第7章《锐角三角函数》（教师版）

2023-2024学年苏科版数学九年级下册易错题真题汇编（提高版）第7章《锐角三角函数》一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•黄渤海新区期中）﹣tan60°的倒数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．解：﹣tan60°的倒数＝﹣＝﹣，故选：C．2．（2分）（2023•仪征市模拟）如图，​点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则∠B'A′O的正弦值为（）A． B． C． D．解：如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T．∵点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），∴AT＝2，OT＝1，OB＝4，∴OA＝＝，BT＝OB﹣OT＝4﹣1＝3．∴OA＝OA′＝，AB＝＝．∵S△OA′B′＝S△OAB＝×4×2＝4，∴OA'•B'H＝4．∴B′H＝＝．又A'B'＝AB＝，∴sin∠B'A′O＝＝＝．故选：D．3．（2分）（2023•新华区校级模拟）题目：“如图，∠MON＝60°，点B在射线OM上，，射线OA在∠MON的内部，∠AOM＝45°，点P在射线OA上，且∠OBP＝∠AON，Q是射线PA上的动点，当△BPQ是钝角三角形时，求PQ的取值范围．”对于其答案，甲答：0＜PQ＜2，乙答：2＜PQ＜8，丙答：PQ＞8，则正确的是（）A．只有乙答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整解：∵∠OBP＝∠AON，∴∠BPA＝∠OBP+∠BOP＝∠AON+∠BOP＝∠MON＝60°．①当∠BQP为钝角时，如图所示，过点B作BH⊥OA于点H，在Rt△OHB中，BH⊥OA，∠AOM＝45°，则OH＝BH＝＝2．在Rt△PHB中，BH⊥OA，∠PBH＝90°﹣∠BPA＝30°，则PH＝＝2，BP＝2PH＝4．由图可知，当点P在线段PH上时，可满足∠BQP为钝角，∴0＜PQ＜2．②当∠PBQ为钝角时，如图所示，过点B作BE⊥BP交射线OA于点E，在Rt△PBE中，BE⊥BP，∠PEB＝90°﹣∠BPA＝30°，则PE＝2BP＝8．由图可知，当点Q在线段PE的延长线上时，可满足∠PBQ为钝角，∴PQ＞8．综上，0＜PQ＜2或PQ＞8，则甲、丙答案合在一起才完整．故选：B．4．（2分）（2023•南关区校级模拟）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O相距30米的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB＝65°，则这幢大楼的高度为（）A．米 B．30sin65°米 C．米 D．30•tan65°米解：由题意得：BO⊥AO，AO＝30米，在Rt△ABO中，∠BAO＝65°，∴BO＝AO•tan65°＝30tan65°（米），故选：D．5．（2分）（2023•宿城区校级模拟）如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（）A． B． C． D．解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D．由格点三角形可知：AC＝＝4，AB＝＝2．∵S△ABC＝×4×4﹣×4×2＝8﹣4＝4，S△ABC＝AC•BD＝×4×BD＝2BD．∴2BD＝4，∴BD＝．∴AD＝＝＝3．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：A．6．（2分）（2023•东港区校级二模）为出行方便，越来越多的日照市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．80cm B．76cm C．72cm D．70cm解：过点C作CH⊥AB，垂足为H，在Rt△BCH中，∠ABE＝70°，BC＝60cm，∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∵车轮半径为20cm，∴此时坐垫C离地面高度＝56.4+20≈76（cm），∴此时坐垫C离地面高度约为76cm，故选：B．7．（2分）（2023•思明区校级模拟）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．140m B． C． D．解：如图：∵该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，∴BC＝×140＝70（m），∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC•tan60°＝70（m），∴则金字塔原来高度为70m，故选：B．8．（2分）（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m解：由题意得：AD⊥BD，设CD＝xm，∵BC＝15.3m，∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD•tan45°＝（x+15.3）m，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝CD•tan60°＝x（m），∴x＝（x+15.3），解得：x≈21.0，∴AD＝x+15.3≈36（m），∴灯塔的高度AD大约是36m，故选：B．