新高考数学二轮复习培优讲义05 各类基本初等函数（二次函数、指对幂函数等）（含解析）

讲义05讲：各类基本初等函数【考点讲义】1．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称2．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝SKIPIF1<0y＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)3．一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．(5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4．分数指数幂(1)SKIPIF1<0＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)aras＝ar＋s；SKIPIF1<0；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr．5．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数6．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.(e＝2.71828…)7．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：=1\*GB3①1的对数为零：loga1＝0.=2\*GB3②底的对数为1：logaa＝1.=3\*GB3③零和负数没有对数．=4\*GB3④SKIPIF1<0＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③SKIPIF1<0＝eq\f(m,n)logab．(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．重要推论：=1\*GB3①logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；=2\*GB3②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．8．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数9．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【方法技巧】1．解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．2．幂函数：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(4)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．3．指数函数：(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．4．对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．5．对数函数：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．【核心题型】题型一：二次函数的图像和性质命题点1二次函数的单调性1．（2021·重庆市实验中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在R上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数SKIPIF1<0在R上为减函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数a的取值范围为SKIPIF1<0，故选：B.2．（2022·天津·耀华中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的增区间为（

）A．（–∞，–1） B．（–3，–1）C．[–1，+∞） D．[–1，1）【答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增，所以函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，所以所以函数SKIPIF1<0单调递减，故选：B.3．（2015·四川·高考真题（理））如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0时，抛物线的对称轴为SKIPIF1<0.据题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，抛物线开口向下，据题意得，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故应舍去.要使得SKIPIF1<0取得最大值，应有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以最大值为18.选B..考点：函数与不等式的综合应用.命题点2二次函数的值域、最值4．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先利用配凑法求出SKIPIF1<0的解析式，则可求出SKIPIF1<0的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.从而SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，且最小值为SKIPIF1<0.故选：D5．（2022·江苏·阜宁县东沟中学高三阶段练习）已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由两直线垂直得到SKIPIF1<0，再代入消元利用二次函数的性质求解.【详解】解：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，二次函数的抛物线的对称轴为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0.故选：A．6．（2022·安徽·合肥双凤高级中学模拟预测（文））已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线恒过点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点SKIPIF1<0，利用点在直线上可得SKIPIF1<0，再代入SKIPIF1<0消元，转化成一元二次函数的取值范围；【详解】解：由圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，得圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线方程为SKIPIF1<0，求得定点SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.命题点3二次函数的恒（能）成立问题7．（2019·云南师大附中高三阶段练习（文））若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集为实数集SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】对二次项系数SKIPIF1<0分成两种情况讨论，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合二次函数的图象，即可得答案.【详解】当SKIPIF1<0时，不等式为SKIPIF1<0，恒成立，满足题意；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意判别式的应用.8．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知f(x)＝x2，g(x)＝SKIPIF1<0－m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意，问题等价转化为f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，分别求出最值，列出不等式求解即可.【详解】由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，所以f(0)≥g(2)，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查函数的最值问题，属于简单题.9．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，可得SKIPIF1<0，代入方程，可求得n的值，结合SKIPIF1<0性质，可得图象的对称轴为直线x=0，即可得m值，进而可得SKIPIF1<0的方程，代入数据，即可得答案.【详解】因为当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线x=0，所以SKIPIF1<0，解得m=2，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型二：幂函数的图像和性质10．（2022·北京二十中高一阶段练习）在同一坐标系内，函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象可能是()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数的图象与性质，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0讨论，利用排除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，此时SKIPIF1<0递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即SKIPIF1<0时，不合题意；若SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，又由SKIPIF1<0递减可排除A，故选B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．（2022·江苏·启东中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用幂函数的单调性可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，利用指数函数的单调性可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，构造函数SKIPIF1<0，利用函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，即可得出结论.