船舶运动方程nomoo模型的简化及修正方案

船舶运动方程nomoo模型的简化及修正方案

0操证响应方程日本科学家野本谦基于船舶纵轴运动的线性方程学，从操作员的角度研究了船舶纵轴运动。为了忽略转向角，改变转向角引起的各种操纵运动，确定输入转向角对输入转向角的响应关系，并导出旋转角变化的反应方程。那就是近似模型。Nomoto模型是船舶运动控制领域应用最广泛的一种线性数学模型,在线性控制器的设计和简单的系统仿真中能够保证较高的精度,文献给出了该模型的得出过程,文献补充了其数学推导过程。自文献发表50年来,其应用一直未受到任何质疑,最近,笔者在授课及研究时发现,尽管Nomoto模型的结构是正确的,结果是可用的,但其推导过程存在着不足,对于小型及快速船舶,其结果应加以修正。本文重新顺着Nomoto的研究思路,给出了应用Nomoto模型时的一些注意事项及参数修正的建议。1传统拉普拉斯算子仅考虑船舶的两个自由度横漂速度v和转艏角速度r,船舶操纵运动的线性方程如下:式中δ为舵角输入,系数a11,a12,a21,a22,b11,b21由船舶的基本参数确定,求取方法见文献。式(1)可转换为一个描述操舵对艏摇响应的简单方程,即式中K,T1,T2,T3为操纵性指数,通常T1>T2,T3数值一般与T2相近,求取方法见文献。对式(2)作拉氏变换,可得到如下的传递函数式中s为拉普拉斯算子。野本谦作对式(3)所示的二阶传递函数做了一项出色的简化工作,使之降为一阶。论证的出发点在于,对于船舶这种大惯性的运载工具来说,其动态特性只在低频段是重要的,故在式(3)中令s=jω→0,按幂级数展开,可得另外对一阶惯性环节的传递函数按幂级数展开得若令T=T1+T2-T3,在低频范围,即对于较小的s,式(4)和式(5)近似相等,于是得到Grδ(s)的一阶近似为根据关系r=ψ,用船舶方位角ψ替换式(6)中的r,得到对应的方程和这就是船舶操纵运动一阶K-T方程(对于r来说),也称为Nomoto模型。它既能抓住其响应特性本质,又比二阶方程更为简化。式(7)被广泛应用于船舶自动舵的控制器设计中,因为用Nomoto模型进行船舶运动控制器设计有两个好处:一是在低频范围,其频谱与高阶模型的频谱非常相近;二是设计出的控制器阶次低,易于实现。2关于改进的操纵性指数t和b、c、te-tc1的发现关于式(3)到式(6)的简化过程,理论上看似乎是完全正确的。但在实际的教学实践中,我们发现一个问题,那就是s→0并不等于Ts→0。海浪频谱范围为0.3～1.25rad/s,在航海实践中认为海浪频谱为高频,故只要频率低于海浪的频谱就算低频有效的频率。假设s=jω中的频率ω取为0.1rad/s,而实船的操纵性指数T一般为几十到几百的量级,Ts→0的条件很容易就被破坏了,所以从式(3)到式(6)的简化过程是不成立的。故重新仔细研读文献,并找出高等数学书重新验证Nomoto的推导过程。根据文献,函数若想展开成x的幂级数,要求—1<x<1;同理或若想展开成s的幂级数,则要求满足相应的边界约束条件,而在文献的简化过程中并未提到这一边界约束条件。式(5)的展开要求满足-1<Ts<1,按前面的假设,如果ω=0.1rad/s,只要船舶的操纵性指数T在10以上,该条件就不能满足,故该式就不能展开成幂级数形式,但在给出结论前我们验证了表1给出的几条船的Bode图,发现操纵性指数T数值较大的船的带宽频率都远小于0.1rad/s,-1<Ts<1的条件能够满足,故其展开是正确的。这是什么原因呢?原来我们犯了一个偷梁换柱的概念性错误,即小于海浪高频的系统频带不等于船舶运动数学模型的频带,经过控制的系统频带要小于0.3rad/s,而大型船舶的航向保持数学模型的频带要远小于0.1rad/s,另外,式(5)左端为一阶惯性系统,近似地其带宽频率刚好为1/T,这样-1<Ts<1自动满足,故式(5)的展开是成立的。现在来验证式(4)的展开是否正确。因文献并未给出展开式的约束条件,直接幂级数展开还是不清楚幂级数展开的约束条件。我们将分成三部分的乘积,即,K(1+T3s)三部分的乘积,验证一下他们分别展开相乘后是否与式(4)展开一致,如果一致,则说明他们的展开也要满足相应的约束条件。式(9)与式(10)相乘后并不写四阶以上的项得:将式(11)再乘以K(1+T3s)并不写四阶以上的项得:比较式(4)与式(12)展开的s的平方项以前的各项完全一致,我们认为文献s的立方项没有写出来,可以认为式(4)与式(12)是一致的。那么,显然式(9)与式(10)的展开也要满足-1<T1s<1和-1<T2s<1的约束条件。假设T>T2,如果式(9)的约束条件满足,则式(10)的约束条件自动满足。我们验证了表1给出的几条船。设带宽频率为ωb,T1sls=jωb,则第1条船的T1ωb=1.28,第2条船的T1ωb=1.03,第3条船的T1ωb=0.99,发现了一个规律,对于大型的速度稍慢的船舶,式(4)的展开是成立的,而对于小型及速度稍快的船舶(一般情况下,T1<50s),式(4)的展开从数学上来说是不严密的。解决办法,观察表1中给出的几条船的T1,T2,T3三个参数,一般情况下,T2,T3这一对零极点的数值较为接近,他们与T1这一极点的数据相差较大,在近似的情况下,可将T2,T3这一对零极点对消,结果变为式(13)与式(7)的区别在于式(7)中的T=T1+T2-T3,而式(13)直接用T1了,一般情况下,T1>T。故对于大型船舶来说,其操纵性指数较大,用未修正的原Nomoto模型,其最终的T小于T1;而对于小型及快速船舶来说,因Nomoto模型推导不严密,改用近似的T1代替未修正的T,对于小时间常数的快速船来说,因T的稍微增加更利于控制了,物理意义更明显了。例如,对于第一条船,采用未修正的Nomoto模型T=4.1s,其时间常数快赶上汽车的性能了,取修正后的T=T1=5.9s,时间常数就不会快得那么让人难以置信了(根据一阶惯性系统的特性,其物理意义为船舶回转角速度的稳定时间约为3T)。文献从Bode图图形近似上也提到了零极点对消的近似,但直接给出了推导的简化结果,文献补上了简化的数学过程。从Bode图近似来说,采用T或T1来近似,两者的Bode图几乎重合,近似的精度差不多。3nomoto模型基本思想(1)船舶Nomoto模型简化的推导过程未说明约束条件,从数学上对于小型及快速船舶存在着不严密性;(2