2021-2022学年上海中学高三（上）期中数学试卷（学生版+解析版）

2021-2022学年上海中学高三(上)期中数学试卷

一、填空题

1.(3分)不等式log2%W2的解集为.

2.(3分)设｛斯｝是各项为正数的等比数列，且43a4=2,贝！Ilog2a2+log2a5=.

3.(3分)设集合｛x*+2x+4=0｝有且只有两个子集，则。=.

4.(3分)4知函数y=，mx+l(mV0)在(-,2］上有意义，则实数m的范围

是.

5.(3分)已知p：7-3x-4W0,<7：|x-3|W,w,若p是q的充分不必要条件，则实数机

的取值范围是.

6.(3分)函数/(%)=］+不与(04〈》的最小值是.

7.(3分)已知函数/'(乃=不扁，则不等式f(x-3)4/(2%)>0的解集为.

8.(3分)声强级L(单位：dB)与声强/的函数关系式为：L=10服(卫运).若普通列车

10

的声强级是98dB,高速列车的声强级为45dB,则普通列车的声强是高速列车声强的

倍.

9.(3分)若存在实常数4和6,使得F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都

满足；F(x)^kx+b和G(x)Wkx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F(x)和G(%)

的“分隔直线”.已知函数/(x)=-*(xGR),g(x)=1(x>0),若/(x)和g(x)

之间存在“分隔直线”，则6的取值范围为.

10.(3分)设函数"X)=|x+1-ax-b|,若对任意的实数小儿总存在右€由，5］使得

/(xo)》m成立，则实用数的取值范围是.

11.(3分)如图，函数/(x)的图像由一条射线和抛物线的一部分构成，/(x)的零点为-主

若不等式f(x+a1)(x)(aWO)对xER恒成立，则实数a的取值范围

是.

12.(3分)已知数列｛x"｝满足出=0且以+1|=以.i+2|,&6N*,则W1+X2+X3+…+X2021I的最小

值是.

二、选择题

13.(3分)已知A6R,则“对任意a,b&R,a2+b2^kabn是“kW2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.(3分)等差数列｛斯｝中，ai，43,。4为等比数列，则公比为()

二111

A.1或-B.-C.-4D.1

222

15.(3分)已知a,bER,则％+步|》0"是“函数f(x)=如+1|+加11|存在最小值”的

()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件

16.(3分)已知数列｛斯｝满足：当即-0时，即+1=祟；当即=0时，斯+1=0；对于任

意实数0，则集合｛川斯<0,n=\,2,3,…｝的元素个数为()

A.0个

B.有限个

C.无数个

D.不能确定，与0的取值有关

三、解答题

17.已知关于x的不等式a/-x+l-aWO.

(1)当“>0时，解关于x的不等式；

(2)当2WxW3时，不等式ox2-x+1-aWO恒成立，求实数a的取值范围.

18.已知函数f(x)=5-3x,g(x)=3x-2.

(1)若〃(x)=\f(x)卜尼(x)I，且力(x)Wn?恒成立，求实数机的最小值；

(2)若w(x)=+Jg(x)，求隼(x)的值域.

19.科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动

造成的二氧化碳排放所致.应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达

峰，而后实现碳中和.2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030

年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明

确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电

能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%,2021

年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%.

(1)设从2021年开始的〃(〃6N*)年内火电发电总量为S”亿千瓦时，清洁电能总发电

量为方,亿千瓦时，求S，7；(约定〃=1时为2021年)；

(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？

20.已知函数y=/(x)的定义域为。，若存在实数a,b,对任意的有2a-且

使得+f(2a-x)=2b均成立，则函数y=/(x)的图像关于点(a,b)对称，反

之亦然，我们把这样的函数/(x)叫做“中函数.

(1)已知"中函数“y=/(x)的图像关于点(1,2)对称，且x€(0,1)时，/(x)=无一%

求xe(1,2)时，函数/(x)的解析式；

(2)已知函数/(x)=4r+N1+N|+雷，问/G)是否为“中函数”？请说明理

人IX人|4人ID人IT,

由；

(3)对于不同的“甲函数”f(x)与g(x),若/(x)>g(x)有且仅有一个对称中心，

分别记为(m,p)和(〃，q),

①求证：当根=〃时，/(x)+g(x)仍为“中函数”；

②问：当m^n时，f(x)+g(x)是否仍一定为“中函数”？若是，请说明理由；若不

一定是，请举出具体的反例.

