北师大版九年级数学上册 专题1.14 《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固（巩固篇）

专题1.14《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）单选题知识点一、锐角三角函数1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．2．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A． B． C． D．3．如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（）A． B． C． D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（） B． C． D．知识点二、特殊角三角函数值的计算5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．若α为锐角，且，则α等于（）A． B． C． D．7．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°8．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②＝PB•EF；③PF•EF＝2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④知识点三、解直角三角形9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A． B．﹣1 C． D．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个11．如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于（）．A． B． C． D．12．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，3)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为()(，) B．(2，) C．(，) D．(，3﹣)知识点四、利用三角函数解决实际问题13．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（）A． B．C． D．14．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为A． B． C． D．15．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则()A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=2116．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米填空题知识点一、锐角三角函数17．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．18．如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．19．如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．20．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________．知识点二、特殊角三角函数值的计算21．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，BC=12，则cosC=_____．22．如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．23．已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B=．24．已知：tanx=2，则＝____.知识点三、解直角三角形25．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___．26．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为_____．27．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为________米（结果保留根号）28．在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是_________．知识点四、利用三角函数解决实际问题29．如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）.30．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．31．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．32．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号）

三、解答题在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t=3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．已知：，，求的算术平方根．如图，在平面直角坐标系中，l是经过A（2，0），B（0，b）两点的直线，且b0，点C的坐标为（2，0），当点B移动时，过点C作CD⊥l交于点D．（1）求点D，O之间的距离；（2）当tan∠CDO=时，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，直接写出△ACD与△AOB重叠部分的面积．36．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）参考答案1．B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．解：如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．A【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴EF=AF，∴EF=AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF=x，∴tan∠BDE=.故选A．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．3．B【分析】根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解．解：解：如图∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，延长交于，∴，则，，过点作，设，则，，∴，∴在中，，即，解得：，∴．故选B．【点拨】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．4．A【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B．故选A．【点拨】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．5．A解：试题解析：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．6．B【分析】根据得出α的值．解：解：∵∴α-10°=60°，

即α=70°．

故选B．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．7．C【解析】试题解析：∵sin30°=cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选C．8．B【分析】由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．解：解：设AD=x，AB=2x∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB∴BC=x，CD=2x∵CP：BP=1：2∴CP=x，BP=x∵E为DC的中点，∴CE=CD=x，∴tan∠CEP==，tan∠EBC==∴∠CEP=30°，∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，∴∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴EF=2EG=2x∴PF·EF=x·2x=8x22AD2=2×（x）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误.在Rt△ECP中，∵∠CEP=30°，∴EP=2PC=x∵tan∠PAB==∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，AO=x，PO=x∴4AO·PO=4×x·x=4x2又EF·EP=2x·x=4x2∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．故选，B【点拨】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．9．B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.解：解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，故选：B.【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.10．B【解析】试题解析：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE=AD=BC，∴，∴CF=2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有

，即b=，∴tan∠CAD=．故④不正确；故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．11．D【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得的长，进而可得的长，过点D作DM⊥BC于点M，过点作于点E，于点F，如图，则四边形是矩形，解Rt△可得的长，即为FM的长，根据三角形的内角和易得，然后解Rt△可求出DF的长，进一步即可求出结果．解：解：在中，∵，，∴AC=2AB=4，∵将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，∴，∴，过点D作DM⊥BC于点M，过点作于点E，于点F，交AC于点N，如图，则四边形是矩形，∴，在Rt△中，，∴FM=1，∵，∴，在Rt△中，，∴，即点到的距离等于．故选：D．【点拨】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．12．A【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，），∴AC=OB=，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°=×=3．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=30°，AD=．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=，∴AM=×cos30°=，∴MO=﹣3=，∴点D的坐标为（，）．故选A．13．C【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可．解：选项A，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，选项A正确；选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，即BC＝m•tanα，选项B正确；选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，选项C错误；选项D，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD＝，选项D正确.故选C．【点拨】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．14．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，故选B．【点拨】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．15．B【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴=y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12-3-x=9-x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，即2x-y2=9，故选B．16．A解：试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=3米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：BD==8米，则BC=BD－CD=8－3=5米.考点：直角三角形的勾股定理17．【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．解：解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．18．解：分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==．故答案为．点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19．【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．解：解：设BC=a，则AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=∴．故答案为．【点拨】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．20．2【分析】先求出点B的坐标（0，），得到直线AB的解析式为：，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形与重叠部分的面积为列出关系式求出，再利用一次函数关系式求出=4，即可得到平移的距离.解：∵，∴OA=6，在Rt△AOB中，，∴，∴B（0，），∴直线AB的解析式为：，当x=2时，y=，∴E（2，），即DE=，∵四边形CODE是矩形，∴OC=DE=，设矩形沿x轴向右平移后得到矩形，交AB于点G，∴∥OB，∴△∽△AOB，∴∠=∠AOB=30°，∴∠=∠=30°，∴,∵平移后的矩形与重叠部分的面积为，∴五边形的面积为,∴,∴,∴,∴矩形向右平移的距离=，故答案为：2.【点拨】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.21．解：试题分析：线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.根据DE是BC的中垂线可得CE=BE=9，CD=BC=6，∠EDC=90°，则cosC=.考点：中垂线的性质、三角形函数.22．．【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．解：解：连接AE，∵，，，∴，∴，∴，，∴，∴阴影部分的面积是：，故答案为．【点拨】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．90°【分析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案．解：解：由题意可知：sinA=，tanB=，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠A+∠B=90°故答案为90°【点拨】本题考查特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数值，本题属于基础题型．24．【解析】试题解析：分子分母同时除以cosx，原分式可化为：，当tanx=2时，原式=．故答案为：．25．【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案．解：解：过B点作BE//AD交AC于点E，BE⊥AD，，∴∴由，∴设则故答案为：26．（1+）2019【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．解：解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝，∵A1B1∥A2B2，∴，∴，∴A2B2＝（1+），同法可得，A3B3＝（1+）2，……由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019，故答案为：（1+）2019．【点拨】本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．27．【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.解：解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．28．【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．解：解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．由可得直线OA的表达式为，由⊥OA，可设直线的解析式为，然后把点P代入得：，解得：，直线的解析式为，联立直线OA和的解析式可求的中点坐标，即：，解得：，设点由中点坐标公式可得：，，由两点距离公式可得：．即周长的最小值．故答案为．【点拨】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题及一次函数，解题关键在于找出两个对称点，利用方程求出点的坐标．29．(15+15)【分析】过点B作BM⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，继而证明∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE=，求出AE长，继而可得AC长.解：过点B作BM⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，∴BE=CD=15，∵∠CEB=90°，∴∠CEB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，∴CE=BE=15，在Rt△ABE中，tan∠ABE=，即，∴AE=15，∴AC=AE+CE=15+15，即教学楼AC的高度是(15+15)米，故答案为(15+15).【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键.30．解：【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【详解】由于，，，在中，，米，在，，米，米，故答案为.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．31．【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．解：解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，

∵斜面坡度为1：，∴tan∠ABF=，∴∠ABF=30°，

∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，

∴∠HPB=30°，∠APB=45°，

∴∠HBP=60°，

∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，

∴PB=AB，

∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，

故答案为：.【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．32．【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．解：如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形由图中数据可知，，，，在中，，即解得是等腰三角形则的长为故答案为：．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．33．（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=；（3）或．解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，∵A（8，0），C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴,，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点