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故选：B.12．（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先判断SKIPIF1<0的单调性和奇偶性，由此化简不等式SKIPIF1<0，分离常数SKIPIF1<0，结合二次函数的性质求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为奇函数，同时也为增函数，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，若不等式恒成立，只需SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：C题型三：指数函数的性质及应用13．（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））函数SKIPIF1<0的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】确定奇偶性，排除两个选项，然后再由函数值的变化趋势排除一个选项，得正确选项．【详解】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0是偶函数，排除A，B；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，选项C错误．故选：D【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.14．（2022·安徽·安庆市第九中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，满足对任意的实数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】题目考察分段函数单调递减的问题，要保证每一段都是单调递减的，且在衔接处也单调递减即可【详解】由SKIPIF1<0可得：函数SKIPIF1<0在定义域内为减函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为减函数，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，根据指数函数的性质可知，SKIPIF1<0为减函数，若SKIPIF1<0在R上为减函数，还需要SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，综上可得，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0故选：D15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有解，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.【详解】由题意得：SKIPIF1<0有解令SKIPIF1<0SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，显然SKIPIF1<0无意义SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.题型四：对数函数的性质及应用16．（2010·全国·高三阶段练习（理））函数SKIPIF1<0的值域是（

）.A．R B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后判定复合函数的单调性，结合单调性求出函数值域【详解】SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0设SKIPIF1<0由复合函数的单调性可知函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上先增后减，函数取到最大值即：SKIPIF1<0函数的值域为SKIPIF1<0故选SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查了求复合函数的值域，在求解时先求出函数的定义域，然后判断出函数的单调性，最后求出函数值域，需要掌握解题方法17．（2021·湖北·襄阳四中高三阶段练习）地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝SKIPIF1<0(lgE－11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍．【答案】10SKIPIF1<0【分析】根据题中给出的关系式求出9.0级地震释放的能量与8.0级地震释放能量的比即可．【详解】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．那么2011年地震的能量是2008年地震能量的10SKIPIF1<0倍．故答案为10SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于基础题．18．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，由题设易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由题设，令SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为增函数，∴要使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型五：比较指数式、对数式的大小19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0则下述关系式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解.【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：A.20．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））设SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先将SKIPIF1<0化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三个数的大小关系，再由函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性并结合偶函数的性质可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0是偶函数，在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以在SKIPIF1<0上单调递减，由于函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为SKIPIF1<0上的单调性再比较.21．（2022·北京·北师大二附中高三阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由指数幂运算和对数恒等式得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的单调性比较大小即可.【详解】SKIPIF1<0由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.本题解题的关键在于利用对数恒等式和指数幂运算得SKIPIF1<0，再借助函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0以及中间值SKIPIF1<0比较大小.【高考必刷】一、单选题1．（2022·天津市武清区杨村第一中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调函数，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于SKIPIF1<0，或大于等于SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】SKIPIF1<0的图像的对称轴为SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上时单调函数，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D2．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，据此可得：SKIPIF1<0.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．（2021·广西·玉林市育才中学高三阶段练习（理））函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，将原函数式转化为关于SKIPIF1<0的二次函数的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可【详解】解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，故选A．【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题4．（2017·湖南·长郡中学高三阶段练习（理））幂函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取不同的正数时，在区间SKIPIF1<0上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象三等分，即有SKIPIF1<0，则mn等于（