21.若数列｛斯｝满足：存在正整数7,对于任意正整数〃，均有如+7=如成立，则称｛斯｝为

—1，CLn〉］

周期数列，且周期为T,己知数列｛斯｝满足。1=入(入>0),且%+1=1.

\—>0<a<1

\ann

(1)若“4=5.请写出所有可能的人的值构成的集合；

(2)对于任意给定的正整数T(T22),是否存在实数入>1,使得｛斯｝是周期为T的数

歹U?若是，请给出符合要求的人的一个值(用T表示)；若不是，请说明理由；

(3)若0=入(入€Q,入》2),问：数列｛斯｝是否可能为周期数列？若是，请给出符合要

求的人的一个值；若不是，请说明理由.

2021-2022学年上海中学高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1.（3分）不等式的解集为（0,41.

【解答】解：由不等式log2xW2=log24可得，0<x<4,

故答案为：（04J.

2.（3分）设｛aQ是各项为正数的等比数列，且a3a4=2,则log2a2+log2a5=1.

【解答】解：：｛斯｝是各项为正数的等比数列，且43。4=2,

AIog26l2+log2«5=log2a2a5=log2«3O4=<Og22=1.

故答案为：1.

3.（3分）设集合｛xp+Zx+anO｝有且只有两个子集，则a=1.

【解答】解：：集合｛木2+2x+a=0｝有且只有两个子集，

此集合只含有一个元素，即/+2x+a=0只有一个实数根，

△=4-4a=0,解得a=l,

故答案为：1.

4.（3分）已知函数y=Tmx+l（?nV0）在（-8,2］上有意义，则实数机的范围是

0）.

【解答】解：要使函数y=7mx+1（加V0）在（-8,2］上有意义，

则蛆+120在（-8,2］上恒成立，

"."g（x）=mx+］（m<0）在（-8,2］上为减函数，

1

贝g（x）,nin=g（2）=2rn+1,可得2加+120,即一

・•・实数机的范围是［一；，0）.

故答案为：［―^,0）.

5.（3分）已知p：/-3x-4W0,0以-3|Wm,若p是夕的充分不必要条件，则实数〃?

的取值范围是一一4,+8）.

【解答】解：p：7-3x-4W0=（x+1）（x-4）W0,解得-1

q：\x-3|Wm,解得3-机

・・・p是4的充分不必要条件，

解得力》4,

则实数团的取值范围是［4,+8),

故答案为：［4,+8).

6.(3分)函数f(x)=9+凸^(0〈%〈》的最小值是3+29.

111?1

【解答】解：••,OVx/，.•."%)=捻+&=田+(1-2乃］(摄+壶)

O,2(l-2x)2x„l2(l-2x)~2x~々工■，万

=3+—++9―声=3+2传

当且仅当2(=2乃=时，即*=马平时等号成立，

2xl-2x2

.••函数f(x)=打11不务(0VxV分1的最小值是3+2V2.

故答案为：3+2企.

7.(3分)已知函数则不等式f(x-3)tf(2x)>0的解集为{旦。1}

【解答】解：由题意得了(x)为奇函数，当x>0时，/(%)=击=1一喜，

故/(X)在(0,+8)上是增函数，故它在(-8,0)上也是增函数.

又f(x)=0,故/(x)是R上的增函数.

由不等式/(x-3)+f(2x)>0,可得/(x-3)>/(-2x),：.x-3>-2x,解得x>l,

故原不等式的解集为{xlx>l},

故答案为：{x|x>l}.

8.(3分)声强级乙(单位：dB)与声强/的函数关系式为：L=10Zg(-4适).若普通列车

10

的声强级是9848,高速列车的声强级为45dB,则普通列车的声强是高速列车声强的

1()5倍.

【解答】解：VL=10配导1)，普通列车的声强级是98孙高速列车的声强级为45dB,

L1她109.5-12

\1=10TO-12,故上==105.

4.5-12

/高10

故答案为：1()5.

9.(3分)若存在实常数A和4使得产(%)和G(%)对其公共定义域上的任意实数x都

满足；F(x)人和G(x)恒成立，则称此直线y=fcv+匕为F(x)和G(x)

的“分隔直线”.已知函数/(X)=-?(xeR),g(x)=i(x>0),若f(x)和g(x)

之间存在“分隔直线”，则b的取值范围为[0,41.