9．（2分）（2023•泰山区校级三模）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（）（参考数据：，，）A．米 B．米 C．56米 D．66米如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝262，解得k＝2，∴DM＝10（米），CM＝24（米），∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝56﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．故选：B．10．（2分）（2023•无锡二模）如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，，点D的坐标是（4，0），tan∠BDO＝，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为（）​A． B． C． D．解：如图，连接AD，取AD的中点O′，连接O′B，O′C，O′E，过点B作x轴的垂线交x轴于N，与过点A作y轴的垂线相交于点M，由旋转可知，BD＝AB＝4，∠ABC＝∠BDE＝90°，∠BAC＝∠DBE，∴AD＝＝8，∵点O′是AD的中点，∴O′A＝O′B＝O′D＝AD＝4，∴点O′是点A、点B的旋转中心，点O′也是点D、点B的旋转中心，∵∠O′AC+∠BAC＝45°＝∠O′BE+∠DBE，∴∠O′AC＝∠O′BE，又∵O′A＝O′B，AC＝BE，∴△O′AC≌△O′BE（SAS），∴O′C＝O′E，∴点O′是点E、点C的旋转中心，因此点O′是△BDE旋转到△ABC的旋转中心，∵∠DBN+∠ABM＝180°﹣90°＝90°，∠DBN+∠BDN＝90°，∴∠ABM＝∠BDN，∵∠BND＝∠AMB＝90°，AB＝DB，∴△ABM≌△BDN（AAS），∴AM＝BN，BM＝DN，在Rt△BDN中，由于tan∠BDN＝＝，设BN＝x，则DN＝3x，由勾股定理得，BN2+DN2＝BD2，即x2+（3x）2＝（4）2，解得x＝（取正值），即BN＝AM＝，∴DN＝BM＝3BN＝，∴O′N＝4﹣＝，∴MN＝BN+MB＝+＝，∴点A（，）∵点D（4，0）∴AD中点O′的坐标为（，），故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•邗江区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝6，点D、E、F分别在AC、BC、AB边上，且DE⊥EF，tan∠EDC＝2，则△DEF的面积最大值．解：由tan∠EDC＝2，设CD＝x，∴CE＝2x．∴DE＝x．如图，作FH⊥BE，垂足为H，设EH＝y，∵DE⊥EF，∠C＝90o，∴∠FEH+∠DEC＝90°，∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠FEH＝∠EDC．∴tan∠FEH＝tan∠EDC＝2．∴FH＝2y．∴EF＝y．∵∠FHB＝90°，∠B＝45°，∴FH＝BH＝2y．∵CE+EH+BH＝BC＝6，∴2x+y+2y＝6．∴y＝2﹣x．∴S△DEF＝＝﹣（x﹣）2+．∴当x＝时，△DEF的面积有最大值为．故答案为：．12．（2分）（2023•咸宁三模）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为12.7m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）解：由题意得：CD⊥AB，设BD＝x米，在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD•tan60°＝x（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝＝x（米），∵AD+BD＝AB，∴x+x＝20，∴x＝10﹣10，∴CD＝x＝30﹣10≈12.7（米），∴这棵树CD的高度约为12.7米，故答案为：12.7．13．（2分）（2023•清远一模）图①是一辆吊车的实物图，图②是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当AC＝9m，∠HAC＝118°时，则操作平台C离地面的高度为7.6m．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，过A作AF⊥CE于点F则四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.4，∠HAF＝90°，∵∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝28°，在Rt△AFC中，sin∠ACF＝，∴CF＝AC•sin∠CAF＝9×0.47≈4.23（m），∴CE＝CF+FE≈7.6（m）；故答案为：7.6m．14．