新高考数学二轮复习重点突破训练第21讲 双曲线（含解析）

第21讲双曲线真题展示2022新高考一卷第21题已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为0．（1）求SKIPIF1<0的斜率；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【思路分析】（1）将点SKIPIF1<0代入双曲线方程得SKIPIF1<0，由题显然直线SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0，与双曲线联立后，根据直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根据三角形面积公式即可求解．【解析】（1）【解法一】(常规设法)：将点SKIPIF1<0代入双曲线方程得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故双曲线方程为SKIPIF1<0，由题显然直线SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则联立双曲线得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当m+2k−1=0时，直线l：y=kx−2k+1过点A，不合题意，舍去.,故SKIPIF1<0；【解法二】解法二(平移变换+齐次化):利用坐标平移变换SKIPIF1<0将坐标原点平移到SKIPIF1<0，设新坐标系下直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，双曲线的方程为：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则化齐次联立，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程的两根即为直线SKIPIF1<0的斜率，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.【解法三】（齐次化）：仿法一得双曲线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∵AP,AQ的斜率之和为0，∴SKIPIF1<0，故将双曲线方程为SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且设直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0式有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,（两边同除以SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是此方程的两根。∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0斜率为−1.（2）【解法一】(计算AP、AQ)：设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则∠PAQ=2α或2α−π，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或−SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入直线SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，∠PAQ=2α，得SKIPIF1<0，仿上得SKIPIF1<0，代入直线SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．【解法二】法二(计算弦长和高)设AP的倾斜角为α，则AQ的倾斜角为π−α，∠PAQ=2α或2α−π，由tan∠PAQ=2SKIPIF1<0有SKIPIF1<0QUOTE2tanα1-tan2α，解得tanα=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去，因为此时直线AP//双曲线渐近线，P不存在)，取kAP=QUOTE-2SKIPIF1<0，kAQ=SKIPIF1<0，则AP：y−1=QUOTE-2SKIPIF1<0(x−2)，AQ：y−1=SKIPIF1<0(x−2)，由SKIPIF1<0QUOTEy-1=-2x-2,x2-2y2=2,有SKIPIF1<0QUOTEx=10+423，y=-42+53，由SKIPIF1<0QUOTEy-1=2x-2,PQ：y=−x+SKIPIF1<0，PQ=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,A到PQ的距离h=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故△PAQ的面积为SKIPIF1<0h=SKIPIF1<0.【解法三】（面积坐标公式）：仿法二得P,Q坐标，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0。【试题评价】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．知识要点整理知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.知识点二双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2知识点三双曲线的性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点四等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).知识点五直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．知识点六弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).试题亮点圆锥曲线是高中数学中重要且基本的学习内容，同时也是高考考查的重点．试题分步设问，逐步推进，注重对基本概念、基本方法的考查，考查内容由浅入深，层次分明，重点突出，能很好地引导中学数学教学回归教材，试题对考生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，以及灵活地应用解析几何的基本方法将问题合理转化的能力有一定的要求.因此，试题不仅有利于高校选拔人才，也有利于中学教学创新，对培养学生数学学科核心素养有积极的引导作用.三年真题1．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点SKIPIF1<0在C上，且SKIPIF1<0．过P且斜率为SKIPIF1<0的直线与过Q且斜率为SKIPIF1<0的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在SKIPIF1<0上；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【详解】（1）右焦点为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∵渐近线方程为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴C的方程为：SKIPIF1<0；（2）由已知得直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为零，直线SKIPIF1<0的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为零；若选①③推②，则SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，假若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，即为焦点SKIPIF1<0,此时由对称性可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，与从而SKIPIF1<0，已知不符；总之，直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为零.设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0,则条件①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，等价于SKIPIF1<0；两渐近线的方程合并为SKIPIF1<0,联立消去y并化简整理得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,线段中点为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则条件③SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0,移项并利用平方差公式整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0；由题意知直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,∴由SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,代入双曲线的方程SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0中，得：SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0的横坐标：SKIPIF1<0,同理：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∴条件②SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，综上所述：条件①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，等价于SKIPIF1<0；条件②SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0；条件③SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0；选①②推③:由①②解得：SKIPIF1<0,∴③成立；选①③推②：由①③解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴②成立；选②③推①：由②③解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴①成立.2．如图，SKIPIF1<0为椭圆的两个顶点，SKIPIF1<0为椭圆的两个焦点．(1)写出椭圆的方程及准线方程；(2)过线段SKIPIF1<0上异于O，A的任一点K作SKIPIF1<0的垂线，交椭圆于P，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点M．