湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（解析版）

2023年秋季鄂州市部分高中教科研协作体期中考试高一数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，用交集的运算性质计算即可.【详解】，，所以．故选：B2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，，解得且，所以函数的定义域为.故选：C3.若，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】更多优质滋元可家威杏MXSJ663【分析】结合得，即可逐个判断.【详解】由知单调递减，又，则，B错误；则，A错误；，C错误；由二次函数知，单调递减，则，D正确.故选：D4.已知幂函数的图像过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，把点代入解析式求得，再求.【详解】为幂函数，设，依题意，解得，所以，则．故选：B．5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由，得且，所以“”可以得到“”；由，得，所以“”不能得到“”.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.已知是上的奇函数，且当时，，若，则（）A.1 B.－2 C.－1 D.2【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质，由题意，建立方程，可得答案.【详解】由是上的奇函数，则，且，由，则，解得，.故选：A.7.已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的性质求解.【详解】在y轴左侧作函数关于y轴对称的图象，得到偶函数的图象，向上平移一个单位得到的图象．故选:D．8.已知实数，则（）A.有最小值2 B.有最大值2C.有最小值6 D.无最小值【答案】B【解析】【分析】对分式变形，利用均值不等式求导即可得解.【详解】，因为，所以.所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为2.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列能够表示集合到集合的函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的概念判断各选项即可.【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故A正确；对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确；对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误；对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确.故选：ABD.10.若集合A，B，U满足，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据韦恩图即可得之间的关系，进而结合选项即可逐一求解.【详解】由知：与没有共同的元素，故，故A正确，∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．故选：AD．11.不等式对任意的恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解.【详解】可整理为，根据二次函数的性质有：，故A正确；当时，满足，即原不等式成立，B错误；由，得，所以，C正确；，D正确；故选：ACD．12.若，，当时，，则下列说法正确是（）A.的图象关于直线对称 B.的单调递增区间是C.的最小值为－4 D.方程的解集为【答案】AC【解析】【分析】利用函数的对称性和单调性求解即可.【详解】因为，，所以关于直线轴对称，故A正确；当时，，所以的单调递增区间为，又因为关于直线轴对称，所以的单调递增区间为和，两区间中间不可用并，所以B不正确；当时，所以的最小值为-4，故C正确；当时，方程的解为，因为关于直线轴对称，所以方程的解集为，所以D错误；故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题的否定为__________.【答案】【解析】【分析】由存在量词命题的否定是全称量词求解即可.【详解】命题的否定为.故答案为：.14.已知，则_________．【答案】（且）【解析】【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域.【详解】由，令，（且，且），则，（且），∴（且）,∴（且）.故答案为：（且）.15.郭老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为；③在上为单调减函数．郭老师说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个这样的函数_____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意可知符合题意的函数不止一个，符合其中两个条件，不符合另一个，比如即可.【详解】由题意可得满足②③，不满足①,符合题意，故答案为:.16.若对，使得成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值．【详解】由，得．由题意可得，使得成立，即，使得成立．，当且仅当时等号成立，故．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合.（1）求（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简集合A，然后根据补集运算求出，最后再求.（2）由题意可知或，解不等式即可.【小问1详解】解：，，则.【小问2详解】集合，，.若，则，即；若则解得.综上，实数的取值范围为.18.已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）由函数在区间上取到函数的最小值，得对称轴与区间的关系，建不等式求解即可.【小问1详解】由二次函数的图象关于直线对称，可设，，则解得∴的解析式为．【小问2详解】由题知，的对称轴为，且．∵在区间上的最小值为，∴，又，解得，即实数m的取值范围为．19.已知.（1）当时，若同时成立，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可；（2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求.【小问1详解】当时，，即，，即，若同时成立，则，即实数的取值范围为.【小问2详解】由（1）知，，，即，①当时，，若是的充分不必要条件，则，解得；②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.综上，实数的取值范围为.20.如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．（1）证明榶水不等式；（2）已知是三角形的三边，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【小问1详解】，因为，所以，所以，即．【小问2详解】因为是三角形的三边，所以，由（1）知，同理，所以，所以原不等式成立．21.已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．（1）判断函数的奇偶性并用定义证明；（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式：．【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析；（2）函数在上单调递减，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性；（2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性；（3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.【小问1详解】函数是奇函数，证明如下：令，则，解得；令，则，令，则，∴为定义在上的奇函数．【小问2详解】函数在上单调递减，证明如下：设，则，∴．，则，则；又，∴，又当时，，∴，∴，即，∴在上单调递减．【小问3详解】由得，∵的定义域为且在上是单调递减的，，解得，∴不等式的解集为．22.某生活超市经销某种蔬菜，经预测从上架开始的第且天，该蓅菜天销量（单位：）为.已知该种蔬菜进货价格是3元，销售价格是5元，该超市每天销售剩余的该种蔬菜可以全部以2元的价格处理掉.若该生活超市每天都购进该种蔬菜，从上架开始的5天内销售该种蔬菜的总利润为元.（1）求的解析式；（2）若从上架开始的5天内，记该种蔬菜按5元售价销售的总销量与总进货量之比为，设，求的最大值与最小值.【答案】（