新高考数学二轮复习导数培优专题09 导数新定义问题（含解析）

专题09导数新定义问题一、单选题1．给出以下新定义：若函数SKIPIF1<0在D上可导，即SKIPIF1<0存在，且导函数SKIPIF1<0在D上也可导，则称SKIPIF1<0在D上存在二阶导函数，记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在D上恒成立，则称SKIPIF1<0在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不是凸函数；对于B选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不是凸函数；对于C选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在R上不恒成立，不是凸函数；对于D选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在定义域上恒成立，是凸函数.故选：D.2．对于三次函数SKIPIF1<0，现给出定义：设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导数，若方程SKIPIF1<0有实数解SKIPIF1<0，则称点SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得x＝1，∵SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A.3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为SKIPIF1<0型，比如：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极限即为SKIPIF1<0型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【解析】SKIPIF1<0，故选：D4．定义方程SKIPIF1<0的实根SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的“新驻点”，若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“新驻点”分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的根，即为函数SKIPIF1<0的零点，可解得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0为单调递增函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.5．已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“巧值点”．下列选项中没有“巧值点”的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A选项，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0有“巧值点”；对于B选项，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由零点存在定理可知，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有零点，所以，函数SKIPIF1<0有“巧值点”；对于C选项，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，所以，函数SKIPIF1<0没有“巧值点”；对于D选项，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0有“巧值点”.故选：C.6．定义满足方程SKIPIF1<0的解SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0存在“自足点”，A满足条件；对于B选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在零点，即函数SKIPIF1<0存在“自足点”，B选项满足条件；对于C选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，方程SKIPIF1<0无实解，D选项不满足条件.故选：D.7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上的图象连续不间断，在开区间SKIPIF1<0内的导数为SKIPIF1<0，那么在区间SKIPIF1<0内至少存在一点c，使得SKIPIF1<0成立，其中c叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的“拉格朗日中值点”的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【解析】函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.8．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，则称SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0阶比增函数”．若函数SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0阶比增函数"，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为函数SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0阶比增函数”，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，所以令SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0。故选：A二、多选题9．已知函数SKIPIF1<0及其导数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴该方程无解，∴函数SKIPIF1<0无“巧值点”，故A符合题意；对于B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0有“巧值点”－1，故B不符合题意；对于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0无解，∴函数SKIPIF1<0无“巧值点”，故C符合题意；对于D，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，易知函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在第一象限内有一个交点，∴方程SKIPIF1<0有一个解，∴函数SKIPIF1<0有“巧值点”，故D不符合题意．故选：AC．10．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上连续，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上任意二点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0时，我们称函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即SKIPIF1<0.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足SKIPIF1<0在定义域内恒成立．对于A，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时恒成立，不符合题意，故选项A错误；对于B，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，符合题意，故选项B正确；对于C，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时恒成立，符合题意，故选项C正确；对于D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时恒成立，不符合题意，故选项D错误.故选：BC.11．已知函数SKIPIF1<0及其导数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0有青山点，所以A正确，对于B，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，方程无解，所以函数SKIPIF1<0不存在青山点，所以B错误，对于C，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），由于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像有交点，所以方程SKIPIF1<0有解，所以函数SKIPIF1<0有青山点，所以C正确，对于D，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有青山点，所以D正确，故选：ACD12．若函数SKIPIF1<0在区间D上是减函数，且函数SKIPIF1<0在区间D上也是减函数，其中SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，则称函数SKIPIF1<0是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间中，是函数SKIPIF1<0的“缓减函数”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即f（x）的单调递减区间为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．由“缓减区间”的定义可得f（x）的“缓减区间”为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．故选：AD13．定义在区间SKIPIF1<0上的连续函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为区间SKIPIF1<0上的“中值点”.下列在区间SKIPIF1<0上“中值点”多于一个的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0成立，解得SKIPIF1<0，所以A符合.对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，所以B符合.对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以D符合.故选：ABD.14．对于定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，若同时满足：①SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A选项，SKIPIF1<0，满足①，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不满足②，A选项中的函数不满足条件；对于B选项，SKIPIF1<0，满足①，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足②，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足③，B选项中的函数满足条件；对于C选项，SKIPIF1<0，满足①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足②，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不满足③，C选项中的函数不满足条件；对于D选项，SKIPIF1<0，满足①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足②，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足③，D选项中的函数满足条件.故选：BD.三、填空题15．函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若对于定义域内任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立，则称SKIPIF1<0为恒均变函数．给出下列函数：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．其中为恒均变函数的序号是__________________．（写出所有满足条件的函数的序号）【解析】对于①f（x）=2x+3，满足SKIPIF1<0，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，，，故满足SKIPIF1<0，为恒均变函数；对于；③f(x)＝，，显然不满足SKIPIF1<0，故不是恒均变函数；对于④f（x）=ex，，显然不满足SKIPIF1<0，故不是恒均变函数；对于⑤f（x）=lnx，，显然不满足SKIPIF1<0，故不是恒均变函数．故应填入：①②．16．