二阶系统时域响应

3.1典型输入信号3.2控制系统的时域性能指标3.3一阶系统的时域响应3.4二阶系统的时域响应3.5高阶系统的时域分析3.6线性定常系统的稳定性和劳斯判据3.7控制系统的稳态误差第三章时域分析法2021/5/912021/5/922021/5/93

闭环传递函数：

闭环特征方程：

系统结构图：

为典型二阶系统的传递函数，为阻尼系数，为无阻尼自然振荡角频率或固有频率。2021/5/94RLCur(t)uc(t)例1：RLC电路的传递函数为可见：二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。2021/5/952021/5/96①当时，零阻尼系统系统两个共轭虚根：

此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡角频率。2021/5/97

二阶系统两个共轭复根：②当时，欠阻尼系统：阻尼角阻尼振荡角频率2021/5/98s域输出响应：2021/5/99时域响应：2021/5/910

欠阻尼系统的单位阶跃响应（

0<ζ<1

）系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率为：③当

=1时，临界阻尼系统系统两个负实重根：

临界阻尼系统单位阶跃响应(

=1)

输出响应无振荡和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ>1

时快。④当时：过阻尼系统系统两个不等负实根：过阻尼系统单位阶跃响应(

>1)系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。

上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根（闭环极点）、特征根分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应特征根分布特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅振荡一对共轭虚根

2021/5/914随着阻尼系数ζ的增加，y(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当ζ>1时y(t)呈现单调上升运动(无振荡)。★最佳阻尼比，系统响应较快、超调不大。二阶系统的阻尼响应曲线ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。2021/5/915闭环极点坐标与阻尼比的关系：2021/5/9162021/5/917(1)上升时间trtr

d-z

n

n2021/5/918(2)峰值时间tptp峰值时间=阻尼振荡周期的一半ζ一定时，ωn越大，tp越小；ωn一定时，ζ越大，tp越大。(3)超调量

%tp2021/5/921%的大小完全取决于ζ，ζ越小，%越大；反映了系统的平稳性,ζ越大，系统平稳性越好。ζ=0.4~0.8

%=25.4%~1.5%。2021/5/922(4)调整时间ts包络线按定义：或当ζ由零增大时，ωnts先减小后增大，∆=5%，ωnts的最小值出现在ζ＝0.69处；∆=2%，ωnts的最小值出现在ζ＝0.78处；出现最小值后，ωnts随ζ几乎线性增加。2021/5/924结论：当ζ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设计二阶系统，一般选ζ=0.707(β=45°),为最佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且超调量也不大。ζ=0.707

%=4.32%≈5%。ts

≈3/(ζωn)。2021/5/925典型二阶系统的调节时间ts与阻尼比和自然振荡频率ωn的乘积成反比。闭环极点离虚轴越远，ts越短，系统响应越快。2021/5/926(5)振荡次数NN仅与

有关:

越大，N越小，系统平稳性越好。阻尼振荡周期2021/5/927(6)稳态误差ess根据稳态误差的定义欠阻尼二阶系统的稳态误差:2021/5/9281、二阶系统的动态性能由ωn和ζ决定。2、增加ζ

降低振荡，减小超调量%和振荡次数N，

系统快速性降低，tr、tp增加；3、ζ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。4、%

、N仅与ζ有关，而tr、tp、与ζ、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定ζ。ζ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。[总结]2021/5/929阻尼系数是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但长。当时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。[总结]在欠阻尼情况下工作时，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。注意到与有关，所以一般根据来选择。

越大，（当一定时）为了限制超调量，并使较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。2021/5/930过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。(2)稳态误差的计算：(1)调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算：±5%误差带±2%误差带2.过阻尼二阶系统的性能指标设当时，，这时可用一阶系统来近似。2021/5/931四、二阶系统对其他典型输入信号的响应若y(t)为单位阶跃响应，则系统r(t)y(t)单位脉冲响应单位速度（斜坡）响应单位加速度（抛物线）响应过阻尼：

>1欠阻尼：0<<1临界阻尼：

=1无阻尼：

=0二阶系统的单位斜坡响应(t0)2021/5/933由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点：主要由ζ决定。1）平稳性：超调量

%振荡次数Nζ↑→σ%↓,N↓→平稳性↑。ζ一定时，ωn↑→ωd↑→平稳性↓。ζ=0时，等幅振荡，不能稳定工作。2021/5/934ωn一定时，若ζ较小，ζ↓→

ts↑→快速性↓；ζ>0.707之后，ζ↑→

ts↑→快速性↓。所以ζ太小或太大，快速性均变差。2）快速性：由ζ和ωn决定。(1)上升时间tr(2)峰值时间tp(3)调整时间ts综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取ζ=0.707为最佳。2021/5/9353）准确性：由ζ和ωn决定。稳态误差ess单位阶跃响应：稳态误差ess单位速度响应：ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪斜坡信号的稳态误差增加。以欠阻尼为例。2021/5/936例1.

