数问题例6:(1)已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)单调递增,f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为()(A){x|0<x<1或x>2} (B){x|x<0或x>2}(C){x|x<0或x>3} (D){x|x<-1或x>1}解析:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=0,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以可作出函数f(x)的示意图,如图,则不等式f(x-1)>0可转化为-1<x-1<0或x-1>1,解得0<x<1或x>2.故选A.思维建模利用函数的图象解决不等式问题,通常根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数(若函数为不熟悉的形式,需要做适当的变形,转化为熟悉的函数),然后在同一坐标系中做出两个函数的图象,利用图象的位置,找到数量关系,从而解决不等式的问题.答案:(1)D答案:(2)(-∞,-5]三、化归与转化思想热点一特殊与一般的转化思维建模特殊与一般的转化就是通过对问题的特殊情形(如特殊函数、特殊数列、特殊值、特殊图形、特殊位置、特殊方程)的解决,寻求对问题的一般的、抽象的、运动变化的解决思路.热点二函数、方程、不等式之间的转化思维建模函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.解析:(1)易知,当x<0时,f′(x)=x2-x>0,f(x)为增函数,当x≥0时,f(x)=ex也为增函数,且x<0时,f(x)<0,x≥0时,f(x)≥1,故f(x)在R上为单调递增函数.故f(3-x2)>f(2x)等价于3-x2>2x,解得-3<x<1,故选B.热点三高维与低维的转化思维建模研究立体几何问题时,常把立体几何问题转化为平面几何问题解决.如沿几何体表面两点的距离问题转化为平面上两点的距离问题,点到平面距离转化为三角形高的问题或利用体积法解决.热点训练9:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小为60°,则点C到平面ABC1的距离为

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四、分类讨论思想热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论思维建模数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义,直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论;(2)由除法运算中除数不为零,不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论;(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论.答案:(1)D(2)在等比数列{an}中,已知a3=4,S3=12,则a1=

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解析:(2)设等比数列{an}的公比为q,①当q=1时,an=a1,此时S3=3a1=3a3=12,a1=4,符合题意.答案:(2)16或4热点二由图形位置或形状引起的分类讨论思维建模图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程