（2分）（2023•南山区二模）“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为27米．（结果保留根号）解：过点B作BD⊥OA，垂足为D，则AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB•tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距离BC为27米，故答案为：27．15．（2分）（2023•洪山区模拟）如图，为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直行到点B，在B点测得对岸C点在其北偏西45°方向，经过计算河宽CD是30米，则从A点到B点的距离为米．（结果保留根号）解：由题意得：CD⊥AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣30°＝60°，CD＝30米，∴AD＝＝＝10（米），在Rt△CDB中，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝＝30（米），∴AB＝AD+BD＝（10+30）米，∴从A点到B点的距离为（10+30）米，故答案为：．16．（2分）（2023•江汉区二模）如图，摩托车的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度是0.88米，（结果精确到0.01米，参考数据sin8°≈0.13，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18）​解：如图：过点A作AD⊥MN，垂足为D，设CD＝x米，∵BC＝1.4米，∴BD＝CD+BC＝（x+1.4）米，在Rt△ADC中，∠ACD＝10°，∴AD＝CD•tan10°≈0.18x（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝8°，∴AD＝BD•tan8°≈0.14（x+1.4）米，∴0.18x＝0.14（x+1.4），解得：x＝4.9，∴AD＝0.18x≈0.88（米），∴该大灯距地面的高度约为0.88米，故答案为：0.88．17．（2分）（2023•兴庆区校级四模）如图，在某居民楼AB的正前方8m处有一生活超市CD，在生活超市的顶端C处，测得居民楼端A的仰角为67°，测得居民楼底端B的俯角为22°，则居民楼AB的高度约为22.1m．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得：CE＝BD＝8m，在Rt△AEC中，∠ACE＝67°，∴AE＝CE•tan67°≈8×2.36＝18.88（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝22°，∴BE＝CE•tan22°≈8×0.4＝3.2（m），∴AB＝AE+BE＝18.88+3.2≈22.1（m），∴则居民楼AB的高度约为22.1m，故答案为：22.1．18．（2分）（2023•瓯海区四模）如图1是一款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮⊙O的直径为12cm，拖盘OE与后轮⊙O'相切于点N，手柄OF⊥OE．侧面为矩形ABCD的货物置于拖盘上，AB＝20cm，BC＝52cm．如图3所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点B旋转，点C落在OF上，若，则OC的长为10cm，同一时刻，点C离地面高度h＝56cm，则点A离地面高度为cm．解：∵∠ABC＝∠COE＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°＝∠OBC+∠ABE，∴∠OCB＝∠ABE，∴tan∠OCB＝tan∠ABE＝，在Rt△COB中，，设OB＝x，则OC＝5x，在Rt△COB中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2x2+（5x）2﹣522，解得x＝2，∵OC＝10cm，如图所示，过点O作OG⊥FQ于G，过点A作AH⊥FQ于H，过点A作AP垂直于水平面于P，在OC上取一点T，使得BT＝CT，连接BT，设AH、BC交于S，则四边形APQH是矩形，∴AP＝QH，前轮⊙O的直径为12cm，∴QG＝6cm，∴CG＝CQ﹣QG＝50cm，，∴∠OCG＝∠OCB，即∠BCG＝2∠OCB，∵BT＝CT，∴∠TBC＝∠TCB，∴∠BTO＝∠TBC+∠TCB＝2∠TCB＝∠BCG，设CT＝BT＝xcm，则，在Rt△OBT中，由勾股定理得BT2＝OB2+OT2，，解得，∴，，∵∠ASB＝∠CSH，∠ABS＝∠CHS＝90°，∴∠SAB＝∠SCH，∴tan∠SAB＝tan∠SCH，在Rt△ABS中，，，CH＝CS•cos∠hcs＝cm．故答案为：．19．（2分）（2023•武昌区模拟）如图，在△ABD中，∠A＝90°，若BE＝mAC，CD＝mAB，连接BC、DE交于点F，则cos∠BFE的值为．解：过点D作DK⊥AD，使得DK＝mAC．∵CD＝mAB，DK＝mAC，∴＝＝m，∵∠A＝∠CDK＝90°，∴△CDK∽△BAC，∴＝＝m，∵BE＝mAC，DK＝mAC，∴BE＝DK，∵BE＝DK，∴四边形BEDK是平行四边形，∴DE∥BK，∴∠EFB＝∠CBK，设BC＝k则CK＝mk，BK＝•k，∴cos∠BFE＝cos∠CBK＝＝＝＝．