【解答】解：设/(*)和g(x)的“分割直线”为丫=履+6,

由函数f(x)=-?(x€R),g(x)=；(x>0),的图象及题意可知，必有-/〈履+b

1

及->kx+b(x>0)恒成立，

x

•；-/W自+6对任意实数x都成立，则-46W0恒成立，即dW4"亘成立；

V->kx+b对任意x>0都成立，即k^+bx-1W0对任意x>0都成立，则kWO,&=序+4卜

x

<0恒成立，即庐W-4上恒成立，

二代164646

：.b(6-4)(y+46+16)WO

；.0WbW4,

即方的取值范围为[0,4].

故答案为：[0,4].

10.(3分)设函数/(x)=|%+1—ax-b|,若对任意的实数小6,总存在沏€电，5]使得

/(xo)2m成立，则实，"数的取值范围是(一8,一|].

【解答】解：由题意，函数/(乃=比+9-。》一切表示函数8(*)=丫+[与函数〃(;0

=ax+h横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，

作出函数g(x)=x+1的图象如图所示，

由图可知，当h(x)位于直线L与直线上正中间时，函数/G)的最大值最小,

直线匕的方程为尸g(-)=g(5)=等

因为g(x)=x+1是对勾函数，

由对勾函数的性质可得，直线乙2的方程为y=g(1)=2,

26_2a

所以[7(X)max]mE==耳，

所以〃田|，

则实〃?数的取值范围是(一〜-|].

故答案为：(―00,—.

11.(3分)如图，函数f(x)的图像由一条射线和抛物线的一部分构成,/(x)的零点为-热

若不等式/(x+J)为,(》)(40)对xCR恒成立，则实数a的取值范围是(—8,

【解答】解：由题意可知，射线经过点(一寺，0),(1,2),

则射线的方程为y=枭+|(xW1),

当时，设/(x)=m(x-2)2+1(/n>0),

因为/(I)="+1=2,解得加=1,

所以当时,/(x)=(x-2)2+1,

函数y=f(x+/)的图象可以看作函数y=/(x)的图象向左平移d个单位长度，

令/(x)=t(l<r<2),

设函数(i)的图象与直线交点的横坐标分别为R,X2,与且2Vx3,

由题意可知，(X3-XI)m3

令(％+1解得%1=与工，

令(K-2)2+1=tf解得％2=2—y/t—1/叼=2+y/t—1,

____Q/--9

所以％3—X1=2+Vt—1---—，

令〃="-1,则0<n<l,

画3(//2+1)-23(2、2,25-25

则％3-Xi=Q2,+〃_▽4=-4("一引+分W行,

所以(％3—Xl)max-诵，

则/之登，解得aw—警或a2等，

所以实数。的取值范围为（一为，一等］u［誓，+8）.

故答案为：（-8,—U［~^>+°°）.

12.（3分）已知数列｛为?｝满足3=0且以+1|=以一1+2|,依N*,则仅1+X2+X3+…+X2021I的最小

值是69.

【解答】解：由数列｛*｝满足刈=0且以+1|=以一1+2|,依N*,

2

可知必是整数，对以+1|=以-1+2|进行两边平方得，xk+2砍+1=+4叫一1+4,

22

/.xx+2xi+l=x0+4为（）+4,

22

/.x2+2x2+1=%i4-4xi+4,

22

x3+2x3+1=x2+4也+4,

***x20212+2x2021+1=%20202+4X2020+4,

把这2021个式子相加，可得

(xj+上2+・+工202()2+X202J)+2(11+32+・+元2020+犬2021)+1X2021

=(0+x/+x22+・+%202()2)+4(0+%l+X2+，+X2020)+4X2021,

移项可得%20212+2X2021=2(X]+X2+'+X2()20)+6063,

即％20212+4x2021+4=2(Xl+X2+・+X2020+X2021)+6067,

(x2021+2)2=2(Xl+X2+#+X2020+X2021)+6067,

(%2021+2)2-6067

••|xi+X2+•+X2020+X2021|=I---------------------------1.

易知，当女为偶数时，必为偶数，女为奇数时，底为奇数，故X2021+2为奇数.