求证：点M在双曲线SKIPIF1<0上．【答案】(1)椭圆的方程为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0；(2)详见解析.【详解】（1）由题可设椭圆的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点M在双曲线SKIPIF1<0上.3．如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面上的两点，动点P满足：SKIPIF1<0．(1)求点P的轨迹方程；(2)若SKIPIF1<0，求点P的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【详解】（1）由已知，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面上的两点，动点P满足：SKIPIF1<0，所以由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为焦点，长轴为SKIPIF1<0的椭圆，设椭圆方程为：SKIPIF1<0，由已知可得：半焦距SKIPIF1<0，长半轴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点P的轨迹方程为：SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①又因为SKIPIF1<0，所以点P不为椭圆长轴的顶点，故点P、点M、点N三点组成三角形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，②将①代入②得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故点P的轨迹是以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为焦点，实轴为SKIPIF1<0的双曲线，设双曲线方程为：SKIPIF1<0，由已知可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点P的轨迹方程为：SKIPIF1<0.又因为点P又满足椭圆方程：SKIPIF1<0，所以由方程组：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，所以点P的坐标为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4．设动点P到两定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)如图，过点SKIPIF1<0的直线与双曲线C的右支交于SKIPIF1<0两点．问：是否存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；SKIPIF1<0.(2)存在；SKIPIF1<0.【详解】（1）证明：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,因为存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（小于2的常数），故动点P的轨迹C是以SKIPIF1<0为焦点，实轴长SKIPIF1<0的双曲线，SKIPIF1<0，双曲线方程为SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0,假设SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则SKIPIF1<0

,由②与③得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,由⑤得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0满足题设条件．5．已知中心在原点的双曲线SKIPIF1<0的一个焦点是SKIPIF1<0，一条渐近线的方程是SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若以SKIPIF1<0为斜率的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为SKIPIF1<0，求k的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【详解】（1）解：设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．由题设得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0．（2）解：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标满足方程组SKIPIF1<0将①式代入②式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．此方程有两个不等实根，于是SKIPIF1<0，且△SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0．③由根与系数的关系可知线段SKIPIF1<0的中点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．从而线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0．此直线与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的交点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题设可得SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将上式代入③式得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．6．如图，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0之间的阴影区域（不含边界）记为SKIPIF1<0，其左半部分记为SKIPIF1<0，右半部分记为SKIPIF1<0．(1)分别用不等式组表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若区域SKIPIF1<0中的动点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离之积等于SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(3)设不过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与（2）中的曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，且与SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0两点．求证SKIPIF1<0的重心与SKIPIF1<0的重心重合．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)证明见解析【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（3）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时，可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由于直线SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，于是SKIPIF1<0的中点坐标都为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的重心坐标都为SKIPIF1<0，即它们的重心重合；当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个不同交点，可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的重心与SKIPIF1<0的重心也重合.综上所述：SKIPIF1<0的重心与SKIPIF1<0的重心重合.7．如图，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且SKIPIF1<0．(1)求双曲线的方程；(2)设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线SKIPIF1<0交双曲线于另一点E．证明：直线SKIPIF1<0垂直于x轴．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明岁月解析.【详解】（1）依题意，令SKIPIF1<0，由双曲线离心率为SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，而点M在直线SKIPIF1<0，于是得点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求双曲线方程为SKIPIF1<0.（2）设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y得：SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，直线BC：SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴.【点睛】易错点睛：双曲线SKIPIF1<0(a>0,b>0)的渐近线方程为SKIPIF1<0，而双曲线SKIPIF1<0(a>0,b>0)的渐近线方程为SKIPIF1<0(即SKIPIF1<0)，应注意其区别与联系.8．已知SKIPIF1<0是过点SKIPIF1<0的两条互相垂直的直线，且SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0各有两个交点，分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，【详解】（1）显然SKIPIF1<0斜率均存在，则SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，则SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（2）由弦长公式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，9．已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为SKIPIF1<0，C的两个焦点分别为SKIPIF1<0，直线l过SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，l与线段SKIPIF1<0的垂直平分线的交点是P，线段SKIPIF1<0与双曲线C的交点为Q，且SKIPIF1<0，求双曲线C的方程．