新高考数学一轮复习5.3 平面向量的应用（精练）（基础版）（解析版）

5.3平面向量的应用（精练）（基础版）题组一题组一证线段垂直1．（2022·全国·高一课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形.故选：C.2．（2022·新疆）在△ABC中，若SKIPIF1<0，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则△ABC为直角三角形.故选：B.3．（2021·浙江）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的是等腰三角形．故选：B．4．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【答案】证明见解析【解析】∵SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<02－SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0，∴SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即DE⊥AF.5．（2022·湖南）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为BC的中点，E是AB上的一点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】证明见解析【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.6．（2022·浙江）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.【答案】证明见解析【解析】设SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2-(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2=SKIPIF1<02+2e·SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0·SKIPIF1<0-SKIPIF1<02，由条件知：SKIPIF1<02=SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02+SKIPIF1<02，所以SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0·(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=0，即SKIPIF1<0，所以AD⊥BC.7．（2022·浙江）如图，在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）证明见解析【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0题组二题组二夹角问题1．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，以SKIPIF1<0点为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴构建直角坐标系，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.2．（2022·江西）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系如图所示，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：D.3．（2022·江苏）（多选）已知向量SKIPIF1<0，记向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为锐角 B．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为钝角C．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为直角 D．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为平角【答案】ACD【解析】A.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为锐角，故正确；B.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角或平角，故错误；C.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角，故正确；D.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为平角，故正确.故选：ACD4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为锐角时，SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·四川省平昌中学）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的夹角为钝角，则实数SKIPIF1<0的范围_______【答案】SKIPIF1<0【解析】由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0为钝角，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.6．（2022·全国·期末）一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知SKIPIF1<0分米，SKIPIF1<0分米，点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0的四条边上运动，当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，由以上可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<08．（2022·安徽·池州市第一中学）如图，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段AM，BN相交于点P，则SKIPIF1<0的余弦值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<09．（2021·湖南）已知平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图以SKIPIF1<0为原点建立直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10．（2022·湖北）已知SKIPIF1<0＝(1，2)，SKIPIF1<0＝(1，SKIPIF1<0)，分别确定实数SKIPIF1<0的取值范围，使得：（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为直角；（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角；（3）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角．【答案】（1）SKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0∪(2，＋∞)．【解析】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝(1，2)·(1，SKIPIF1<0)＝1＋2SKIPIF1<0．（1）因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为直角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以1＋2SKIPIF1<0＝0，所以SKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不反向．由SKIPIF1<0得1＋2SKIPIF1<0<0，故SKIPIF1<0<－SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线得SKIPIF1<0＝2，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不可能反向．所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．（3）因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0>0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不同向．由SKIPIF1<0>0，得SKIPIF1<0>－SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向得SKIPIF1<0＝2．所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0∪(2，＋∞)．11．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝3，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为θ.求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的取值范围．【答案】SKIPIF1<0.【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的夹角为锐角，设SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的取值范围为SKIPIF1<0．题组三题组三线段长度1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.2．（2022·湖南）（多选）已知SKIPIF1<0分别是三棱锥SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．若异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小为60°，则线段SKIPIF1<0的长为（

）A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交角为SKIPIF1<0．因为异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为60°，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别代入上式，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：AD．3．（2022·全国·信阳高中）已知四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C.解法二：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.4．（2022·山东济宁）已知两点SKIPIF1<0分别是四边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为是___________【答案】SKIPIF1<0【解析】作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.5（2022·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是四边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长是___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是四边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．（2021·上海市市西中学）空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0边的中点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为四边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中位线．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，下面证明：平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：207．（2022·上海理工大学附属中学）如图，定圆SKIPIF1<0的半径为3，A，B为圆SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0的最小值为2，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】当t＝0时，SKIPIF1<0不满足题意；当t＞0时，设tSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，延长EA到F，使AF＝AE，则tSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无最小值不满足题意；当t＜0时，设tSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取AB中点为D，则CD⊥AB，由图可知，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的最小值为2，∴SKIPIF1<0＝2，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题组四题组四几何中的最值1．（2022·河南南阳·高一期末）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：A.2．（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若M，N是线段BC上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故选：C.3．（2022·湖南）线段SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的一条直径，直线SKIPIF1<0上有一动点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：C4．（2022·广东广州·）平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以点P在以BC为直径的圆的劣弧AC上，分别以AB、AC为x，y轴正方向建系，取BC中点E，如图所示所以SKIPIF1<0，则圆E的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最小值为-2，故选：A5．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成夹角的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0②与③联立可得SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0①④联立可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成夹角的最大值是SKIPIF1<0，6．（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】由题意知：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如下图所示的平面直角坐标系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故选：C.7．（2022·浙江丽水）已知平面向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴问题转化为求SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上的哪一点时，使SKIPIF1<0最小，又SKIPIF1<0，∴当且仅当SKIPIF1<0三点共线且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小为SKIPIF1<0.故选：B.8．（2022·河南）已知点SKIPIF1<0是圆：SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的直径，如图所示；设坐标原点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线时，取得最大值7；故选：C．题组五题组五三角的四心1．（2022·湖北武汉）在三棱锥SKIPIF1<0中.作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0.①若三条侧棱SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角相等，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心；②若三个侧面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的二面角相等，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心：③若三组对棱SKIPIF1<0与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中有两组互相垂直，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心以上三个空依次填（

）A．外，垂，内 B．内，外，垂 C．垂，内，外 D．外，内，垂【答案】D【解析】对于①，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下图所示：由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心；对于②，过点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如下图所示.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为侧面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的平面角，同理可知，SKIPIF1<0为侧面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的平面角，SKIPIF1<0为侧面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的平面角，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心；对于③，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如①中的图，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心.故选：D2．（2022·全国·专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件SKIPIF1<0，则O是△ABC的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心【答案】C【解析】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0方向上的单位向量，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0共线，故SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，故O是△ABC的内心.故选：C.3．（2022·重庆市长寿中学校）奔驰定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内的一点，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面积分别记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的SKIPIF1<0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF