新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题11 抛物线中的切线问题（含解析）

专题11抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线SKIPIF1<0,可以化为函数SKIPIF1<0,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用SKIPIF1<0求解.【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C：SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0都经过点SKIPIF1<0．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）设经过点SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0消去y,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相切时,SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,∴切点为SKIPIF1<0,又∵两切点间的距离为4,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴抛物线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）设点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,同理,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线EH的方程为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,同理,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线SKIPIF1<0在其上一点SKIPIF1<0处的切线方程,可先把SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则抛物线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0,切线方程为SKIPIF1<0.【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系SKIPIF1<0中,已知抛物线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点,过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线,切点分别为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上时,SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最大值.【解析】（1）当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上时,即SKIPIF1<0,由题意不妨设SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,设过点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0,与SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0,由直线和抛物线相切可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,∴抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由两点确定一条直线可得SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0,∴点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最大值为SKIPIF1<0.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是C的两条切线,A,B是切点．当SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0轴时,将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0故SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故抛物线C的方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）,设SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立抛物线方程有SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.又抛物线方程SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,同理可得切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0有SKIPIF1<0,代入韦达定理可得SKIPIF1<0.故当SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,因为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,也满足SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0恒成立.又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即得证.【例4】已知直线SKIPIF1<0过原点SKIPIF1<0,且与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0,圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切,SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直,记圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）过直线SKIPIF1<0上任一点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的两条切线,切点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,证明：①直线SKIPIF1<0过定点；②SKIPIF1<0．【解析】（1）如图,设SKIPIF1<0,因为圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切,所以圆Ａ的半径为SKIPIF1<0．由圆的性质可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）证明：①由题意可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合．如图,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以切线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0．所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．②因为直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．三、跟踪检测1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F,斜率为SKIPIF1<0的直线l与E相切于点A.(1)当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,求E的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与l平行,SKIPIF1<0与E交于B,C两点,且SKIPIF1<0,设点F到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,到l的距离为SKIPIF1<0,试问：SKIPIF1<0是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故抛物线E的方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则切线l的斜率SKIPIF1<0,则切线l的方程为：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0是定值,定值为3.2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,直线l：SKIPIF1<0经过抛物线C的焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面积的最小值．【解析】（1）由题意,设抛物线C的方程为SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0,即抛物线C的焦点SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0､SKIPIF1<0,联立方程组SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0代入上式整理得SKIPIF1<0,同理可得抛物线C经过点B的切线方程为SKIPIF1<0,联立方程组SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0.3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点是SKIPIF1<0,如图,过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线,切点分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的标准方程；（2）求证：直线SKIPIF1<0轴；（3）以线段SKIPIF1<0为直径作圆,交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）设抛物线的方程为SKIPIF1<0,由题意可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以抛物线方程SKIPIF1<0.（2）由（1）SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立上述两直线方程,得SKIPIF1<0点坐标SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0点为线段SKIPIF1<0的中点,所以SKIPIF1<0点坐标SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0轴：（3）因为点SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,圆心SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,半径SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递减,SKIPIF1<0．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上一点SKIPIF1<0到其焦点F的距离为2．（1）求实数SKIPIF1<0的值；（2）若过焦点F的动直线SKIPIF1<0与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交点为Q,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与y轴的交点分别为M、N．求SKIPIF1<0面积的取值范围．【解析】（1）因为点SKIPIF1<0到其焦点F的距离为2,由抛物线的定义知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（2）由上问可知,抛物线方程E：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）,设l：SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,判别式SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0RSKIPIF1<0,SKIPIF1<0设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0联立方程组SKIPIF1<0,消x得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,同理SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得交点Q的横坐标为SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0面积的取值范围是SKIPIF1<0．5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0距离之和为SKIPIF1<0,抛物线E：SKIPIF1<0的焦点是点SKIPIF1<0.（1）求曲线C和抛物线E的方程；（2）点SKIPIF1<0是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求SKIPIF1<0的面积的取值范围．【解析】（1）依题意,曲线C是以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为左右焦点,长轴长为SKIPIF1<0的椭圆,则短半轴长SKIPIF1<0有SKIPIF1<0,曲线C的方程为：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以曲线C的方程为：SKIPIF1<0,抛物线E的方程为：SKIPIF1<0.（2）显然,过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0消去x并整理得：SKIPIF1<0,依题意,SKIPIF1<0,设二切线斜率为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设斜率为SKIPIF1<0的切线所对切点SKIPIF1<0,斜率为SKIPIF1<0的切线所对切点SKIPIF1<0,因此,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,于是得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线MN上任意点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0,化简整理得：SKIPIF1<0,则直线MN的方程为：SKIPIF1<0,点Q到直线MN的距离SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0,而点SKIPIF1<0在曲线C上,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,于是有SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的面积的取值范围是SKIPIF1<0.6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点SKIPIF1<0的动圆始终与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切.（1）求动圆圆心的轨迹SKIPIF1<0的方程；（2）动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上,过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的两条切线分别交SKIPIF1<0轴于B,D两点,当SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0时,求点SKIPIF1<0坐标.