故答案为：．20．（2分）（2023•金华模拟）如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥BC，DF＝8厘米，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，tan∠PMG＝，且点D在NM的延长线上，则GF的长为3厘米；使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2厘米，则压杆MN到底座AB的距离为（1+）厘米．解：如图2，延长NM，则NM过点D，∵四边形EFGH是矩形，HG∥EF，∴∠PMG＝∠PDF，∴tan∠PDF＝tan∠PMG＝＝，即＝，PF＝6，∵PF＝6，∴GF＝PF＝3（厘米）．如图3，过点P作PK⊥AB于K，∵MN∥AB，∴PK⊥MN，∠MPF＝∠PFK，∵∠DFP＝∠DCF＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝∠PFK+∠DFC＝90°，∴∠PFK＝∠CDF＝∠MPF，由图2可得，PG＝3，tan∠PMG＝，∴MG＝4，Rt△DCF中，CF＝＝2，∴tan∠CDF＝tan∠MPF＝＝，∴PG＝，PF＝，∵sin∠CDF＝sin∠PFK＝＝，∴PK＝（1+）厘米．故答案为：3；（1+）．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）（2023•永丰县模拟）2021年11月9日是我国第30个“全国消防宣传日”，该年“119消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，江西省南昌市消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．（1）当起重臂AC长度为15m，云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为11m，求张角∠CAE的大小；（2）已知该小区层高为2.8m，若某9楼居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：≈1.732）解：（1）过点A作AM⊥CD，垂足为M，则AE＝MF＝3.5米，∠EAM＝90°，∵CF＝11米，∴CM＝CF﹣MF＝11﹣3.5＝7.5（米），在Rt△ACM中，AC＝15米，∴sin∠CAM＝＝＝，∴∠CAM＝30°，∴∠CAE＝∠EAM+∠CAM＝120°，∴张角∠CAE为120°；（2）该消防车不能实施有效救援，理由：当∠CAE＝150°，AC＝20m时，能达到最高高度，∵∠EAM＝90°，∴∠CAM＝∠CAE﹣∠EAM＝60°，在Rt△CAM中，CM＝AC•sin60°＝20×＝10（m），∴CF＝CM+MF＝10+3.5≈20.82（m），∵8×2.8＝22.4（m），∴20.82＜22.4，∴该消防车不能实施有效救援．22．（6分）（2023•合肥模拟）如图，在一块截面为矩形ABCD的材料上裁剪出一个机器零件（阴影部分），点E，G，H分别在AB，CD，AD边上，点F在矩形ABCD内部．已知BC＝1.3米．（1）若E，F，G三点在同一条直线上时，AB＝2米，求机器零件（阴影部分）的面积；（2）若∠FBC＝50°，∠FCB＝37°，求线段CF的长．（参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，tan50°≈1.2）解：（1）如图1，连接EG，∵E，F，G三点在同一条直线上，∴EG经过F，∵EG左边的阴影部分的面积等于矩形AEGD面积的，EG右边的阴影部分的面积等于矩形BEGC面积的，∴阴影部分的面积等于矩形ABCD面积的，即阴影部分的面积＝（平方米），∴阴影部分的面积为1.3平方米；（2）如图2，作FP⊥BC于P，设FP＝x，在Rt△BPF中，∠FBC＝50°，，即，在Rt△CPF中，∠FCB＝37°，∵，即∵BC＝1.3米，∴.3，解得x＝0.6，在Rt△CPF中，，即，∴CF＝1米．23．（8分）（2022春•磐安县期中）某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．课题测量嵩岳寺塔的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量方案在点C处放置高为1.3米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为45°，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为32°．说明：E、C、B三点在同一水平线上请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）解：延长FD交AB于点G，则FG⊥AB，CD＝GB＝1.3米，DF＝CE＝22米，设AG＝x米，在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，∴GD＝＝x（米），∴GF＝GD+DF＝（x+22）米，在Rt△AGF中，∠AFG＝32°，∴tan32°＝＝≈0.62，∴x≈35.89，经检验，x≈35.89是原方程的根，∴AG≈35.89米，∴AB＝AG+BG＝35.89+1.3≈37.2（米），∴嵩岳寺塔AB的高度约为37.2米．