数学七年级下学期5.13 分式方程

专题5.13分式方程（知识讲解）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.特别指出：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.特别指出：增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】【类型一】分式方程的定义1．下列方程哪些是分式方程？(1)；(2)；（3）；（4）（a是常数）．【答案】(1)(2)是分式方程【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．解：(1)是分式方程；(2)是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程，故(1)(2)是分式方程．【点拨】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程．举一反三.【变式】下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？（1）(2)（3）（4）【答案】(1)、(2)、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．(1)是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程，(2)是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程，（3）是分式，不是分式方程，（4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程，∴(1)、(2)、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．【类型二】解分式方程2.(1)解方程：(2)；【答案】(1)x＝9；(2)【分析】(1)两边都乘以x（x﹣1），化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；(2)两边都乘以2x﹣1，化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．(1)解：两边都乘以x（x﹣1），得9（x﹣1）=8x，解得：x＝9检验：当x＝9时，x﹣1＝8≠0所以分式方程的解为x＝9

(2)解：两边都乘以2x﹣1，得：2x﹣5＝3（2x﹣1），解得：检验：当时，2x﹣1＝﹣2≠0，所以分式方程的解为．【点拨】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．举一反三.【变式1】解方程：(1)(2)【答案】(1)x=6；(2)【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解分式方程即可．解：(1)3(x-2)=2x，3x-6=2x，3x-2x=6，x=6经检验，x=6是原方程的解．(2)2x-5=3(2x-1)，2x-6x=5-3-4x=2，．经检验，是原方程的解．【点拨】本题考查了解分式方程，正确的去分母是解题的关键．【变式2】计算或解方程：(1)计算：；(2)解方程：．【答案】(1)1；(2)无解【分析】(1)先变除为乘，然后因式分解，约分即可；(2)方程两边都乘（2-x）约去分母，化为一元一次方程，解方程求出x，检验即可．解：（1）原式；去分母得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：把代入最简公分母中，，∴原方程无解．【点拨】本题考查分式乘除混合运算，可化为一元一次方程的分式方程，掌握分式乘除混合运算，可化为一元一次方程的分式方程是解题关键．【类型三】根据分式方程解的情况求值3.若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整．解：步骤1：由不等式①，解得．由不等式②，解得．又∵该不等式组的解集为x＜4，∴a的取值范围是．步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝．请继续写出下面的解答过程．步骤3：．【答案】x＜4；；；；且【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，根据解是正数，且不是增根，得到a的最终范围即可．解：步骤1：由不等式①，解得x＜4．由不等式②，解得．又∵该不等式组的解集为x＜4，∴a的取值范围是．步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝，∵关于y的分式方程＝4的解是正数，且，∴，且，解得：且，∴a的取值范围为且．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．举一反三.【变式1】若关于x的方程的解为非负数，则实数m的取值范围．【答案】且【分析】先求解分式方程，利用含m代数式表示该方程的解，然后根据题意建立含m的不等式，进而问题可求解．解：由可得：，∵关于x的方程的解为非负数，∴，且，解得：且；【点拨】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．【变式2】关于x的分式方程：．(1)当m＝3时，求此时方程的根；(2)若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．【答案】(1)x=-5；(2)-4或6【分析】(1)把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．解：（1）把m=3代入方程得：，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6．【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型四】分式方程无解问题4.已知关于x的分式方程．(1)若分式方程的根是，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1(2)-2(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，(1)把x=5代入整式方程求出a的值即可；(2)由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：把x=5代入得，，∴a=1；由分式方程有增根，得到x（x-2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程得：a=-2；把x=0代入整式方程得：a的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3)化简整式方程得：（a-3）x=-10，当a-3=0时，该方程无解，此时a=3；当a-3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由(2)得：a=-2，综上，a的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．举一反三.【变式1】(1)解分式方程：；(2)只改变分式方程方框中的一个数字，使该分式方程无解．请直接写出一个改编后的分式方程：______．【答案】(1)；(2)（或，或，或）【分析】(1)去分母，再解整式方程即可；(2)把要确定的数字设为a，化为整式方程后，把使分母为0的未知数的值代入即可求出改编的方程．(1)解：方程两边同时乘以，得，解得检验：当时，，所以是原方程的解．(2)设改编后的方程为，去分母得，，把代入得，，解得，所以，改编后的方程为；故答案为：（或，或，或）【点拨】本题考查了解分式方程和方法方程的解，解题关键是熟练运用解方法方程的方法求解，明确分式方程无解的条件．【变式2】已知关于的方程无解，求的值．【答案】或或【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．