线性系统理论Chapter9

1第九章传递函数矩阵的结构特性9.1史密斯-麦克米伦形9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点9.3传递函数矩阵的结构指数9.4传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点9.5传递函数矩阵的评价值9.6传递函数矩阵的零空间和最小多项式基9.7传递函数矩阵的亏数9.8小结和评述2023最新整理收集do

something29.1史密斯-麦克米伦形史密斯-麦克米伦形及其构造原理结论9.1G(s)为q

p有理分式矩阵，rankG(s)=rmin{q，p}，则必存在q

q和p

p单模矩阵U(s)和V(s)，使其中，{ei(s)，yi(s)}为互质，且满足整除性yi+1(s)|yi(s)和ei(s)|ei+1(s)。M(s)为传递函数矩阵G(s)的史密斯-麦克米伦形。3史密斯-麦克米伦形的基本特性对于给定的G(s)，其史密斯-麦克米伦形M(s)是唯一的。但是单模阵对{U(s)，V(s)}则不是唯一的；即使G(s)是严格真的，其史密斯-麦克米伦形M(s)也可能不是真的。即单模阵对{U(s)，V(s)}的引入，会可能附加引入乘子sk；如果G(s)为方的且非奇异，a为非零常数，则必成立4

令M(s)=U(s)G(s)V(s)为史密斯-麦克米伦形，则M(s)的一个右MFD可表为其中 当取N(s)=U-1(s)E(s)，D(s)=V(s)Y(s)时，N(s)D-1(s)为G(s)的一个不可简约右MFD。5返回

令M(s)=U(s)G(s)V(s)为史密斯-麦克米伦形，则M(s)的一个左MFD可表为其中 当取NL(s)=EL(s)V-1(s)

，DL(s)=YL(s)U(s)时，DL-1(s)NL(s)为G(s)的一个不可简约左MFD。69.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点极点和零点的基本定义罗森布罗克定义：G(s)为q

p传递函数矩阵，rankG(s)=rmin{q，p}，其史密斯-麦克米伦形为则G(s)有限极点=M(s)中yi(s)=0的根，

G(s)有限零点=M(s)中ei(s)=0的根，i=1，2，..

，r。

7

几点讨论基于史密斯-麦克米伦形的罗森布罗克定义，只适用于定义传递函数矩阵G(s)在有限复数平面上的极点和零点；罗森布罗克定义的零点也称作传输零点；多变量系统极点和零点的重要特征是极点和零点可位于复平面的同一位置上而不形成对消。这是因为，在M(s)中，尽管{ei(s)，yi(s)}为互质即没有公因子，但ei(s)和yj(s)(i

j)之间可以包含公因子。8

极点和零点的推论性定义结论9.8设N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)分别为G(s)的任意不可简约右MFD和左MFD，则必成立G(s)有限极点=detD(s)=0的根或detDL(s)=0的根G(s)有限零点=使N(s)或NL(s)降秩的s值例结论9.9设给定G(s)是严格真的，系统的状态空间描述为(A，B，C)，且(A，B)为完全能控和(A，C)为完全能观测，则必成立

G(s)有限极点=det(sI-A)=0的根

G(s)有限零点=使降秩的s值9

对零点的直观解释结论9.10设给定多变量系统的传递函数矩阵G(s)，系统的联合能控和能观测的状态空间描述为(A，B，C)，再令z0为G(s)的一个零点，则对满足关系式的非零初始状态x0和非零常向量u0，系统对形如的一类输入向量具有阻塞作用，即由其引起的系统输出y(t)将恒等于零。返回109.3传递函数矩阵的结构指数结构指数G(s)的史密斯-麦克米伦形为Spz=G(s)的有限极点和零点的集合，其定义式为

Spz={s|s

C，ei(s)=0或yi(s)=0，i=1，2，..，r}对任意xk导出si(xk)是包括0在内的整数。且{si(xk)}是一非降序列：称集合{s1(xk)，..，sr(xk)}为G(s)在xk处的结构指数。例11

