高中数学选择性必修二-精讲精炼-5-1-函的单调性(精讲)(含答案)

5.3.1函数的单调性(精讲)思维导图思维导图常见考法常见考法考点一导数与单调性图像问题【例1】(2021·全国高二课时练习)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由导函数的图象可知，当x＜0时，＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，＞0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.故选：D【一隅三反】1(2021·全国高二课时练习)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是()A．B．C． D．【答案】D【解析】∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.故选：D2．(2021·全国高二课时练习)如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝的图象可能是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．故选：A．3．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学)如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是()A．函数在区间上是减函数B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是单调函数【答案】A【解析】由函数的导函数的图像知，A：时，，函数单调递减，故A正确；B：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，故B错误；C：时，，函数单调递增，故C错误；D：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D错误.故选：A考点二无参单调性区间【例2】(2021·全国高二课时练习)求下列函数的单调区间.(1)f(x)＝x3－3x＋1；(2)y＝x＋.(3)3；(4)y＝ln(2x＋3)＋x2.【答案】(1)增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)；(2)增区间为(－∞，-)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，).(3)单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；(4)单调递增区间为，，单调递减区间为.【解析】(1)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令>0，得x>1，或x<－1.令<0，得－1<x<1.∴f(x)的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1).(2)＝1－＝，由>0，解得x<－，或x>.由<0，解得－<x<，(x≠0).∴函数的增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，).(3)函数的定义域为R.y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)．函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.y′＝＋2x＝＝.令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.所以函数的单调递增区间为，.令y′＜0，解得－1＜x＜－，所以函数的单调递减区间为.【一隅三反】1(2021·全国高二单元测试)设为实数，函数，且是偶函数，则的单调递增区间为()A． B．，C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为是偶函数，所以对恒成立，即，即，所以，所以，令，解得或，所以的单调递增区间为，．故选：B．2．(2021·全国高二课时练习)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减【答案】D【解析】f′(x)＝－sinx－1，x∈(0，π)，∴f′(x)<0，则f(x)＝cosx－x在(0，π)上单调递减.选：D3．(2021·绥德中学高二月考(理))若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为()A． B．C． D．，【答案】D【解析】由题意得，所以，且．故函数在,处的切线为：，将点代入得．则，由得且．故的单调递减区间为，．故选：D．4．(2021·全国)求下列函数的单调区间(1)f(x)＝；(2)y＝x2－lnx．(3)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(4)f(x)＝sinx－x(0<x<π)．(5)；(6)．【答案】(1)单调递增区间是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)；单调递减区间是(1－，1)和(1，1＋)；(2)单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．(3)增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)；(4)单调递减区间为(0，π)．(5)函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；(6)单调递增区间为()，单调递减区间().【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，f′(x)＝＝＝．令f′(x)>0，解得x>1＋或x<1－；令f′(x)<0，解得1－<x<1或1<x<1＋．所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)；单调递减区间是(1－，1)和(1，1＋)．(2)函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，又y′＝．若y′>0，即解得x>1；若y′<0，即解得0<x<1．故函数y＝x2－lnx的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．(3)＝6x2＋6x－36．由>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由<0解得－3<x<2．故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)．(4)＝cosx－1．因为0<x<π，所以cosx－1<0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)，无增区间．(5)由题得函数的定义域为.，令，即，解得；令，即，解得或，故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．(6)由题得函数的定义域为.令，得，即()，令，得，即()，故的单调递增区间为()，单调递减区间()．考点三已知单调性求参数【例3-1】(2021·河南高二期末)若函数在上单调递减，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，∴在上单调递减，即，∴，故的取值范围.故选：.【例3-2】(2021·全国高二单元测试)已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是()A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，，令，若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，又，则，解得，故在上不单调的一个充分不必要条件是．故选：D．【一隅三反】1．(2021·重庆市广益中学校高二月考)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由，函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，因此，要想在上恒成立，只需，故选：D2．(2021·山西运城·高二期中(理))已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故选：C.3．(2021·宁夏大学附属中学高二月考)已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，因为函数在上是单调函数，所以或恒成立，因为的图像开口向下，所以恒成立不可能，所以恒成立，所以，解得，故选：B4．(2021·江苏金湖·高二月考)函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【解析】函数定义域是，由题意，时，时，，所以的减区间是，又，所以，解得．故选：B．5．(2021·全国高二课时练习)若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是()A． B．C． D．不存在这样的实数【答案】B【解析】由题意得，在区间上至少有一个实数根，而的根为，区间的长度为2，故区间内必含有2或．∴或，∴或，故选：B．考点四利用单调性比较大小【例4】(1)(2021·全国高二单元测试)已知奇函数f(x)的导函数为，当x≠0时，x+f(x)＞0，若a＝f，b＝﹣ef(﹣e)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b(2)(2021·全国高二单元测试)函数，当时，下列式子大小关系正确的是()A． B．C． D．【答案】(1)C(2)C【解析】(1)令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)+xf′(x)＞0，所以g(x)为递增函数，因为e＞1＞，∴g(e)＞g(1)＞g()，∴ef(e)＞f(1)＞f()，又f(x)为奇函数，所以﹣ef(﹣e)＝ef(e)，∴b＞c＞a，故选：C.(2)，，在上递减，所以.，所以，所以.故选：C【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)设函数，则()A． B．C． D．以上都不正确【答案】B【解析】由题可知，，又当，则，，故是上的增函数，故.故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则()A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0)C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0)【答案】AB【解析】依题意，令，则，于是得在R上单调递减，而ln2>0，2>0，则，，即，，所以f(ln2)<2f(0)，f(2)<e2f(0).故选：AB3．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)【答案】ABD【解析】由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(c，e)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函数，在(c，e)上是减函数，且，所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).故选：ABD4．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数为，且，，则下列判断中正确的是()A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，，因为，则在上恒成立，故在上单调递减，因为，则，所以在上恒成立，结合选项可知，由于，所以，从而有，即，故选项错误；因为，则，结合在上单调递减，且，可知，从而有，由于，则，可得，故B选项错误；又因为，所以，从而有，即，故C选项正确；又因为，所以，从而有，即，故D选项正确．故选：CD．考点五利用单调性解不等式【例5】(2021·全国高二课时练习)已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是()A． B． C． D．【答案】B【解析】构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减．又因为，所以，所以，解得或(舍)．所以不等式的解集是．故选：B【一隅三反】1．(2021·全国高二单元测试)定义域为R的函数且，且的导函数，则实数a的取值范围为()A． B． C． D．【答案】B【解析】由可知，设，，是R上的单调递增函数．由且，可知且，.故选：B．2．(2021·全国高二单元测试)已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为()A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可设，因为，则，所以函数在R上单调递增，又，不等式可转化为，∴，所以，解得，所以不等式的解集为．故选：D.3．(2021·广西蒙山中学高二月考(理))已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数满足，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为()A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2}【答案】B【解析】令，因，则，即在R上单调递增，因，则不等式f(x)>2x3+2x等价