2021-2022学年北师大八年级（上）数学寒假作业（七）

2021-2022学年北师大新版八年级（上）数学寒假作业（七）

一.选择题（共7小题）

1.幻前的平方根是（）

A.±8B.8C.±2D.2

2.如果两数和的平方的结果是7+（«-1）x+25,那么“的值是（）

A.-9B.-9或11C.9或-11D.11

3.下列计算正确的是（）

A.2a+5a=10/B.（x4+2?）4-（-x）2=x2-2

C.（a+b）2—c^+b2D.（.m-ri'）（,-n-m）=〃2-

4.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,NO8c=15°,分别以A、B两点为圆心，

以大于JLAB的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E、F,直线EF与AC相交于点。，则

2

ZA的度数是（）

A.50°B.60°C.75°D.45°

5.下列语句正确的有（）个.

①“对顶角相等”的逆命题是真命题.

②“同角（或等角）的补角相等”是假命题.

③立方根等于它本身的数是非负数.

④用反证法证明：如果在△4BC中，NC=90°,那么NA、中至少有一个角不大于

45°时，应假设/A>45°,ZB>45°.

⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2c〃z和5m,则周长是9cm或\2crn.

A.4B.3C.2D.1

6.如图所示，已知N1=N2,则不一定能使△ABD丝的条件是（)

B

A.BD=CDB.NB=NCC.AB=ACD.A。平分/BAC

7.如图，长方体的高为9cm,底边是边长为6c7〃的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始,

爬向顶点8,那么它爬行的最短路程为()

A.10cmB.12cmC.15cmD.20cm

填空题(共4小题)

8.请写出一个大于1且小于2的无理数.

9.若△A8C的三边长是a、b、c,且。2+62+°2=岫+6,+4。，则这个三角形形状是三

角形.

10.已知一个直角三角形的两边长分别是。，人且a,b满足/二互+|6-4|=0.则斜边长

是.

11.如图，将长方形纸片ABCC折叠，使边QC落在对角线AC上，折痕为CE,且。点落

在对角线。'处.若AB=3,AD=4,则的长为.

12.计算或因式分解.

计算：居+际+{(-2)2-Sil

(2)计算(2/)«-3“廿)24-(-2ab)3；

(3)因式分解：3?-108盯2；

(4)因式分解:a2-h2+2h-1；

(5)先化简，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中》=我+1,y是如

的小数部分.

13.哈佛大学一项长达20年的研究表明，爱做家务的孩子跟不爱做家务的孩子相比，就业

率为15：1,收入前者比后者高20%,而且婚姻更幸福.中国教育科学研究院对全国2

万个学生家庭进行的调查也表明，孩子爱做家务的家庭比不爱做家务的家庭，孩子成绩

优秀的比例高了27倍，为调查了解某区学生做家务的情况，随机发放调查表进行调查，

要求被调查者从“A：不做家务，B：会煮饭或会做简单的菜，C：洗碗，D：保持自己的

卧室清洁，E：洗衣服”五个选项中选择最常做的一项，将所有调查结果整理后绘制成不

完整的条形统计图和扇形统计图.

请结合统计图回答下列问题：

(1)本次调查中，一共调查了名学生；A、B、C、D、E五个选项的频率之和

等于.

(2)扇形统计图中，“会煮饭或会做简单的菜”对应的扇形圆心角是度；

(3)补全频数分布直方图；

(4)若某市有小学生约24万，请你估计做家务中“洗碗”的总人数.

14.如图所示，在△ABC中，AB：BC：C4=3：4：5,且周长为36cm,点尸从点A开始

沿AB边向B点以每秒\cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度

移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

15.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及4c延长线上的一点，且BD=CE,

连接。E交BC于点M.求证：MD=ME.

16.如图①，在aABC中，AGLBC于点G,以4为直角顶点，分别以A8,4C为直角边，

向△力BC外作等腰直角△4BE和等腰直角△ACF,过点E、尸作射线G4的垂线，垂足分

别为P，Q.