已知系统的闭环传递函数，当K=2,K=4

时，求系统的单位阶跃响应和性能指标σ%,ts

。Ф(s)=s2+3s+KK解：(1)K=2ζ=1.06>1C(s)=2s(s+1)(s+2)Ф(s)=s2+3s+222=2ωn2ωnζ=3c(t)=1-2e-t+e-2t1=ss+1-21s+2+tc(t)01系统性能指标ts=3T1=3(2)K=4Ф(s)=s2+3s+44ζ=0.75<12=4ωn2ωnζ=3c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(β=1-1.5e-1.5tsin(1.32t+41.4o)σ%=100%e-ζζπ1-2=2.8%ts=ζ4ωn=2.6732.672021/5/937例2.

单位反馈系统的开环传递函数为(1)二阶系统的参数ζ和ωn；若K=16,T=0.25,试求：(3)欲使σ%=16%,当T不变时K应取何值？(2)暂态性能指标σ%,ts

；2021/5/938例3：求如下随动系统的特征参数,分析与性能指标的关系。+n-电压放大器+-+-功放C-K1K2R若假设电枢电感La=0，则Ta=0，方程为当只考虑Ua时，电动机的微分方程方程为电动机传递函数为电压放大器和功放的传递函数分别为K1和K2，可得方框图因所以2021/5/939瞬态过程的性能指标例子闭环传递函数为：⒈T不变，K↑下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设):→N↑。→z↓→

%↑→wn↑→wd↑→zwn=1/2T不变，ts几乎不变总之，K增大振荡加剧；⒉K不变，T↑→N↑。→z↓→

%↑→wn↓→wd↓→zwn=1/2T↓→ts↑实际系统中T往往不能变，要使系统性能好，则K↓，这对控制精度不利。2021/5/9402021/5/941由图可见:c2(t)使得c(t)比c1(t)响应迅速且有较大超调量。2021/5/9422021/5/943

系统参数间的关系:2021/5/944可求得系统的性能指标:增加零点后,上升时间和峰值时间缩短,系统的初始响应加快,系统的超调量增大，振荡性增加。c(t)t01二阶系统带零点系统2021/5/945为了定量说明附加零点对二阶系统性能的影响，用参数α表示附加零点与典型二阶系统复数极点至虚轴距离之比，即零点从极点左侧向极点越靠近，影响越大；当零点距离虚轴很远时(α>5)，零点的影响可以忽略。2021/5/9462021/5/9471．误差信号比例-微分控制(PD)

比例微分控制二阶系统结构图开环传递函数:闭环传递函数:得R(s)C(s)比例微分控制使系统阻尼比增大,超调量将减少。若传递函数中增加的零点合适，将使得系统响应加快。2021/5/948对二阶系统性能的改善c(t)t01二阶系统加比例微分2021/5/949比例-微分控制的实现RC比例-微分网络运算放大器比例-微分网络2021/5/950

比例微分控制二阶系统结构图开环传递函数:闭环传递函数:得R(s)C(s)2．输出量微分(测速)负反馈控制-加入微分负反馈，系统的阻尼比增大，超调量减少。2021/5/951c(t)t01二阶系统加微分负反馈对二阶系统性能的改善2021/5/952(3)比例+微分控制与速度反馈控制的关系--比例+微分控制相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例+微分。其中对反馈信号进行比例+微分相当于速度反馈。所以误差的比例+微分控制相当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例+微分环节。因此可以将其分别讨论。-2021/5/9531、从物理本质上讲，测速反馈控制相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；比例-微分控制是一种早期控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。对于理想的线性控制系统来说，两种方法均可改善系统的动态性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率等。比例微分控制与测速反馈控制的比较2、对系统动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条