要使|xi+X2+・+X2020+X202l|最小，需|1-------------1最小，需(%2021+2尸应和6067最靠

近.

由于772=5929,792=6241,

(%2021+2产―6067

•:当12021+2=77时，|xi+X2+…+X2020+X2021|=|--------------------------1=69,

…(入2021+2)2-6067

X2021+2=79时，M+X2+,••+X2020+X2021|=|-----------------------------1=87,

故答案为：69.

二、选择题

13.(3分)已知C6R,则“对任意a,Z?GR,cr+b1^kabn是“kW2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：•.•/+房-妨6》0对任意“eR都成立，

；.△=(kb)2-4廿WO

即反(正-4)W0

对任意bER都成立

即4-FN0成立，

故在［-2,2］,

又因为［-2,2阵(-8,2］

所以“对任意a,b&R,£+序》kab”是“ZW2”的充分不必要条件，

故选:A.

14.(3分)等差数列｛斯｝中，ai，的，。4为等比数列，则公比为()

„111

A.1或-B.-C.-4D.1

222

【解答】解:设等差数列｛斯｝公差为d,“3,04成等比数列,

,432=044,即(ai+24)2=m(“1+3”),解得d=0或ai=-4d.

若4=0,则等比数列的公比4=1.

若0=-44,则等比数列的公比q=^=葺=；.

故选：A.

15.(3分)已知a,Z?GR,则“a+|b|?O”是“函数/(x)=小+1|+冰-1|存在最小值”的

()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件

【解答】解：因为/(x)是连续的函数，所以在［-1.1］内必有最大值和最小值，

所以考虑xW-1或x2l时/•(x)有最小值即可，

—(a+b)x+b—dfx—1

(Q-b｝x+a+b,-1<x<l,

｛(a4-b)xa—b,x>1

若有最小值，则当x2l时必有。+620,否则f(x)单调递减，无最小值；

同理，当xW-1时必有-(a+b)WO即a+Z>ZO,否则/(x)单调递增，无最小值，

所以/(x)存在最小值=a+6?0,又。+|勿》0是a+620的必要不充分条件，

所以.+依20是“/G)存在最小值”的必要不充分条件.

故选：C.

16.(3分)已知数列｛斯｝满足：当”“WO时，an+i~*Vn—:当“"=0时，斯+1=0;对于任

意实数m，则集合｛“QWO,n=l,2,3,•｝的元素个数为()

A.0个

B.有限个

C.无数个

D.不能确定，与的的取值有关

【解答】解：当41=0时，根据题意，则“2="3=。4=i=0,则集合的元素有无数个；

当0=±1时，则42=0，根据题意，则。3=44=3=0,则集合的元素有无数个；

当。1大±1且时,an+1=|x(a„-

若斯>1,则a“+i>0;若0<如<1,则斯+1<0；

若则a”+i>0；若如<-1,则即+1<0.

a

而an+]-cin=2x(C1n-3")—2(n+；)，则4”>0时，数列递减且无卜限(※以

斯>0时，数列递增且无上限(*).

(1)若0>1,则加+1-斯>0,根据(X)可知，在求解41,“2,…的迭代过程中，终

有一项会首次小于0，不妨设为以(k>l,Kez)；

(2)若ak<-1,则«+1<0：

①若延+1<-1,则延+2<0，接下来进入⑵或(3)；

②若-1<四+1<0,接下来进入(3)；

(3)若-1<这<0,则内：+1>0,接下来进入(1)或(4)；

(4)若0<徽<1,则延+i<0,接下来进入(2)或(3).

若则进入(4).

若-则进入②.

若ai<-1,则进入①.

如此会无限循环下去，会出现无限个负数项.

综上：集合｛川即W0,〃=1,2,3,…｝的元素个数为无数个.

故选：C.

三、解答题

17.已知关于x的不等式ox?-x+1-aWO.

(1)当。＞0时，解关于x的不等式；

(2)当2WxW3时，不等式o?-x+l-aWO恒成立，求实数”的取值范围.

【解答】解：(1)不等式/-x+l5WO可化为(x-1)｛ax+a-1)WO,

当a＞0时，不等式化为(x-1)(%-a-)W0,

①当匕＞1,即0＜。＜义时，解不等式得

aza

1—a1

②当——=l,即。=之时，解不等式得x=l,

a/

1--CL11—CL

③当——＜1,即a＞细，解不等式得——WxWl.

aza

综上，当OVaV1时，不等式的解集为｛x|lWxW平｝,

当时，不等式的解集为“卜=1｝，

11一。

当。＞5时，不等式的解集为网---1｝.