对结构指数的几点讨论结构指数以统一方式表征传递函数矩阵的极点和零点；si(xk)为正整数时表示G(s)在s=xk处有零点，si(xk)为负整数时表示G(s)在s=xk处有极点，而si(xk)为零时表示G(s)在s=xk处既无零点也没有极点；

G(s)在s=xk处极点的重数={s1(xk)，..，sr(xk)}中负指数之和取绝对值，G(s)在s=xk处零点的重数={s1(xk)，..，sr(xk)}中正指数之和；结构指数表示的史密斯-麦克米伦形M(s)返回129.4传递函数矩阵在无穷远处的极点和

零点无穷远处的极点和零点引入变换s=l-1，用H(l)代替G(s)，则G(s)在无穷远处的极点和零点将等于H(l)在l=0处的极点和零点。导出其史密斯-麦克米伦形，则可作定义G(s)在无穷远处极点=中零根，i=1，..

，r。G(s)在无穷远处零点=中零根，i=1，..，r。其中，r=rankG(s)，而，并且满足整除性以及为互质。13

无穷远处的结构指数G(s)在s=

处的结构指数{s1(

)，…，sr(

)}=在l=0处的结构指数其中，{s1(

)，..

，sr(

)}中的正指数之和为G(s)在

处的零点重数，{s1(

)，..，sr(

)}中的负指数之和的绝对值为G(s)在

处的极点的重数。返回149.5传递函数矩阵的评价值传递函数矩阵在有限复平面上的评价值标量传递函数g(s)的评价值给定其中，{d(s)，n(s)}为互质，且均不能为(s-xk)整除，则g(s)在(s-xk)即s=xk处的评价值

=

如果g(s)0，则=

。例传递函数矩阵G(s)的评价值

|G|i表示G(s)的一个i

i子式，r=rankG(s)，则规定

G(s)在s=xk处的第i阶评价值

=

min{(|G|i)}，i=1，…，r15结论9.21考虑传递函数矩阵G(s)，r=rankG(s)，U(s)和V(s)为单模阵，则其史密斯-麦克米伦形则对任一xk

C，必成立结论9.22Spz为传递函数矩阵G(s)有限极点零点集，则对任一，必有16结论9.23传递函数矩阵G(s)，r=rankG(s)，表{s1(x)，..，sr(x)}为G(s)在s=x处的结构指数，为G(s)在s=x处的各阶评价值，则两者之间成立例传递函数矩阵在无穷远处的评价值标量传递函数g(s)在

处的评价值

=v

(g)

“分母多项式d(s)的次数”-“分子多项式n(s)的次数”G(s)在

处的第i阶评价值v(i)

(G)

min{v

(|G|i)}，i=1，..，r

17结论9.25传函矩阵G(s)，r=rankG(s)，{s1()，

，sr()}为G(s)在s=

处的结构指数，为G(s)在s=

处的各阶评价值，则两者之间成立用法：通过计算G(s)在

处的各阶评价值来定出G(s)在

处的史密斯-麦克米伦形，其中l=1/s。传递函数矩阵的史密斯-麦克米伦形的合成表达式返回189.6传递函数矩阵的零空间和最小多项式基零空间设G(s)为非方的且为非满秩，则一定存在

G(s)f(s)=0和h(s)G(s)=0所以，G(s)的右零空间为非零向量f(s)在有理分式域上构成的一个向量空间，表之为G(s)的左零空间为非零向量h(s)在有理分式域上构成的向量空间，表之为19

零空间的基本属性r=rankG(s)，0

rmin{p，q}，则G(s)的零空间的维数满足dim(Wr)=p–r

和dim(Wl)=q–r；G(s)的右零空间Wr上的任一向量f(s)都正交于G(s)的所有行有理分式向量，G(s)的左零空间Wl上的任一向量h(s)都正交于G(s)的所有列有理分式向量；如果G(s)为列满秩，即rankG(s)=p，则G(s)右零空间Wr为空，如果G(s)为行满秩，即rankG(s)=q，则G(s)左零空间Wl为空；G(s)右零空间Wr和左零空间Wl同时为空的充要条件是G(s)为方的且为非奇异，即detG(s)0；G(s)零空间向量一般为有理分式向量，也包含有多项式向量。20

