辽宁省抚顺市马鞍山中加双语学校高三数学文模拟试卷含解析

辽宁省抚顺市马鞍山中加双语学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量满足与的夹角为，，则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D2.已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为（

）A．

B．

C．与

D．以上都不对参考答案：C3.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A．10个

B．9个

C．8个

D．1个参考答案：A略4.若复数Z满足，则Z等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，则下列正确的为（）A．（f（1）+1）?e＞f（2）+1 B．3e＜f（2）+1C．3?e≥f（1）+1 D．3e2与f（2）+1大小不确定参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由此可得结论．【解答】解：构造函数g（x）=，∴g′（x）=＞0，∴函数在R上单调递增，∴g（2）＞g（1）＞g（0），∴（f（1）+1）?e＜f（2）+1，3?e＜f（1）+1，3e2＜f（2）+1，∴3e＜f（2）+1，故选：B．6.已知为等比数列，，，则（

）

（A）7

（B）5

（C）-5

（D）-7参考答案：D略7.已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且,则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（） A． B． C．32π D．8π参考答案：B【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图． 【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球，计算出球的半径，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球， 故外接球的半径R==， 故球的体积V==， 故选B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 9.在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：B,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B.10.若平面向量现向量等于

（

）

A．（－1，2）

B．（－3，6）

C．（3，－6）

D．（－3，6）或（3，－6）参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为

；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：①﹣1②≤a＜1，或a≥2

【考点】函数的零点；分段函数的应用．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．12.如图，在平面斜坐标系中，。斜坐标定义：如果，（其中分别是轴，轴的单位向量），则叫做P的斜坐标。（1）已知P的斜坐标为，则

。（2）在此坐标系内，已知，动点P满足，则P的轨迹方程是

。参考答案：

本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为的坐标系。这是区别于以前学习过的坐标系的地方。（1），（2）设，由得，整理得：。本题给出一个新情景，考查学生运用新情景的能力，只要明白了本题的本质是向量一个变形应用，问题即可解决。13.已知x，y满足条件的最大值为＿＿＿＿参考答案：4作出可行域如图，是三条直线围成的三角形区域．又，作直线，向下平移此直线，当过点（2，0）时，取得最大值2，所以的最大值为．14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取

名学生．参考答案：【知识点】分层抽样方法．

I1【答案解析】15

解析：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15【思路点拨】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数.15.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意，都有成立，则称和在上是“亲密函数”，区间称为“亲密区间”．若与在上是“亲密函数”，则b的最大值是

．参考答案：416.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．参考答案：【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于﹣1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可．【解答】解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，∴k=1，又圆心在直线x+y=0上∴∴m=﹣1∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，△AOB为不等式所表示的平面区域，联立解得B（﹣，），A（﹣1，0），所以S△AOB=×|﹣1|×|﹣|=．故答案为：．17.现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，，求实数a的取值范围．参考答案：（1）在单调递增，在，单调递减.

（2）【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）先判断当时不合题意，当时，由（1）可知，在单调递减，对，，从而可得结论.【详解】（1），

令，得到，.

令，得，所以在单调递增，

令，得或，所以在，单调递减.

（2）由（1）知，，

当时，，因为，且，由（1）可知，在单调递增，此时若，，与时，矛盾.

当时，，，由（1）可知，在单调递减，因此对，，此时结论成立.

综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.19.在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；（2）设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值．参考答案：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆；(2)．试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得．试题解析：(1)直线的参数方程为.曲线的直角坐标方程为，即，所以曲线是焦点在轴上的椭圆.(2)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为得，，得，，20.（本小题满分13分）已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（1）求；（2）设，求函数在（其中）上的最大值；（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（1），，函数的图像关于直线对称，则．…2分直线与轴的交点为，，且，即，且，解得，．则．…………………5分（2），…………6分其图像如图所示．当时，，根据图像得：（ⅰ）当时，最大值为；……7分（ⅱ）当时，最大值为；……8分（ⅲ）当时，最大值为．…9分（3）方法一：，，，当时，，不等式恒成立等价于且恒成立，……11分由恒成立，得恒成立，当时，，，又且实数的取值范围是……………13分方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），的图像过点时，或，要使不等式对恒成立，必须，

…………………11分又当函数有意义时，，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．………………13分方法三：，的定义域是，要使恒有意义，必须恒成立，，，即或．①

由得，即对恒成立，…11分令，的对称轴为，则有或或解得．

②综合①、②，实数的取值范围是．…13分

略21.已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）写出圆O的方程，根据直线与圆相切可求得b值，根据所给斜率及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），AB交x轴于点D，由对称性知S△OAB=2S△OAD，根据点A在直线OA、椭圆上可用k表示出x0，从而可把△OAB面积表示为关于k的函数，利用基本不等式即可求得其最大值．解答： 解：（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有=b，所以b=，已知，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），解得a2=3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，设AB交x轴于点D，由对称性知：S△OAB=2S△OAD=2×x0y0=，由，解得，