2023-2024学年山东省部分学校高二上学期10月质量检测联合调考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2023-2024学年山东省部分学校高二上学期10月质量检测联合调考数学试题一、单选题1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】计算出必然事件和不可能事件的个数，用事件总数减去它们之和即得答案.【详解】这10个事件中必然事件的个数为，不可能事件的个数为，所以具有随机性的事件的个数为．故选：B2．若，，三点共线，则（

）A．4 B． C．1 D．0【答案】A【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.【详解】因为，，所以，解得．故．故选：A.3．在空间直角坐标系中，点B是点在平面内的射影，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据射影定义可得B点坐标，然后由向量模公式可得.【详解】因为点B是点在平面内的射影，所以，所以，所以.故选：A4．甲、乙两名同学将参加年高考，近一年来的各种数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考分以上的概率分别为和，甲、乙两人能否考分以上相互独立，则预估这两人在年高考中恰有一人数学考分以上的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由独立事件的概率公式可知，所求概率为.故选：C.5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为．故选：C6．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据共面定理逐一判断即可.【详解】因为，所以，，共面，所以不是空间的另一个基底，A错误．因为，所以，，共面，所以不是空间的另一个基底，B错误．假设存在m，n，使得，则，显然无解，所以，，不共面，所以是空间的另一个基底，C正确．因为，所以，，共面，所以不是空间的另一个基底，D错误．故选：C7．如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构建空间直角坐标系坐标系，通过空间向量求解即可.【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．点到平面的距离为．故选：D.8．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于的方程，确定的值，即可求解.【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，．

设平面的法向量为，则

令，得．设，则．因为平面，所以，则，解得，．故．故选：D二、多选题9．下列选项中正确的是（

）A．某人上班路上要经过3个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么他在第3个路口才首次遇到红灯的概率为B．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为C．一个袋子中有3个红球，4个蓝球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为D．丢两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为【答案】AC【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的概念计算即可判断ABC，根据古典概型的概率公式计算即可判断D.【详解】对于A，在第3个路口才首次遇到红灯的概率为，故A正确；对于B，因为此密码没被破译的概率为，所以此密码被破译的概率为，故B不正确；对于C，两次取到的球颜色相同的概率为，故C正确；对于D，丢两枚硬币的样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以恰好一正一反的概率为，故D不正确．故选：AC.10．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，且，则（

）A． B．C． D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】ACD【分析】A.利用空间向量的线性运算求解判断；B.利用空间向量的数量积运算求解判断；C.利用空间向量的模及向量数量积运算律求解判断；D.连接AC得到即直线与平面ABCD所成的角，利用余弦定理求解判断.【详解】，A正确．，B错误．，故，C正确．连接AC如图所示：则即直线与平面ABCD所成的角，所以，，D正确．故选：ACD11．已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（

）.A．事件A与事件B是互斥事件B．事件A与事件B是对立事件C．D．【答案】AC【分析】首先分别列举三个时间包含的样本点，再结合互斥，对立时间的定义，以及选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个；事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个；事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个.从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件.因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；因为，，，所以B错误；因为事件的所有基本事件共有12个，所以，所以，故C正确；因为事件的所有基本事件共有6个，所以，所以，故D错误.故选：AC12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（