我们把形如SKIPIF1<0的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得SKIPIF1<0，两边对x求导数，得SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0，运用此方法可以求得函数SKIPIF1<0在(1,1)处的切线方程是_________.【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边对SKIPIF1<0求导，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．17．若SKIPIF1<0可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数SKIPIF1<0是区间D上的“稳定函数”．已知函数SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由“稳定函数”定义可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.18．设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的导函数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的导函数为SKIPIF1<0，若区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0．则称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为“凹函数”，已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为“凹函数”则实数m的取值范围为__________．【解析】由题可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为“凹函数”，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即m的取值范围为SKIPIF1<0.19．对于函数SKIPIF1<0可以采用下列方法求导数：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两边求导可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.根据这一方法，可得函数SKIPIF1<0的极小值为___________.【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两边求导可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0.20．设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是定义在同一区间SKIPIF1<0上的两个函数，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的零点，则称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是“关联函数”．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是“关联函数”，则实数SKIPIF1<0的取值范围是____________．【解析】令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象有两个交点，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如下图所示：由上图可知，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象有两个交点，因此，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.四、解答题21．对于函数f（x），若存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为函数f（x）的一个不动点.已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，（i）求f（x）的极值点；（ii）若存在SKIPIF1<0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：(2)若f（x）有两个相异的极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试问：是否存在a，b使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为f（x）的不动点？证明你的结论.【解析】(1)（i）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，没有极值点.当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递增；在区间SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0的极大值点为SKIPIF1<0，极小值点为SKIPIF1<0.（ii）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，又是SKIPIF1<0的不动点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有两个相异的极值点，也即SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0.依题意，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的不动点，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这与①矛盾，所以不存在符合题意的SKIPIF1<0.22．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在其定义域内是增函数，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)定义：若SKIPIF1<0在其定义域内单调递增，且SKIPIF1<0在其定义域内也单调递增，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的“协同增函数”.已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“协同增函数”，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0在其定义域内是增函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(2)由（1）可得SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0在其定义域内是增函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.23．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的“凸函数”．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的凸函数，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的凸函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有变号零点，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0；①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0无零点，不合题意；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，且在零点左右两侧SKIPIF1<0符号相反，即该零点为SKIPIF1<0的变号零点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值；综上所述：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.24．设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，我们把使SKIPIF1<0的实数x叫做函数SKIPIF1<0的好点.已知函数SKIPIF1<0，（1）若0是函数SKIPIF1<0的好点，求a；（2）若当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0无好点，求a的取值范围.【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵0是函数SKIPIF1<0的好点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，将问题转化为讨论函数SKIPIF1<0的零点问题，∵当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0不存在好点，等价于SKIPIF1<0没有零点，即SKIPIF1<0的最小值大于零，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，又当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0无零点，SKIPIF1<0无好点；a的取值范围为SKIPIF1<0.25．已知函数SKIPIF1<0.（1）求函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的下界函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的上界函数.①若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的上界函数；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的下界函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线斜率SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）①由题意得函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的上界函数；②因为函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的下界函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，从而SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.26．已知函数SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的最小值；（2）证明：对任意SKIPIF1<0恒成立；（3）对于函数SKIPIF1<0图象上的不同两点SKIPIF1<0，如果在函数SKIPIF1<0图象上存在点SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）使得点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0，则称直线SKIPIF1<0存在“伴侣切线”．特别地，当SKIPIF1<0时，又称直线SKIPIF1<0存在“中值伴侣切线”．试问：当SKIPIF1<0时，对于函数SKIPIF1<0图象上不同两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．【解析】（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,显然有SKIPIF1<0恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证．（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假设函数SKIPIF1<0存在“中值伴侣切线”.设SKIPIF1<0SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的不同两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故直线AB的斜率：SKIPIF1<0SKIPIF1<0曲线在点SKIPIF1<0处的切线斜率：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0依题意得SKIPIF1<0化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，上式化为SKIPIF1<0,由（2）知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立.所以在SKIPIF1<0内不存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立.综上所述，假设不成立.所以函数SKIPIF1<0不存在“中值伴侣切线”.27．如果SKIPIF1<0是定义在区间D上的函数，且同时满足：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0与SK