2023-2024学年江苏省连云港市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港市高二上学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题（每题5分，共40分）1．经过两点的直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（

）A． B．C． D．3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（

）A．m<1 B．m>1C．m< D．<m<14．直线与直线平行，则实数的值为（

）A．2 B． C． D．2或5．已知双曲线的离心率为2．则（

）A． B．1 C． D．36．圆在点处的切线方程为（）A． B．C． D．7．已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（

）

A． B． C． D．二、多选题（每题5分，共20分）9．下列关于双曲线的判断，正确的是（

）A．顶点坐标为 B．焦点坐标为C．实轴长为 D．渐近线方程为10．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（）A． B． C． D．11．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（

）A．的最大面积为B．若直线的斜率为，则C．存在点P使得D．的最大值为512．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（

）A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为B．已知点，圆上的动点，则的最小值为C．过点作圆的一条切线，切点为可以为D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点三、填空题（每题5分，共20分）13．若方程表示双曲线，则的取值范围是．14．已知点是圆：上动点，.若线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为.15．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长16．已知直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为.四、解答题（17题10分，其余每题12分）17．已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．(1)求点A的坐标；(2)求直线的方程18．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.19．已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．(1)求圆心为C的圆的标准方程；(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．20．已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，.(1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程；(2)求直线的方程.21．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点．点M关于x轴的对称点为,若三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点．22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，且满足______，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴.现有如下两个条件分别为：条件①；椭圆过点，条件②：椭圆的离心率为请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.

(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.答案和解析1．B【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】由题意可知的斜率为，所以该直线的倾斜角为.故选：B2．B【分析】根据截距的定义进行求解.【详解】中，令，解得，令，，故.故选：B3．A【分析】根据二元二次曲线表示圆，化标准形式即可求解.【详解】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式，表示圆的条件是，解得．故选：A4．C【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解.【详解】当直线与直线不相交时，，解得，当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；当时，直线，即与直线平行，所以实数的值为.故选：C5．A【分析】利用离心率求出，再由即求.【详解】由，则，因为，,解得，故选:A.6．A【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可.【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程，易知圆心，半径，所以到的距离为，解之得，即切线.故选：A7．B【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得．【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，抛物线为，准线l的方程为

B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知，所以的周长为，,,故选：B．8．D【分析】先求得，然后利用角平分线定理求得正确答案.【详解】椭圆对应的，所以，依题意可知是的角平分线，根据角平分线定理得.故选：D9．ACD【分析】确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误.【详解】对于双曲线，，，则，对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对；对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错；对于C选项，双曲线的实轴长为，C对；对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对.故选：ACD.10．BD【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为，当焦点为时，可知抛物线方程为：；当焦点为时，可知抛物线方程为.故选：BD11．BD【分析】当P为椭圆短轴顶点时的面积最大，即可判断A；利用两点求斜率公式计算化简即可判断B；当P为椭圆短轴顶点时为最大，利用余弦定理计算即可判断C；根据椭圆的定义可得，求出即可判断D.【详解】对A，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故A错误；对B，由椭圆，得，设，则，又，则，所以，故B正确；对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：BD.12．ABD【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点.【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由，如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；

选项B，设点关于直线的对称点，则，解得，即，则，即的最小值为，故B正确；

选项C，由切点为，则在中，，当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为，此时最小，最小值为，即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；

选项D，设点，切点，可得切线方程为，由点在切线上，得，同理可得，故点都在直线上，即直线的方程为，又由点在直线上，则，代入直线方程整理得，由解得，即直线恒过定点，故D正确.故选：ABD.

13．【分析】根据双曲线方程的特点列不等式求解即可.【详解】由题意得，解得.故答案为.14．【分析】根据椭圆定义以及其标准方程，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：因为为线段中垂线上一点，所以，则，显然为圆：的半径，则，则动点的轨迹为以定点为焦点的椭圆，其中，，解得，故其轨迹方程为.故答案为.15．8【分析】利用抛物线的定义即可得出．【详解】由题设知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为，由抛物线的定义知：．故816．【分析】直线l过定点，曲线表示以O为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案.【详解】直线l：，得，可知直线l过定点，如图，曲线表示以O为圆心，1为半径的上半圆，当直线l与半圆相切时，，解得，曲线与x轴负半轴交于点，，因为直线l与曲线有两个交点，所以.

故答案为.17．(1)(2)【分析】（1）设点A的坐标，可得AB中点的坐标，且该点在直线上，结合两直线的位置关系列出方程组，解之即可求解；（2）利用点关于直线对称的关系求出点关于直线的对称点的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】（1）设点，则中点的坐标为，由题意知点A在直线上，点在直线上，所以解得即点A的坐标为．（2）设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上，设点的坐标为，则点的中点坐标为，则解得即点的坐标为．直线的斜率为，所以直线即的方程为，即．18．(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的定义和条件求解；（2）先求出和，再根据余弦定理求出与夹角，运用三角形面积公式计算.【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得，双曲线的方程为，将点代入上式，得：，双曲线的标准方程为；（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知：，，解得，在△中，，设与的夹角为，由余弦定理得：，；综上，双曲线的标准方程为，△的面积为.19．(1)；(2)【分析】（1）由圆的性质求得，应用点斜式写出直线，联立直线l求圆心，两点距离求半径，写出圆的方程即可；（2）由（1）求圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求圆上点到直线的最小距离.【详解】（1）由题设中点为且，而，故，所以直线为，即，联立，可得，即，而，所以圆.（2）由（1）知：，则到的距离，所以直线与圆相离，则.20．(1)抛物线的标准方程为，准线方程为(2)【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程解得，即可写出抛物线标准方程和准线方程；（2）联立直线和抛物线方程利用韦达定理和抛物线焦点弦公式解得，求出直线方程.【详解】（1）由题意将点代入抛物线方程可知，解得.所以抛物线的标准方程为，焦点，因此准线方程为.（2）由（1）得直线的方程为.设，如图所示：

联立直线和抛物线方程，消去得.易得，且.由抛物线焦点弦公式可知.所以，解得或（舍去）.故直线的方程为.21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出焦点到渐近线的距离,再利用渐近线的斜率为,写出双曲线方程即可;（2）设出直线方程和两点坐标,联立方程组写出坐标,根据三点共线,得出和直线参数之间的关系,解出参数,将参数代入直线可看出直线过定点.【详解】（1）解:由题知设右焦点F的坐标为,双曲线C的渐近线方程为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为,可得,又由,可得,有,故双曲线C的标准方程为;（2）证明:由（1）知,双曲线C的方程为,右焦点,因直线l与x轴不垂直且斜率不为0,设直线l与x轴交于点,直线l的方程为,设,则,由消去并整理得,显然有且,化简得且,则,,而三点共线,即,则,因此,又,有,整理得,于是得,化简得,即直线过定点,所以直线l经过x轴上的一个定点．(1)焦点到渐近线的距离为;(2)设直线方程联立方程组,(注意斜率存在不存在,是否为0这些特殊情况,本题已说明,所以不需要考虑);设点坐标,判别式大于0;三点共线问题采用向