乙a

(2)由题意不等式-x+1-aW0化为。(/-I)-1,

当虻[2,3]时,x-1€[1,2],且X+1R3,4],

所以原不等式可化为«＜备恒成立，

设/(x)=Kpxe[2,3],则/(x)的最小值为/(3)=1,

1

所以a的取值范围是(-8,-].

4

18.已知函数/(x)=5-3x,g(x)=3x-2.

(1)若力(x)=\f(x)|-(x)I，且//(x)Wm恒成立，求实数机的最小值;

(2)若w(%)=J/Q)+Jg(刈,求年(x)的值域.

【解答】解：(1)函数f(x)=5-3x,g(x)=3x-2,

则〃G)=，(x)卜IgG)|=|5-3M-|3x-2|W|(5-3x)+(3x-2)|=3,

所以力(x)的最大值为3,

因为//(x)Wm恒成立，，

则h(X)maxWm,

所以"223,

故实数机的取值范围为[3,+8)；

(2)9。)="(%)4-Jg(x)=V5-3%4-y/3x-2,

所以<p(X)的定义域为[|,|],

2

因为(p2(x)=3+2V-9x+21x-10G[3,6J,

故(p(x)G[V3,A/6],

故年(x)的值域为[W，V6].

19.科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动

造成的二氧化碳排放所致.应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达

峰，而后实现碳中和.2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030

年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明

确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电

能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%,2021

年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%.

(1)设从2021年开始的〃(“6N*)年内火电发电总量为8亿千瓦时，清洁电能总发电

量为6亿千瓦时，求S”(约定”=1时为2021年)；

(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？

【解答】解：(1)S〃=8+8(1-20%)+8(1-20%)2+・+8(1-20%)n'=4a8)=

1—U.o

40(1-0.8n),

T”=4+4(1+25%)+4(+25%)2+»+4(1+25%)n'=-16(1-1.25").

1—1.ZD

(2)设从〃年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量，即T”>S”

40(1-0.8")<-16(1+1.25"),解得1.25n或L25"V1(舍去),

5

-

2

5=igS-ig2_1-2均2

-

4lgS—lg4~l—3lg2

故当〃=5时，Tf1>Sn，

即从2025年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量.

20.已知函数y=f(x)的定义域为。，若存在实数a,b,对任意的xe。，有且

使得/(x)+f(2a-x)=2/?均成立，则函数y=/(x)的图像关于点(a,b)对称，反

之亦然，我们把这样的函数/(x)叫做“中函数.

(1)已知函数"y=f(x)的图像关于点(1,2)对称，且xC(0,1)时，/(x)=x—§

求(1,2)时，函数f(x)的解析式；

(2)已知函数/(为二至+密+事+雷，问/G)是否为“中函数”？请说明理

由；

(3)对于不同的“卬函数”/(x)与g(X),若/(x)、g(x)有且仅有一个对称中心，

分别记为(m,p)和(〃，q),

①求证：当/=〃时，/(x)+g(x)仍为“中函数”；

②问：当机/〃时，f(x)+gG)是否仍一定为“甲函数”？若是，请说明理由；若不

一定是，请举出具体的反例.

【解答】(1)解：当(1,2)时，2-X6(0,1),

又函数y=f(x)的图像关于(1,2)对称,

11

所以f（%）=4~f（2-x）=4-（2-x—2—x^=口+2+2―%，

故(1,2)时，函数/(x)的解析式为/(x)=x+2+;

_2^%+1%2%+3__1_1_____1_1

（2）解:函数/(无)=++±+=4

x+1x+2x+3x+4x+1x+2x+3%+4'

所以/(一5一吟=4一君一注一士一心,

故/(x)V<-5-x)=8,

所以/(x)关于点(一分4)对称，

故函数/(x)是“中函数”；

(3)①证明：f(x)+g(x)+f(2/M-JC)+gC2m-x)=p+q,

所以/(x)+g(x)的对称中心为(m,趺为,

故函数f(x)+g(x)是“中函数"；

②解：当,“W〃时，/(x)+g(x)不一定