(1)试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图②，若连接EF交GA的延长线于点H,由(1)中的结论你能判断EH与尸”

的大小关系吗？并说明理由：

(3)图②中AABC与AAEF的面积相等吗(不用证明)？直接写出结论.

2021-2022学年北师大新版八年级(上)数学寒假作业(七)

参考答案与试题解析

选择题(共7小题)

1.病的平方根是()

A.±8B.8C.±2D.2

【考点】立方根；平方根.

【专题】计算题；运算能力.

【分析】先根据立方根定义求出切瓦，再根据平方根定义求得答案.

【解答】解：•.•43=64,

A/64=4,

(±2)2=4,

A4的平方根是±2,

洞的平方根是±2.

故选：C.

【点评】本题考查了立方根，平方根的概念及计算，是一道基础型常考题，解题的关键

是熟练掌握立方根、平方根的定义及运算方法.

2.如果两数和的平方的结果是/+(«-1)x+25,那么。的值是()

A.-9B.-9或11C.9或-11D.11

【考点】完全平方式.

【专题】常规题型.

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出％的值.

【解答】解：二•两数和的平方的结果是/+(«-1)x+25,

.,.x2+(a-1)x+25—(x±5)2,

则a-1=±10,

解得：a=-9或11.

故选：B.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

3.下列计算正确的是()

A.2a+5a=10/B.(x4+2?)4-(-x)2=x2-2

C.(a+b)2=a2+Z>2D.(〃？-")(-〃-m')—n1-m2

【考点】整式的混合运算.

【专题】整式；运算能力.

【分析】根据A选项：2a+5a=7a；8选项：(/+2x2)4-(-x)2=?+2；C选项：Ca+b)

2=a2+2ab+b2；。选项：km-/?)(-n-m)—n2-m2；从而可以得出答案.

【解答】解：A选项：2a+54=7〃；

8选项：(X4+2?)-?(-%)2=?+2；

C选项：(a+b)2=/+2"+廿；

£)选项：(%-〃)(-n-m)—n2-m-,

故选：D.

【点评】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式混合运算的计算方法是解题的关键.

4.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,NDBC=15°,分别以A、8两点为圆心，

以大于二48的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E、F,直线E尸与AC相交于点。，则

2

ZA的度数是()

A.50°B.60°C.75°D.45°

【考点】作图一基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】作图题；推理能力.

【分析】利用基本作图得到垂直平分A8,利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB,

然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论.

【解答】解：由作法得E尸垂直平分48,

:.DA=DB,

：.ZA=ZABD,

设/A=N48O=a,

：.ZABC=a+\5°,

"：AB=AC,

；./A8C=NC=a+15°,

：/A+/A8C+/C=180°,

，a+a+15°+a+15°=180°,

Aa=50°,

AZA=50°,

故选：A.

【点评】本题考查了作图-基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.

5.下列语句正确的有（）个.

①“对顶角相等”的逆命题是真命题.

②“同角（或等角）的补角相等”是假命题.

③立方根等于它本身的数是非负数.

④用反证法证明：如果在△ABC中，ZC=90°,那么NA、NB中至少有一个角不大于

45°时，应假设NA>45°,ZB>45°.

⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5m,则周长是9cm或12c

A.4B.3C.2D.1

【考点】对顶角、邻补角；三角形三边关系；等腰三角形的性质；立方根.

【专题】反证法；推理能力.

【分析】根据逆命题的概念、命题的真假判断、立方根的概念、反证法的应用、三角形

的三边关系和等腰三角形的概念判断即可.

【解答】解：①“对顶角相等”的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，本小题

说法错误；

②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，本小题说法错误；

③立方根等于它本身的数是0和±1,本小题说法错误；

④用反证法证明：如果在△ABC中，ZC=90°,那么乙4、NB中至少有一个角不大于

45°时，应假设/A>45°,NB>45°,本小题说法正确；

⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5m,则三边长分别为2cin,5cm,5cm,

周长是12cm,本小题说法错误；

故选：D.

