数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。3、已知是三次样条函数，则=()，=（），=（）。4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则()，()，当时()。5、设和节点则和。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）,(2),(3),(4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），3、有下列数表x012f(x)-2-12所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。(1),(2),(3),(4)三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：192530382、（15分）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，(1)

试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8分）已知方程组，其中，（1）

列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）

求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足,,,,六、（下列2题任选一题，4分）1、

数值积分公式形如（1）

试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。2、

用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。（）４、矩阵的２－范数＝９。（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用）（）6、设，，且有（单位阵），则有。（）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：，则的值分别为2，2。（）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设，则均差__________，__________。2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是__________阶。３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。4、向量,矩阵，则__________，__________。5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为__________，__________。6、设，，则（谱半径）__________。（此处填小于、大于、等于）7、设，则__________。三、简答题：（9分）1、

方程在区间内有唯一根，若用迭代公式：，则其产生的序列是否收敛于说明理由。2、

使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术3、

设，试选择较好的算法计算函数值。四、（10分）已知数值积分公式为：，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8分）已知求的迭代公式为：证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式为什么其代数精度是多少七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。012012-1133

九、(9分)设是区间上关于权函数的直交多项式序列，为的零点，是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1）当时，（2）（3）十、（选做题8分）若，互异，求的值，其中。数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1)

(2分)改变函数()的形式，使计算结果较精确。(2)

(2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。(3)

(2分)设，则(4)

(3分)设是3次样条函数，则

a=,b=,c=。(5)

(3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。(6)

(6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式

，迭代矩阵为，

此迭代法是否收敛。(7)

(4分)设,则，。(8)

(2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二.(64分)(1)

(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)

(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。(3)

(10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。(4)

(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。(5)

(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

(6)

(8分)求方程组的最小二乘解。(7)

(8分)已知常微分方程的初值问题：

用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1)

(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

，，，，(2)

(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

(3)

(6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。(4)

(6分)推导求解常微分方程初值问题

的形式为,i=1,2,…,N

的公式，使其精度尽量高，其中,,i=0,1,…,N,

(5)

(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题

所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1)

(2分)改变函数()的形式，使计算结果较精确。(2)

(2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。(3)

(2分)设，则(4)

(3分)设是3次样条函数，则

a=,b=,c=。(5)

(3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。(6)

(6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式

，迭代矩阵为，

此迭代法是否收敛。(7)

(4分)设,则，。(8)

(2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二.(64分)(1)

(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)

(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。(3)

(10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。(4)

(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。(5)

(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

(6)

(8分)求方程组的最小二乘解。(7)

(8分)已知常微分方程的初值问题：

用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1)

(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

，，，，(2)

(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

(3)

(6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。(4)

(6分)推导求解常微分方程初值问题

的形式为,i=1,2,…,N

的公式，使其精度尽量高，其中,,i=0,1,…,N,

(5)

(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题

所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题一答案一、填空题（每空1分，共17分）1、（10）2、（）3、=(3)，=（3），=（1）4、(1)、()、()5、6、6、97、08、9、210、（）、（）二、选择题（每题2分）1、（(2)）2、（（1））3、（（1））4、（（3））三、1、（8分）解：解方程组其中解得：所以，2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），，故收敛；（2），，故收敛；（3），，故发散。选择（1）：，，，，，，Steffensen迭代：计算结果：，，有加速效果。2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，SOR迭代法：五、1、（15分）解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格—库塔法：，所以。2、（8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，则代入条件得：六、（下列2题任选一题，4分）1、解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：，2、解：所以主项：该方法是二阶的。数值计算方法试题二答案一、判断题：（共10分，每小题２分）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）二、填空题：（共10分，每小题2分）1、、02、__二___3、__二___4、_16、90__5、6、=7、0三、简答题：（15分）1、

解：迭代函数为2、

答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、

解：四、解：显然精确成立；时，；时，；时，；时，；所以，其代数精确度为3。

五、证明：故对一切。又所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。

六、解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为。其代数精度为1。七、证明：由题意知：又所以。八、解：设所以由得：所以令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以九、证明：形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精度2n+1次，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立1）2）因为是n次多项式，且有所以()3）取，代入求积公式：因为是2n次多项式，所以故结论成立。十、解：数值计算方法试题三答案一.(24分)(1)(2分)(2)(2分)10(3)(2分)(4)(3分)3-31(5)(3分)477(6)(6分)收敛(7)(4分)991(8)