新高考数学二轮复习培优讲义03 不等式（含解析）

解密03讲：不等式【考点解密】1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同为正数3．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅4．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．5．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.6．用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值应注意：一正二定三相等.(1)a，b是正数；(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．【方法技巧】一、比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．二、判断不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)利用特殊值法排除错误答案．(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．三、利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．【核心题型】题型一：比较两个数（式）的大小1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】通过作差法，SKIPIF1<0，确定符号，排除D选项；通过作差法，SKIPIF1<0，确定符号，排除C选项；通过作差法，SKIPIF1<0，确定符号，排除A选项；【详解】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故选：B.2．已知：SKIPIF1<0，则3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选D.【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.3．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．无法确定【答案】A【分析】利用作差法解出SKIPIF1<0的结果，然后与0进行比较，即可得到答案【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：A题型二：不等式的基本性质4．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.【详解】对于选项A，注意到若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故A错误.对于选项B，设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故B错误.对于C选项，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C错误.对于D选项，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确.故选：D5．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，则SKIPIF1<0 D．若a>b，c>d>0，则SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.【详解】解：由不等式性质逐项分析：A选项：由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根据不等式同向相加的原则SKIPIF1<0，故A正确B选项：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故B错误；C选项：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故C正确；D选项：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC6．已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】对A，对SKIPIF1<0两边同除ab化简即可判断；对B，对不等式移项进行因式分解得SKIPIF1<0，即可进一步判断SKIPIF1<0的符号不确定，即可判断；对C，对不等式移项进行因式分解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即可判断；对D，对不等式移项进行根式运算得SKIPIF1<0，即可进一步判断【详解】对A，SKIPIF1<0，A正确；对B，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不等式不一定成立，B错误；对C，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不等式成立，C正确；对D，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不等式不成立，D错误；故选：AC．题型三：不等式性质的综合应用7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用待定系数法得出SKIPIF1<0，并计算出SKIPIF1<0的取值范围，利用不等式的性质可得出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由不等式的性质可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选D.【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题.8．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用待定系数法求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，从而可得结果.【详解】令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，…∴①SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0…②∴①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0．故选C．【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.9．已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围为__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0，由不等式的性质可以得到SKIPIF1<0的取值范围.【详解】SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，根据不等式的性质可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【点睛】本题考查了不等式的性质.不等式的性质中没有相除性，可以利用相乘性进行转化，但是应用不等式相乘性时，要注意不等式的正负性.题型四：利用基本不等式求最值命题点1配凑法10．设实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】A【解析】将函数变形为SKIPIF1<0，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】解：由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方11．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．【答案】eq\f(3,2)【详解】因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，所以xy＝eq\f(1,6)(2x·3y)≤eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3y,2)))2＝eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＝eq\f(3,2).当且仅当2x＝3y，即x＝eq\f(3,2)，y＝1时，xy取到最大值eq\f(3,2).12．已知a>b>c，求(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值．【详解】(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝(a－b＋b－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝1＋1＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c).∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，∴(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值为4.命题点2常数代换法13．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立.结合SKIPIF1<0可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0.故选：D.14．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求SKIPIF1<0的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为9．故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．若实数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【分析】由条件变形SKIPIF1<0，再结合基本不等式求最小值.【详解】由条件可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，结合条件SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D16．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_________．【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求解.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0=4时取等号，结合SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，等号成立.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.命题点3消元法17．负实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知可得SKIPIF1<0，再利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为负实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由基本不等式可得，当且仅当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，等号成立.故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.18．若实数x，y满足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值为________．【答案】8【详解】∵实数x，y满足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，∴x＝eq\f(3,y＋3)，∴0<eq\f(3,y＋3)<eq\f(1,2)，解得y>3.则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)＝y＋3＋eq\f(1,y－3)＝y－3＋eq\f(1,y－3)＋6≥2eq\r(y－3·\f(1,y－3))＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝eq\f(3,7)时取等号．19．已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】依题意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，利用基本不等式计算可得；【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；故选：B题型五：基本不等式的综合应用20．已知正实数a、b满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为4，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以有SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，再利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的范围.【详解】解：因为SKIPIF1<0为正实数，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，此时有SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由基本不等式可知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0时等号成立），所以SKIPIF1<0.故选：B.21．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用向量知识可得SKIPIF1<0，两边平方可得SKIPIF1<0，再利用不等式知识可求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0故选：A【点睛】关键点点睛：将向量条件SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，利用向量数量积的运算律运算得到SKIPIF1<0是解题关键.22．设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则eq\f(Sn＋8,an)的最小值是________．【答案】eq\f(9,2)【详解】an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝eq\f(n1＋n,2)，所以eq\f(Sn＋8,an)＝eq\f(\f(n1＋n,2)＋8,n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(16,n)＋1))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(n·\f(16,n))＋1))＝eq\f(9,2)，当且仅当n＝eq\f(16,n)，即n＝4时取等号，所以eq\f(Sn＋8,an)的最小值是eq\f(9,2).【高考必刷】一、单选题1．（2021·山西太原·高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用作差法，令SKIPIF1<0，结果配方，判断符号后得出结论．【详解】SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，故选：D．