解：方程两边同乘以，得：，化简得：，当时，原方程无解，可能的增根是或，当时，，当时，，当或时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解，或或时原方程无解．【点拨】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．【类型五】列分式方程5.文具店王老板用180元购进一批文具，很快售完；王老板又用600元购进第二批文具，所购套数是第一批的3倍，但进价比第一批每套多了2元．(1)第二批文具每套进价多少元？(2)王老板以每本25元的价格销售第二批文具，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批文具的销售总利润不少于60元，剩余的文具每套售价最低打几折？【答案】(1)20元(2)七折【分析】(1)设第二批文具每套进价为元，则第一批每套进价为元，由题意得列出分式方程，求解即可；(2)设剩余的文具每套打折，由题意得一元一次不等式，进行计算即可．(1)解：设第二批文具每套进价为元，则第一批每套进价为元，由题意得：解得：，经检验，为原分式方程的解．答：第二批文具每套进价为20元．(2)解：第二批文具的套数为：（套）设剩余的文具每套打折，由题意得：解得：，答：剩余的文具每套最低打七折．【点拨】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是准确找到题目中的数量关系是解题的关键．举一反三.【变式1】小王计划从某批发市场批量购买A、B两种仿古秦兵马俑工艺品摆件，已知A种摆件的批发价比B种摆件的批发价每个少5元，且用400元购买的A种摆件数量与用500元购买的B种摆件数量相同．(1)求A、B两种摆件的单价各是多少？(2)凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为50元，若小王购买会员卡并用此卡按需购买100个仿古秦兵马俑工艺品摆件，共用了y元，设A种摆件购买了x个，请求出y与x之间的函数关系式．若小王共用了1930元，则他购买A、B两种摆件各多少个？【答案】(1)A种摆件的单价为20元，B种摆件的单价为25元(2)他购买A摆件30个，B种摆件70个【分析】(1)设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，根据题中的等量关系列方程，求解即可；(2)设A种摆件购买了x个，则B种摆件购买了（100-x）个，根据单价、会员卡折扣、会员卡费用情况可直接写出y与x之间的函数关系式，将y=1930代入函数关系式，求出对应x值即可．(1)解：设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，依题意，得：，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝25．答：A种摆件的单价为20元，B种摆件的单价为25元．(2)解：根据题意，y＝20×0.8x+25×0.8（100﹣x）+50＝﹣4x+2050，当y＝1930时，﹣4x+2050＝1930，解得：x＝30，100﹣30＝70（个），答：他购买A摆件30个，B种摆件70个．【点拨】本题考查了分式方程、一元一次函数的实际应用，根据题中已知条件列出等式是解题关键，注意解分式方程时求得的解要进行检验．【变式2】一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用的时间，与以最大航速沿江逆流航行所用的时间相等，江水的流速是多少？【答案】6km/h【分析】设水流速度为vkm/h，则顺流速度为（30＋v）km/h，逆流速度为（30－v）km/h，根据时间关系列方程求解即可；解：设水流速度为vkm/h，则由题意得，90（30－v）=60（30＋v），解得v=6，经检验，v=6是原方程的解，答：江水的流速是6km/h【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系列出方程．【类型六】分式方程的实际应用6.神舟十三号飞船即将荣耀归来，为激发同学们对航天事业的兴趣，学校组织进行了一场以“飞天”为主题的文艺晚会，学校打算购买一些“飞天”装饰挂件与专属航天印章送给学生留作纪念．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；用200元购买挂件的盒数与用150元购买印章的盒数相同．(1)求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元？(2)如果给每位学生分发2个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，请用含α的代数式表示b；(3)累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠．学校以(2)中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数关系式．该校有750名学生，需要购买挂件与印章各多少盒？共需要多少费用？【答案】(1)每盒挂件为40元，每盒印章为30元；(2)b＝a(3)，需要购买50盒挂件与75盒印章，共需要2890元【分析】(1)设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为(x－10)元，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得；(2)根据配套问题，a盒挂件与b盒印章恰好分发配套，列出用含a的代数式表示b即可；(3)根据累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答．解：(1)设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为(x－10)元．根据题意，得，解得x＝40．经检验x＝40是分式方程的解，∴x－10＝40－10＝30(元)．答：每盒挂件为40元，每盒印章为30元；(2)∵a盒挂件与b盒印章恰好分发配套，∴30a÷2＝20b÷2

∴b＝a；（3）当w≤850，即a≤10时，；当w＞850，即a>10时，w＝850＋0.6(85a－850)＝51a＋340．

∴．∵挂件需要750×2＝1500个，印章需要750×2＝1500个．∴需要购买挂件1500÷30＝50盒，印章1500÷20＝75盒．∴总费用w＝51×50＋340＝2890元．答：需要购买50盒，挂件与75盒印章，共需要2890元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，分段函数及一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．举一反三.【变式1】某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液瓶数的一半．(1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；(2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？【答案】(1)购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．(2)该学校最多可购买21个测温枪．【分析】(1)设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，根据“用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．”，可列出方程，解出即可；(2)设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，根据“购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，”可列出不等式，即可求解．解：(1)设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，依题意，得：，解得