新高考数学二轮复习导数培优专题20 极值点偏移问题（含解析）

专题20极值点偏移问题1．极值点偏移的含义若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.极值点x0函数值的大小关系图示极值点不偏移x0＝eq\f(x1＋x2,2)f(x1)＝f(2x0－x2)极值点偏移左移x0<eq\f(x1＋x2,2)峰口向上：f(x1)<f(2x0－x2)峰口向下：f(x1)>f(2x0－x2)右移x0>eq\f(x1＋x2,2)峰口向上：f(x1)>f(2x0－x2)峰口向下：f(x1)<f(2x0－x2)2.函数极值点偏移问题的题型及解法极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝eq\f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0；(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝eq\f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0.3.极值点偏移问题的一般解法3.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为SKIPIF1<0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点SKIPIF1<0．(2)构造函数，即对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0，通过研究SKIPIF1<0的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论SKIPIF1<0的单调性．(5)比较大小，即判断函数SKIPIF1<0在某段区间上的正负，并得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系，进而得到所证或所求．3.2．差值代换法（韦达定理代换令SKIPIF1<0.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用SKIPIF1<0表示)表示两个极值点，即SKIPIF1<0，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题求解．3.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用SKIPIF1<0表示)表示两个极值点，即SKIPIF1<0，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题求解．3.4．对数均值不等式法两个正数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对数平均定义：SKIPIF1<0对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：SKIPIF1<0（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．3.5指数不等式法在对数均值不等式中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据对数均值不等式有如下关系：SKIPIF1<0专项突破练1．已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得x＝1，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，故函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0；（2）由（1）知，不妨设SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得证．2．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是增函数，求实数a的取值范围；(2)若SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】(1)函数的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是增函数，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以a的取值范围是SKIPIF1<0.(2)不妨设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个极值点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，即SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，故应有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，要证明SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立.3．已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极大值；(2)设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是两个不相等的正数，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】(1)因为SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，所以，函数SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0.(2)证明：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是两个不相等的正数，且满足SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，又因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.4．已知函数SKIPIF1<0(1)讨论f(x)的单调性；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明:SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0单调递增；（2）证明：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0由（1）可知，此时SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，因此不妨令SKIPIF1<0要证SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立；②当SKIPIF1<0时先证SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0

要证SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0①令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增∴SKIPIF1<0，∴①式得证.∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<05．已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）．(1)SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程．(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(3)若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0的定义域为(0，+∞)，SKIPIF1<0.当a<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递减；在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增.(3)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由(2)知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.由题意可得：SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.6．已知函数SKIPIF1<0(1)求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；(2)当方程SKIPIF1<0有两个不等实数根SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0【解析】(1)令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(2)证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0.

因为方程SKIPIF1<0有两个不等实根，所以SKIPIF1<0.不妨设SKIPIF1<0.由（1）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.①同理由SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.②由①②，得SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.法二：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0.因为方程SKIPIF1<0有两个不等实根，所以SKIPIF1<0.不妨设SKIPIF1<0.要证SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，只要证：SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，只要证：SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立.因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，故原结论得证.7．已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，求a的取值范围，并证明：SKIPIF1<0．【解析】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；(2)因为SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在定义域内不单调；由SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，不符合题意；当SKIPIF1<0时，在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．不妨设SKIPIF1<0令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．8．已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数），方程SKIPIF1<0有两个不等实根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】(1)因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．由方程SKIPIF1<0有两个不等实根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则可设SKIPIF1<0，欲证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得证．9．已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；(2)若函数SKIPIF1<0恰有三个零点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】(1)SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0为函数的一个零点，设为SKIPIF1<0；设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．由已知，SKIPIF1<0必有两个零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，下证：SKIPIF1<0．设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0为增函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【解析】(1)因为SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0为增函数，则SKIPIF1<0恒成立．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．(2)因为函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0有两个不等的实根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个根，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0两式作差得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，命题得证．11．已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，证明：SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0(2)由（1）不妨设SKIPIF1<0由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减整理可得：SKIPIF1<0所以要证明SKIPIF1<0成立，只需证明SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以只需证明SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则只需证明SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0易知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以，原不等式SKIPIF1<0成立.12．已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性.(2)若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】(1)函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.(2)证明：因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两个零点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得证.13．已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0，与已知矛盾．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，满足条件；综上，SKIPIF1<0取值范围是SKIPIF1<0．（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在区间SKIPIF1<0上单调递减，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，∴只需证SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴只需证SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，∴SKIPIF1<0．14．设函数SKIPIF1<0，已知直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的一条切线.(1)求SKIPIF1<0的值，并讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增【解析】(1)设直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有唯一零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.(2)由（1）知：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0只需证SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则只需证SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时恒成立，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原不等式得证.15．已知函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0.(1)求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)求证：SKIPIF1<0.【解析】(1)定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，也是最小值，又SKIPIF1<0，所以先保证必要条件SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0满足题意.当SKIPIF1<0时，易知，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由以上可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个不同的零点.(2)由题意，假设SKIPIF1<0，要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0.只需证SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.即只需证SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减.SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0所以原命题成立.16．已知SKIPIF1<0是实数，函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0有两个相异的零点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】(1)SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；综上：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；(2)由（1）可知，要想SKIPIF1<0有两个相异的零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以等价于证明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是等价于证明SKIPIF1<0成立，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，结论得证.17．已知函数SKIPIF1<0，(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不相等的零点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0单调递增；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减.综上：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.(2)∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不相等的零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不相等的实根，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.18．已知函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0.(1)判断SKIPIF1<0的单调性；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；(2)依题意，SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，欲证SKIPIF1<0成立，只需证SKIPIF1<0成立，即证SKIPIF1<0成立，即证SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内递减，在SKIPIF1<0内递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0成立，故原不等式成立.19．已知函数SKIPIF1<0.(1)设函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)设函数SKIPIF1<0的两个零点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【解析】(1)由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIP