备战2023年中考数学一轮复习知识解读专题03平行线四大模型

专题03平行线四大模型（知识解读）【专题说明】历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。【方法技巧】模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部·“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例分析】【模型1“铅笔”模型】【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．20° B．18° C．15° D．13°【典例2】问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．【模型2“猪蹄”模型（M模型）】【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝．【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【模型3“锯齿”模型】【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．【变式4-2】如图已知：∠1＝∠2，请再添加一个条件，使AB∥CD成立，并写出证明过程．【变式4-3】如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．专题03平行线四大模型（知识解读）【专题说明】历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。【方法技巧】模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部·“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例分析】【模型1“铅笔”模型】【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．20° B．18° C．15° D．13°【答案】D【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则OP∥AB∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣32°＝13°．故选：D．【典例2】问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．【解答】解：（1）∵BQ∥GE，∠1＝50°，∴∠E＝∠1＝50°，∵AF∥DE，∴∠AFG＝∠E＝50°；（2）过点A作AM∥BQ，由（1）得∠AFG＝∠E＝50°，∵BQ∥GE，∴AM∥BQ∥GE，∴∠FAM＝∠AFG＝50°，∠MAQ＝∠Q＝15°，∴∠FAQ＝∠FAM+∠MAQ＝65°，∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，∴∠MAC＝∠QAC+∠MAQ＝80°，∵AM∥BQ，∴∠ACB＝∠MAC＝80°．【模型2“猪蹄”模型（M模型）】【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝．【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠C＝28°，∵∠AEC是△AEF的一个外角，∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，故答案为：70°；（2）利用（1）的结论可得：∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，∴∠AEC＝∠BED＝90°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠BED＝45°，∴∠BEF的度数为45°；（3）∵BC∥DF，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CDG＝∠CDF＝62°，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠CDG＝62°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BAD＝31°，∵∠GDE＝20°，∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，利用（1）的结论可得：∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，∴∠AED的度数为129°．【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α【答案】C【解答】解：连接BC，∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．故选：C．【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC，∵PC∥l1，∴∠A＝∠APC，∵l1∥l2，∴PC∥l2，∴∠B＝∠BPC，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，故答案为：∠APB＝∠A+∠B；（2）发生变化，如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A，∵AC∥BD，∴PF∥BD，∴∠B＝∠BPF，∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D．延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．连接QP并延长，∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（或由（2）的结论得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【模型3“锯齿”模型】【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∠3＝∠BAP﹣∠1，∠4＝∠APC﹣∠2，∴∠3＝∠4（等式的性质），∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