24．（6分）（2023•来安县二模）如图，某数学兴趣小组想测量宝塔的高度，他们在点A处测得塔顶C的仰角为60°，在B处测得塔顶C的仰角为40°，已知A，B和塔基在一条直线上，测得AB为71m．请你帮助数学兴趣小组计算宝塔的高度．（结果精确到个位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73）​解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设AD＝xm，∵AB＝71m，∴BD＝AB﹣AD＝（71﹣x）m，在Rt△ADC中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝x（m），在Rt△CBD中，∠CBD＝40°，∴CD＝BD•tan40°≈0.84（71﹣x）m，∴x＝0.84（71﹣x），解得：x≈23.2，∴CD＝x≈40（m），∴宝塔的高度约为40m．25．（8分）（2023•鄄城县三模）桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米，设∠BAC＝α，为保证安全，α的调整范围是30°≤α≤90°．（1）当α＝60°时，若人站在AD的中点E处，求此人离地面（BC）的高度．（2）在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面BC的距离范围．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，，精确到0.1米）解：（1）过点E作EH⊥BC，垂足为H，∵AB＝AC＝1.6米，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵点E是AD的中点，∴AE＝AD＝0.6（米），∴EC＝AE+AC＝2.2（米），在Rt△ECH中，EH＝EC•tan60°＝2.2≈1.9（米），∴此人离地面（BC）的高度约为1.9米；（2）过点D作DM⊥BC，垂足为M，当∠BAC＝30°时，∵AB＝AC＝1.6米，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝75°，∵AD＝1.2米，∴DC＝AD+AC＝2.8（米），在Rt△DMC中，DM＝DC•sin75°≈2.8×0.97≈2.7（m）；当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC＝1.6米，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝45°，在Rt△DMC中，DM＝DC•sin45°＝2.8×＝1.4≈2.0（m）；∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面BC的距离范围约为2.0m≤DM≤2.7m．26．（8分）（2023•天山区校级二模）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度．如图，在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量．高台CD到AB的距离BC为6米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°，测得点B的俯角为30°．（1）填空：∠ADB＝70°；（2）求建筑物AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73）解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得：∠ADE＝40°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝40°+30°＝70°，故答案为：70；（2）由题意得：DE＝BC＝6米，在Rt△ADE中，∠ADE＝40°，∴AE＝DE•tan40°≈6×0.84＝5.04（米），在Rt△DEB中，∠BDE＝30°，∴BE＝DE•tan30°＝6×＝2≈3.46（米），∴AB＝AE+EB＝5.04+3.46≈9（米），∴建筑物AB的高度约为9米．27．（8分）（2023•儋州模拟）三亚南山海上观音圣像是世界上最高的观音像，某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音圣像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音圣像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处，在点D处测得观音圣像顶端A的仰角为32°，已知∠ACD＝105°．（点A，B，C，D在同一平面内）（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝30°；（2）填空：DE＝20m，CE＝34m；（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1