）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【答案】A【解析】根据三等分关系求出坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出对应幂函数解析式，解出mn的值.【详解】由题：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】此题考查幂函数的图像性质辨析，根据图像分析点的坐标，根据坐标求函数解析式.5．（2020·陕西西安·高三阶段练习（理））定义新运算“SKIPIF1<0”如下：SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据新定义，得到SKIPIF1<0的表达式，判断函数SKIPIF1<0在定义域的单调性，可得结果.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，易知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数SKIPIF1<0以及判断单调性，难点在于SKIPIF1<0满足的不等式，属中档题.6．（2021·江苏省镇江中学高三阶段练习）满足SKIPIF1<0的实数m的取值范围是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据幂函数SKIPIF1<0的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于SKIPIF1<0的一次不等式组，求解即可.【详解】幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数，且函数值为正，在SKIPIF1<0为减函数，且函数值为负，SKIPIF1<0等价于，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以不等式的解集为SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题考查不等式的求解，利用幂函数的单调性是解题的关键，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.7．（2022·北京·人大附中高三阶段练习）设SKIPIF1<0，则“函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，函数SKIPIF1<0的图象不一定经过点SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0.所以“函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减”的充分不必要条件.故选：A.8．（2020·全国·高三课时练习（理））若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】将不等式变为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0的单调性知SKIPIF1<0，以此去判断各个选项中真数与SKIPIF1<0的大小关系，进而得到结果.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A正确，B错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到SKIPIF1<0的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.9．（2019·上海市吴淞中学高三开学考试）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在同一坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，当底数a>1时，指数函数与对数函数均为增函数，直线与y轴的截距大于1，当底数0<a<1时，指数函数与对数函数均为减函数，直线与y轴的截距小于1，故选A.10．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））函数SKIPIF1<0的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性排除选项A，再根据SKIPIF1<0排除选项D，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，排除选项C,即得解.【详解】由题得SKIPIF1<0，函数的定义域关于原点对称.SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0是奇函数，所以排除选项A；又SKIPIF1<0，所以排除选项D；又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，指数函数SKIPIF1<0是爆炸式增长，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以排除选项C；故选：B11．（2022·辽宁葫芦岛·高三期中）函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的图象恒过定点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）上，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】求出SKIPIF1<0的坐标代入椭圆方程，再将SKIPIF1<0化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.【详解】由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．（2020·安徽·高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以下命题：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】画出函数图象易判断①②正确，当SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可判断③④.【详解】如图，画出SKIPIF1<0的图象，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，观察图形易判断①②正确，对③④，当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故③正确.故选：C.【点睛】本题考查对数函数的应用，解题的关键是画出函数的图象，利用图象结合对数函数性质进行化简判断.13．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由题意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用作商法以及基本不等式可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，综合可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系.【详解】由题意可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.14．（2017·辽宁·东北育才学校高三阶段练习（文））已知SKIPIF1<0，则下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据已知条件，由对数函数的单调性可得SKIPIF1<0，然后利用反比例函数的单调性可以否定A；利用幂函数和指数函数的单调性，将不等式两边的数与中间量SKIPIF1<0比较大小，可以证明B；根据对数函数的性质，当SKIPIF1<0时可以否定C；由指数函数的性质可以否定D.【详解】SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的单调减函数，故由已知SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∵反比例函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调减函数，∴SKIPIF1<0,故A错误；SKIPIF1<0,∴幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递增，又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴指数函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递减，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，故B正确；由已知只能得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0,故C错误；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,故D错误.故选：B.【点睛】本题考查幂指对函数的性质，属基础题.综合利用幂指对函数的单调性比较大小，应当熟练掌握幂指对函数的单调性，对于幂函数，在指数大于0时，在第一象限内单调递增，当指数小于0时，在第一象限内单调递减；对于指数函数和对数函数，当底数大于1时在定义域内单调递增，当底数大于0小于1时在定义域内单调递减.15．（2020·湖南长沙·高三阶段练习（理））已知偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,化简SKIPIF1<0，利用中间量比较大小得解.【详解】∵偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故选：C【分析】本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.16．（2019·广东茂名·高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是A．(1,2) B．(2,3) C．(1,3) D．(2,4)【答案】A【分析】首先求出函数的定义域，把SKIPIF1<0代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案．【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，两边平方：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（1）或SKIPIF1<0（2）解（1）得：SKIPIF1<0无解，解（2）得：SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是：SKIPIF1<0；故答案选A【点睛】本题主要考查对数不等式的解，解题时注意定义域的求解，有一定综合性，属于中档题．17．（2022·全国·高三专题练习）若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】转化为当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图象不在SKIPIF1<0的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图象不在SKIPIF1<0的图象的上方，由图可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象求解是解题关键.18．（2019·天津市武清区杨村第一中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0