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，以SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，线段SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为SKIPIF1<0，可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，得到点SKIPIF1<0的坐标，根据SKIPIF1<0求得点SKIPIF1<0的坐标，代入双曲线的方程即可得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，联立即可得出．【详解】解：如图，以SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，线段SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴建立直角坐标系，设双曲线的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入双曲线的方程得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求的双曲线方程为SKIPIF1<0．10．双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，双曲线右焦点且斜率为SKIPIF1<0的直线交双曲线于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求双曲线的方程.【答案】SKIPIF1<0【详解】依题意，设双曲线的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与双曲线的其中一条渐近线平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，故可记为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故所求双曲线方程为SKIPIF1<0.11．如图，已知两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都相交，并且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0被截在圆内的两条线段的长度分别是定值SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求圆心SKIPIF1<0的轨迹方程，并说出轨迹的名称．【答案】圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0的轨迹为双曲线.【分析】设圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，计算出圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离，结合勾股定理可化简可得出点SKIPIF1<0的轨迹方程，可得出其轨迹曲线的形状.【详解】解：设圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以，圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，且圆心SKIPIF1<0的轨迹为双曲线.12．设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段SKIPIF1<0的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线SKIPIF1<0的斜率都存在，并记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线SKIPIF1<0写出具有类似特性的性质，并加以证明．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)见解析【详解】（1）点SKIPIF1<0在椭圆C上，且到SKIPIF1<0两点的距离之和等于4，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，椭圆C的方程为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又K是椭圆上的动点，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故线段SKIPIF1<0的中点的轨迹方程为SKIPIF1<0（3）类似特性的性质为：若M、N是双曲线SKIPIF1<0上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线SKIPIF1<0的斜率都存在，并记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之积是与点P位置无关的定值．证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三年模拟1．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求弦长SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)8【详解】（1）设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）由（1）得双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由韦达定理得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故弦长SKIPIF1<0为8．2．（2022·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0为坐标原点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）的左,右焦点,SKIPIF1<0,若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0点的右支有公共点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的离心率的最小值;(2)当双曲线SKIPIF1<0的离心率最小时,直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解:由题知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故双曲线SKIPIF1<0的离心率的最小值为SKIPIF1<0;（2）由(1)知双曲线SKIPIF1<0的离心率的最小值为SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,双曲线方程为SKIPIF1<0,联立得SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，A，B分别是C的左､右顶点，点SKIPIF1<0在C上，点SKIPIF1<0，直线AD，BD与C的另一个交点分别为P，Q．(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线PQ经过定点．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）解：由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在C上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴双曲线方程为SKIPIF1<0．（2）解：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线AD的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将直线AD的方程与C的方程联立，消去y得SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，方程①的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线BD的方程为SKIPIF1<0，与C的方程联立，消去y得SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，方程②的两根为SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当直线PQ的斜率存在时，SKIPIF1<0．∴直线PQ的方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．此时直线PQ过定点SKIPIF1<0．②当直线PQ的斜率不存在时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则直线PQ的方程为SKIPIF1<0，直线PQ过点SKIPIF1<0．综上，直线PQ经过定点SKIPIF1<0．4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离比到SKIPIF1<0的距离大2，点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率不为0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点对称，求直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率的比值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由已知可得SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的双曲线的左支，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），根据题意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0.（2）由题意可得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0的斜率不存在时，易知SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以当l的斜率不存在时，SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0的斜率存在时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0