）

图1

图2A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为4C．二面角的余弦值为D．若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为【答案】BCD【分析】根据正四面体的表面积即可求解A，利用割补法，结合体积公式即可求解B，根据二面角的定义，结合余弦定理即可求解C，建立空间坐标系，利用点点距离即可求解D.【详解】因为，所以．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，故该几何体的表面积为，A错误．该几何体的体积为，B正确．设EF的中点为，连接OB，OH，则,则即二面角的平面角．，，C正确．建立如图所示的空间直角坐标系，设，，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确．故选：BCD三、填空题13．若向量，，且，则．【答案】3【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】，．因为，所以，解得．故答案为：14．在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为．【答案】/【分析】根据空间向量点到直线的距离公式求解即可.【详解】取，，则，，所以点到直线的距离为．故答案为：.15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，这是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由3根线组成（“”表示1根阳线，“”表示1根阴线），从八卦中任取两卦，则两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线的概率为．【答案】【分析】根据题意，利用列举法写出样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可求解.【详解】由题意可知，从八卦中任取两卦，则样本空间{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，离），（乾，艮），（乾，兑），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，离），（坤，艮），（坤，兑），（震，巽），（震，坎），（震，离），（震，艮），（震，兑），（巽，坎），（巽，离），（巽，艮），（巽，兑），（坎，离），（坎，艮），（坎，兑），（离，艮），（离，兑），（艮，兑）}，共包含28个样本点．八卦中，3根都是阳线的有一卦，2根阳线、1根阴线的有三卦，1根阳线、2根阴线的有三卦，3根都是阴线的有1卦，记事件“从八卦中任取两卦，这两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线”为A，则{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，离），（巽，兑），（离，兑）}，共包含6个样本点，故所求概率为故答案为：.16．在正四棱台中，，，，，，若平面，则．【答案】/0.75【分析】画出图形，由题意平面，可以推理得出，再根据题目条件分别把这两个向量表示为，，由向量共线的条件即可求解.【详解】如图所示：连接，设，平面平面，因为平面，且平面，所以；因为四棱台底面为正方形，且，，所以，，从而，又因为，，所以，，因为，所以.故答案为：.四、解答题17．有两个人从一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的．(1)求这两人在同一层离开电梯的概率；(2)求这两人在不同层离开电梯的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）应用古典概型即可；（2）应用对立事件即可.【详解】（1）这两个人离开电梯的楼层分别可能为（2，2），（2，3），…，（2，8），（3，2），（3，3），…，（3，8），…，（8，2），（8，3），…，（8，8），共有49种情况．这两个人在同一层离开的情况有7种，所以这两人在同一层离开电梯的概率为．（2）因为“这两人在同一层离开电梯”与“这两人在不同层离开电梯”是对立事件，所以这两人在不同层离开电梯的概率为．18．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．(1)求的值；(2)证明：C，E，F，G四点共面．【答案】(1)6(2)证明见解析【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，找出各点坐标，再表示向量，即可求出.（2）在（1）建立的空间直角坐标系基础上，表示出,再利用共面向量定理即可证明.【详解】（1）解：在直四棱柱中，，易得，，，两两垂直.故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，,，，，．

，．

．（2）证明：由（1）得：．

令，即，解得，．故C，E，F，G四点共面．19．图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．

(1)证明：．(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，证明得；方法二：连接，证明平面得；（2）证明为平面的一个法向量，用空间向量运算求线面角.【详解】（1）正方体的棱长为2，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．

，，，．因为，所以，即．方法二：连接．

在正方体中，平面，所以．因为，所以．因为，所以四点共面，在正方形中，E，G分别是边，的中点，可得≌，所以，，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）因为，所以，即．因为，平面，所以平面，即为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．20．如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，．(1)若，证明：平面．(2)若与平面所成的角为，求三棱柱的体积．【答案】(1)证明见解析(2)当时，；当时，.【分析】（1）以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，证明直线方向向量和平面法向量共线即可；（2）设，根据与平面所成的角为可得a，然后可得体积.【详解】（1）证明：如图，取的中点O，中点为，连接，由正三棱柱性质可知，两两垂直.以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.因为为正三角形，所以.则，，，，，，．设平面的法向量为，则，令，得．因为，所以，所以，故平面．（2）解：设，由（1）中坐标系可得，，，，，则，设平面的法向量为，则，令，得．因为与平面所成的角为，，所以，解得或．因为，所以当时，；当时，.21．甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．(1)求第2次由甲投掷的概率；(2)求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出所以满足要求的情况数，然后结合古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，乙恰好投掷2次的情况分三种，分别计算出其对应概率，相加即可得到结果.【详解】（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36．记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，则，有12个样本点．．故第2次由甲投掷的概率为．（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为．故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为．22．如图，在四面体ABCD中，，，，，，E，F，G分别为棱BC，AD，CD的中点，点在线段AB上.