【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论涉及完全平方公式的应用．属于基础题.2．（2022·湖北·葛洲坝中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能确定【答案】A【分析】作差法比较大小，即得解【详解】由题意，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0故选：A【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题3．（2022·江苏宿迁·高一期中）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用不等式的性质，通过举特例结合作差法比较大小即可判断各个选项正误.【详解】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然A错误；对于B，∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即B正确；对于C：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然C错误；对于D：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然D错误；故选：B.4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件．【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题．5．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0为正实数且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】D【分析】由题知SKIPIF1<0，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为SKIPIF1<0为正实数且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）已知两个正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．3【答案】A【分析】根据题中条件，得到SKIPIF1<0，展开后根据基本不等式，即可得出结果.【详解】因为正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故选：SKIPIF1<0．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．（2022·全国·高一单元测试）已知正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，再将代数式SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相乘，利用基本不等式可求出SKIPIF1<0的最小值．【详解】SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，等号成立，因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选SKIPIF1<0．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．8．（2022·浙江·高一期中）已知实数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】构造SKIPIF1<0，利用均值不等式即得解【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立故选：B【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题9．（2021·安徽合肥·高一期末）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（SKIPIF1<0）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•1﹣1＝[（x+1）+y]•2（SKIPIF1<0）﹣1＝2（2SKIPIF1<01≥3+4SKIPIF1<07．当且仅当xSKIPIF1<0，y＝4取得最小值7．故选C．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0至少有一个大于2B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合反证法、全称量词命题、不等式、函数解析式的求法等知识求得正确答案.【详解】A选项，依题意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0都不大于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，与已知SKIPIF1<0矛盾，所以SKIPIF1<0至少有一个大于SKIPIF1<0，A选项正确.B选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以B选项错误.C选项，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C选项错误.D选项，依题意，SKIPIF1<0①，以SKIPIF1<0替换SKIPIF1<0得SKIPIF1<0②，由①②解得SKIPIF1<0，所以D选项错误.故选：A11．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期中）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取最小值，则SKIPIF1<0等于（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【分析】将函数SKIPIF1<0的解析式配凑为SKIPIF1<0，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的SKIPIF1<0值，可得出SKIPIF1<0的值.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，等号成立，因此，SKIPIF1<0，故选A.【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.12．（2015·湖南·高考真题（文））若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【详解】SKIPIF1<0，（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选C.考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．13．（2022·山东·青岛二中高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展景响深远．已知a，b为非零实数，且SKIPIF1<0；则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.【详解】A：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，错误；B：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，错误；C：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，错误；D：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，正确.故选：D14．（2022·福建·福州第十五中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先求得SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的取值范围，再把SKIPIF1<0转化为关于SKIPIF1<0的代数式SKIPIF1<0，利用函数SKIPIF1<0的单调性去求SKIPIF1<0的取值范围即可解决【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：C15．（2021·山西·太原市第五十六中学校高一阶段练习）若正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】B【分析】将方程变形SKIPIF1<0代入可得3x+4y=（3x+4y）（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0×3，然后利用基本不等式即可求解．【详解】∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴SKIPIF1<0∴3x+4y=（3x+4y）（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0×3SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即x=2y=1时取等号,SKIPIF1<0的值为2.故答案为B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.16．（2022·全国·高三专题练习）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，利用基本不等式解答即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，∵当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，∴只需SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0的取值范围为：SKIPIF1<0．故选A．【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出SKIPIF1<0，属于一般题．17．（2022·天津·静海一中高一期中）已知正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知可得出SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相乘，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值，即可得出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立．又SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0．故选：C.18．（2022·福建·莆田一中高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】由已知可得SKIPIF1<0，即求SKIPIF1<0的最小值，由基本不等式可得答案.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等号成立，要使不等式恒成立，所以SKIPIF1<0所以实数SKIPIF1<0的最大值为8.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、多选题19．（2022·全国·高一单元测试）下列命题为真命题的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AD【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由SKIPIF1<0判断；D.作差判断.【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故错误；C.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故错误；D.SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正确；故选：AD20．（2022·河南省浚县第一中学高一阶段练习）若正实数a，b满足SKIPIF1<0则下列说法正确的是（

）A．ab有最大值SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有最小值2 D．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0【答案】AB【解析】对A,根据基本不等式求SKIPIF1<0的最大值；对B,对SKIPIF1<0平方再利用基本不等式求最大值；对C,根据SKIPIF1<0再展开求解最小值；对D,对SKIPIF1<0平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时取等号.故A正确.对B,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时取等号.故B正确.对C,SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0时取等号.所以SKIPIF1<0有最小值4.故C错误.对D,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0.故D错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.三、填空题21．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高一阶段练习）若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由不等式的性质即可求解.【详解】设SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形SKIPIF1<0是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.22．（2018·天津·高考真题（理））已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_____________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意首先求得SKIPIF1<0的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，且：SKIPIF1<0，因为对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，结合均值不等式的结论可得：SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立.综上可得SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．23．（2023·广东·惠来县第一中学高一期中）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为________．【答案】1【分析】直接利用基本不等式求最大值.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号．故答案为：SKIPIF1<024．（2022·天津市第四中学高三期中）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将已知条件简化为SKIPIF1<0；将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．【详解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取“SKIPIF1<0”，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0