机械工程及自动化专业之机械制图全部课件黄金珍藏-(3)

第三章直线与平面的相对位置

两平面的相对位置§3-1直线与平面平行•两平面平行§3-2直线与平面的交点•两平面相交§3-3直线与平面垂直•两平面垂直3.1直线与平面平行及两平面平行平行问题

直线与平面平行平面与平面平行包括⒈直线与平面平行定理：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面

ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef[例题3]已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k例4平面ABC与DEF相互平行，完成平面DEF的投影。OXa●d

bb

cf

a

e

dc

ef21

2

1★过a

作a

1∥e

f——作a1★过1

作1

2∥d

e——作12★过d作线∥12——求e★过e作线∥a1——求f★连接de、ef习题集P30，26f

e

eb

●OXg

gfd

a

c

a例5已知平面P（AB∥CD）平行三角形EFG，试完成平面P的投影。习题集P30，25●●◆过e

作c

d

平行线交f

g

于1

◆过a作1e平行线过b

作垂线求b◆加粗ab、cdbdc●●1

2

12◆求作1，连接1e

◆连接c

b

过e

作c

b

平行线交f

g

于2

◆求作2，连接2e

◆过b作2e平行线过c

作垂线求c◆过c作ab平行线过d

作垂线求d二、相交问题⒈直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。3.2直线与平面及两平面相交

直线与平面相交的特殊情况b

ba

acc

m

mnn

由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。kk

判断直线的可见性b

ba

acc

m

mn

kk

n特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。abcmnc

n

b

a

m

⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。k

●1

(2

)作图k●●2●1●km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●作图用面上取点法⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。一般位置平面与特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf判断平面的可见性可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空间及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a

b

与e

f

的交点m

、b

c

与f

h

的交点n

即为两个共有点的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点示意图1

2

以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk

步骤：1．过EF作正垂平面Q。2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。示意图CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1

步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。k

k2

示意图直线EF与平面ΔABC相交，判别可见性示意图ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影点。判别可见性Ⅳf

e

e直线EF与

ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

34示意图(

)2

1

两一般位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,

因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线

示意图判别可见性

两一般位置平面相交求交线的方法示意图

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．连接两个共有点，画出交线KE。示意图利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()3421()1

2

[例题1]试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。分析过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH作图m

n

h

hnmPV1

12

21．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直

直线与平面垂直的几何条件：定理1若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。knk

n

定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。h

[例题3]试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhh

h

（a）（c）（b）[例题4]平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。e

f

ef[例题2]平面由

BDF给定，试过定点K作平面的法线。a

cac