湖南省长沙市浏阳第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省长沙市浏阳第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设直线与直线A的交点为A；P，Q分别为上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（

）A.2 B.－2 C.3 D.－3参考答案：A根据题意画出图形，如图所示；

直线与直线的交点为；为的中点，

若，则

即解得．

故选A．2.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x－2)＜0,x∈Z}，则A∪B=（A）{1} （B）{1,2}（C）{0,1,2,3} （D）{－1,0,1,2,3}参考答案：C，∴，∴，故选C．3.若函数f（x）=ax2﹣ln（2x+1）在区间[1，2]上为单调函数，则实数a不可能取到的值为（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而得出答案．【解答】解：f'（x）=2ax﹣=，∵2x+1＞02ax2+ax﹣1≥0在[1，2]成立；令G（x）=2ax2+ax+1，对称轴x=﹣，①若a＞0，函数G（x）在[1，2]上递增，G（1）=2a+a﹣1≥0，解得：a≥，②若a＜0，G（x）在[1，2]上递减，G（2）=9a﹣1＜﹣1＜0，无解综上所述a≥时函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，故a不可能取．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．4.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．

B． C． D．参考答案：C5.，则（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C6.若a＞b＞0，0＜c＜1，则A.logac＜logbc B.logca＜logcb C.ac＜bc D.ca＞cb参考答案：B试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.7.已知集合A={0,1}，，则A∩B=（

）A．{0,1}

B．{－1,0,1}

C．[－1,1]

D．{1}参考答案：A因为集合，，所以A∩B={0,1}.故答案为：A

8.已知等差数列{}的前项和为，且，则(

)A．

B．

C．

D.参考答案：A9.下列四个命题中，正确命题的个数是(

)个①若平面平面，直线平面，则；②若平面平面，且平面平面，则；③平面平面，且，点，，若直线，则；

④直线为异面直线，且平面，平面，若，则.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B10.已知函数则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式的展开式中常数项为

.（用数字表达）参考答案：-16012.给出下列命题：①在锐角；②函数图象关于点对称；③在，则必为等边三角形；④在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点.其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）.

参考答案：略13.(几何证明选做题)如图（3），是圆的直径，延长至，使，且，CD是圆的切线，切点为，连接，则________，________．参考答案：、略14.已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确的命题是

（写出你认为正确的所有命题的序号）参考答案：①、②、⑤13.设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。参考答案：216.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨(为的约数)，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买

吨．参考答案：17.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角的余弦值是

．参考答案：试题分析：以为坐标原点,射线所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.令两正方形边长均为2.则,,,设异面直线与所成的角为,.考点：异面直线所成的角.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知平行四边形中，四边形为正方形，平面平面分别是的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面（Ⅱ）记表示四棱锥的体积.(ⅰ)求的表达式；（ⅱ）当取得最大值时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证法１：∵,

∴且∴四边形EFBC是平行四边形∴H为FC的中点-------------2分又∵G是FD的中点∴---------------------------------------3分∵平面CDE，平面CDE∴GH∥平面CDE

---------------------------------4分证法２：连结EA，∵ADEF是正方形∴G是AE的中点-------1分∴在⊿EAB中，

------------------------------------------------------------------2分又∵AB∥CD，∴GH∥CD，-----------------------------------------------------------------3分∵平面CDE，平面CDE∴GH∥平面CDE

---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.--------------------------------------------------6分∵BD⊥CD,，

∴FA=2,（）∴＝

∴（）----------------8分（Ⅲ）要使取得最大值，只须＝（）取得最大值，∵，当且仅当即时取得最大值-----------------------------------------------------------------------9分解法１：在平面DBC内过点D作于M，连结EM∵∴平面EMD∴∴是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------12分∵当取得最大值时，,∴,∴即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.------------------------------13分解法２：以点D为坐标原点，DC所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示，------9分则,∴,,-------10分设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为，平面ECF的法向量由得令得

------11分

又∵平面ABCD的法向量为∴.------------------------13分略19.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1，∴an﹣1=bn﹣1+bn，∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）cn===6（n+1）?2n，∴Tn=6①，∴2Tn=6②，①﹣②可得﹣Tn=6=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，∴Tn=3n?2n+2．20.已知的外心为，，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与交于点，分别与或其延长线交于点，求证三点共线。参考答案：证明

连，与交于点，由于，因此是等腰三角形，所以,，于是可得，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，于是有，即三点共线。21.已知函数f（x）=lnx﹣（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x﹣1（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣x+1，先求出函F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求解即可．【解答】解：（I）f′（x）=﹣x+1=，x∈（0，∞），由f′（x）＞0得：，解得0＜x＜，故f（x）的单调递增区间（0，）；（II）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），x∈（0，+∞），则有F′（x）=，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，所以F′（x）在[1，+∞）上单调递减，故当x＞1时，F′（x）＜F（x）＜，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（III）由（II）知，当k=1时，不存在x0＞1满足题意，当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在xx0＞1满足题意，当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1），x∈（0，∞），则有G′（x）=﹣x﹣k=，由G′（x）=0得：﹣x2+（1﹣k）x+1=0，得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在[1，x2）内单调递增，从而当x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22.如图1，正方形ABCD的边长为，E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得PH⊥AH，连结PA，PB，PD（如图2）． （Ⅰ）求证：BD⊥AP； （Ⅱ）求三棱锥A﹣BDP的高． 参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何． 【分析】（1）由PH⊥AH，PH⊥EF可得PH⊥平面ABCD，故PH⊥BD，又AC⊥BD，得出BD⊥平面PAH，得出BD； （2）分别把△ABD和△BDP当做底面求出棱锥的体积，列出方程解出． 【解答】（Ⅰ）证明：∵E、F分别是CD和BC的中点，∴EF∥BD． 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，故折起后有PH⊥EF． 又∵PH⊥AH，∴PH⊥平面ABFED．

又∵BD?平面ABFED，∴PH⊥BD， ∵AH∩PH=H，AH，PH?平面APH， ∴BD⊥平