【解析】（1）设动圆圆心坐标为SKIPIF1<0,因为过定点SKIPIF1<0的动圆始终与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切,可得SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,即动圆圆心的轨迹方程SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.（2）设动点SKIPIF1<0,根据题意过点A作曲线C的切线斜率存在,设为SKIPIF1<0,所以切线方程为SKIPIF1<0,联立方程组SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,切线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0,切线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0.（1）求抛物线的方程；（2）若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两条切线.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是切点,求SKIPIF1<0面积的最大值.【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0；所以抛物线的方程为SKIPIF1<0.（2）抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,对该函数求导得SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,同理可知,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,由于点SKIPIF1<0为这两条直线的公共点,则SKIPIF1<0,所以,点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0,所以,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由韦达定理可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由已知可得SKIPIF1<0,所以,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的面积取最大值SKIPIF1<0.8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,准线与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0点,过点SKIPIF1<0的直线与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,且SKIPIF1<0.（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的不同两点,且SKIPIF1<0轴,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0点,再在SKIPIF1<0轴上截取线段SKIPIF1<0,且点SKIPIF1<0介于点SKIPIF1<0点SKIPIF1<0之间,连接SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的平行线SKIPIF1<0,证明SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的切线.【解析】（1）解：设过点SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当过点SKIPIF1<0的直线斜率不存在时,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,综上所述,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；（2）证明：不妨设点P在第一象限,则SKIPIF1<0,设直线PQ的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,消元整理得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又因SKIPIF1<0,且点SKIPIF1<0介于点SKIPIF1<0点SKIPIF1<0之间,则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点,所以SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0平行直线SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,消元整理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以直线l与抛物线只有一个交点,有直线l斜率不为0,所以SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的切线.9.已知抛物线SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．(1)求P点的坐标；(2)点E的坐标为SKIPIF1<0,经过点SKIPIF1<0的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB,EQ的斜率分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,是否存在常数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．若存在,求出SKIPIF1<0的值,若不存在,请说明理由．【解析】（1）因为SKIPIF1<0在抛物线C上,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以切线的斜率为SKIPIF1<0,所以过点M的切线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0,解得P点的坐标为SKIPIF1<0（2）由题意可知过点SKIPIF1<0的直线的斜率存在,设为SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,解得Q点坐标为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即存在SKIPIF1<0满足条件．10．如图,已知SKIPIF1<0为二次函数SKIPIF1<0的图像上异于顶点的两个点,曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线相交于点SKIPIF1<0.(1)利用抛物线的定义证明：曲线SKIPIF1<0上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：SKIPIF1<0成等差数列,SKIPIF1<0成等比数列；(3)设抛物线SKIPIF1<0焦点为SKIPIF1<0,过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直准线SKIPIF1<0,垂足为SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）证明：令SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,曲线SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即曲线SKIPIF1<0上任意一点到点SKIPIF1<0的距离与到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离相等,且点SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上,所以曲线SKIPIF1<0上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为SKIPIF1<0,焦点坐标为SKIPIF1<0,准线方程为SKIPIF1<0；（2）解：对于SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的切线方程分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列；（3）解：由（2）可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,如图,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；11．已知抛物线SKIPIF1<0上的任意一点到SKIPIF1<0的距离比到x轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求SKIPIF1<0重心G的轨迹方程．【解析】（1）由抛物线的定义可得SKIPIF1<0,∴抛物线的方程为SKIPIF1<0；（2）由题意可得直线SKIPIF1<0的斜率存在,设其为k,设SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；代入抛物线方程得SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0①同理可得SKIPIF1<0②,①-②有SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,消k得SKIPIF1<0,所以G的轨迹方程为SKIPIF1<0．12．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F,点SKIPIF1<0为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q,且SKIPIF1<0的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M,证明：SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得,SKIPIF1<0设抛物线的切线方程为SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0由题知SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（2）记AB中点为N,SKIPIF1<0设直线AB方程为SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因为N为AB中点,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以直线MN的方程为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<013．（2022届新未来4月联考）已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）当直线SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴抛物线C的标准方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0①,∵直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0,且与抛物线有两个交点,点SKIPIF1<0在抛物线上,∴SKIPIF1<0,当直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0斜率存在时,设直线SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,同理,设直线SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由①可知SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴点D在直线SKIPIF1<0上．当直线SKIPIF1<0或直线SKIPIF1<0斜率不存在时,即直线l过原点时,SKIPIF1<0,过原点的切线方程为SKIPIF1<0,易知另外一点为SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的切线方程设为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即切线方程SKIPIF1<0．此时交点D的坐标为SKIPIF1<0,在直线SKIPIF1<0上,故SKIPIF1<0的最小值为原点到直线SKIPIF1<0的距离,即SKIPIF1<0．14．过原点O的直线与拋物线C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）交于点A,线段OA的中点为M,又点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①SKIPIF1<0,②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．（1）______,求拋物线C的方程；（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0,设其方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以线段OA的中点SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0,所以直线PM的斜率存在,SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以直线OA的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．若选①,不妨令SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0（舍去SKIPIF1<0）,所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0．若选②,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以点P到直线OA的距离为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0（舍去SKIPIF1<0）,所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0．若选③,不妨令SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,点P到直线OA的距离SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0（舍去SKIPIF1<0）,所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0．（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．设SKIPIF1<0,切线BQ的方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,（*）所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以方程（*）的根为SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以切点SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以直线l的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以当b变化时,直线l恒过定点SKIPIF1<0．15．已知抛物线SKIPIF1<0,其焦点为F,抛物线上有相异两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0轴,且经过点A的抛物线的切线经过点SKIPIF1<0,求抛物线方程；（2）若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,线段AB的中垂线交x轴于点C,求SKIPIF1<0面积的最大值．【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0,焦点坐标为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以过A点的切线的斜率SKIPIF1<0,所以切线方程为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0