设W为G(s)的零空间，设其维数dim(W)=a。则任意a个线性无关的向量都可被取为零空间的基。若取定的这a个线性无关的向量为有理分式向量时，称为有理分式基。若这a个线性无关的向量为多项式向量时，称为多项式基。零空间W的次数为最小的一个多项式基称为最小多项式基。右零空间的最小多项式基可按如下方式来搜索：最小多项式基21从G(s)f(s)=0成立的所有多项式向量f(s)中，选择次数为最小的多项式向量，记为f1(s)，其次数为m1再从f(s)且和f1(s)线性无关的多项式向量中选择次数为最小的多项式向量，记为f2(s)，其次数为m2重复上步直到选满a个线性无关的多项式向量{f1(s)，f2(s)，..，fa(s)}最小多项式基{f1(s)，..，fa(s)}的次数mi满足m1

m2

..

ma与上述过程类似，左零空间h(s)G(s)=0的最小多项式基{h1(s)，..，hb(s)}，其次数满足u1

u2

..

ub。称{mi，i=1，..，a}为G(s)的右最小指数，称{uj，j=1，..，b}为G(s)的左最小指数。零空间的阶数为其多项式基的所有多项式向量的次数之和。22最小指数和克罗内克尔指数结论9.39设G(s)=(sE-A)，E和A为常数矩阵，则必成立：G(s)的右最小指数=(sE-A)的右克罗内克尔指数G(s)的左最小指数=(sE-A)的左克罗内克尔指数{m1，..，ma}为右克罗内克尔指数{u1，..，ub}为左克罗内克尔指数23结论9.40给定满列秩的多项式矩阵F(s)：

F(s)=[f1(s)，f2(s)，..，fa(s)]其列次数满足：m1

m2

..

ma则下述三种说法是等价的：(1){f1(s)，..，fa(s)}是由其张成的一个有理分式向量空间的一个右最小多项式基；(2)F(s)是列既约的和不可简约的；(3)F(s)有最小阶。左最小多项式基判据与上类似，意义：为零空间的多项式基是否最小，提供了比较方便的判断准则。返回249.7传递函数矩阵的亏数亏数给定q

p传递函数矩阵G(s)，r=rankG(s)，则G(s)的亏数定义为G(s)在复数平面C上的有限处和无穷远处的第r阶评价值vx(r)(G)的代数和取负值，即

G(s)的亏数=defG(s)标量传递函数g(s)的结构性质：

g(s)在有限处和无穷远处的极点总数

=g(s)在有限处和无穷远处的零点总数传递函数矩阵的奇异性，导致上式不再成立。25

亏数的极点零点不平衡性结论9.43q

p传递函数矩阵G(s)，r=rankG(s)，则必成立defG(s)={G(s)的有限极点和无穷远极点的总数}-{G(s)的有限零点和无穷远零点的总数}证明：对给定G(s)，可导出其史密斯-麦克米伦形26正整数即零点的结构指数负整数即极点的结构指数原题得证，并可推出结论9.44亏数反映G(s)极点零点不平衡性程度；结论9.45q×p传函G(s)，极点零点平衡

defG(s)=0；结论9.46defG(s)=0

G(s)正则，即G(s)为方且detG(s)027

亏数和最小指数结论9.47q

p传递函数矩阵G(s)，r=rankG(s)，则必成立defG(s)={G(s)的右最小指数之和}+{G(s)的左最小指数之和}讨论：亏数的大小反映了传递函数矩阵的奇异程度。表明传递函数矩阵的奇异性，在结构特性上呈现为极点总个数与零点总个数之间的不匹配性；亏数defG(s)总为正整数，因此，G(s)为奇异时，必属于极点总个数多于零点总个数的情况；当且仅当G(s)为方和非奇异时，有defG(s)=0，极点总个数等于零点总个数，即G(s)可保持良好的结构性质。返回289.8小结和评述本章定位：基于传递函数矩阵描述线性时不变系统的极点零点和奇异性极点和零点：有限和无穷，多输入多输出系统的一个基本属性是其有限与无穷极点总数和有限与无穷零点总数的不平衡奇异性：多种角度分析：G(s)