【点评】本题考查的是逆命题的概念、命题的真假判断、立方根的概念、反证法的应用、

三角形的三边关系和等腰三角形的概念，掌握相关的概念和性质是解题的关键.

6.如图所示，已知N1=N2,则不一定能使△ABO丝△AC£＞的条件是（）

A.BD=CDB.ZB=ZCC.AB=ACD.AC平分NBAC

【考点】全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.

【解答】解：A.BD=CD,Z1=Z2,AD=AD,符合全等三角形的判定定理SAS,能

推出ZVIB。丝△ACO,故本选项不符合题意；

B.NB=NC,Z1-Z2,AD^AD,符合全等三角形的判定定理445,能推出△A8O名

/XACD,故本选项不符合题意；

C.AB=AC,AD=AD,Z1=Z2,不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABOg

/\ACD,故本选项符合题意；

D.平分/84C,

：.ZBAD=ZCAD,

\"AD=AD,Z1=Z2,

出△ACC（ASA）,故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的

关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA,SAS,A4S,SSS,两直角三角形全等，还

有HL.

7.如图，长方体的高为9c〃?，底边是边长为的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点4开始,

爬向顶点那么它爬行的最短路程为（)

A.10cmB.\2cmC.15cmD.20cm

【考点】平面展开-最短路径问题.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识.

【分析】将立体图形展开，有两种不同的展法，连接利用勾股定理求出AB的长,

找出最短的即可.

【解答】解：如图，

（1），8=462+（6+9）2=7^1=3痛;

（2）AB=«（6+6）2+g2=15,

由于15<3&^；

则蚂蚁爬行的最短路程为15cm.

故选：C.

/6

【点评】本题主要考查了对平面展开-最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解

题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据.

二.填空题（共4小题）

8.请写出一个大于1且小于2的无理数_料_.

【考点】估算无理数的大小.

【专题】开放型；数感.

【分析】由于所求无理数大于1且小于2,则该数的平方大于1小于4,所以可选其中的

任意一个数开平方即可.

【解答】解：大于1且小于2的无理数是加，答案不唯一.

故答案为：Vs-

【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备

的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.

9.若△ABC的三边长是〃、b、c,Jia1+b1+c1=ab+bc+ac,则这个三角形形状是等边三

角形.

【考点】因式分解的应用.

【专题】配方法；符号意识.

【分析】利用完全平方公式，将等式转化为工(a-b)2+1(b-c)2+1(c-a)2=0,

222

利用偶次方的非负性即可解答.

【解答】解：a^+b~+c^—ab+bc+aci

a2+/72+c2-ab-be-ac=0,

：.l(a-b)2+l(b-c)2+l(c-a)2=0,

222

.".a-b—0,b-c—0,c-a=0,

••ci=b=c>

...△ABC是等边三角形，

故答案为：等边.

【点评】本题以三角形的形状为背景考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式将

等式转化为偶次方数的和是解题的关键.

10.已知一个直角三角形的两边长分别是〃，匕且“，〃满足互+1〃-41=0.则斜边长是

5或4.

【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.

【专题】分类讨论；实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质求出。=3,b=4,再分两种情况求解即可.

【解答】解：•.•直角三角形的两边长分别是人且“，人满足«^+。-4|=0,

...“-3=0,且6-4=0,

.•・。=3,b=4,

分两种情况：

①4为直角边长时，斜边长=丘2+42=5；

②4为斜边长时，斜边长=4；

故答案为：5或4.

【点评】本题考查了勾股定理以及绝对值和算术平方根的非负性质，熟练掌握勾股定理,

由绝对值和算术平方根的非负性质求出«和b的值是解题的关键.

11.如图，将长方形纸片48CD折叠，使边。C落在对角线4c上，折痕为CE,且。点落

在对角线。'处.若AB=3,AD=4,则的长为一

【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得丝△£>'EC,设匹

=x,则D'E=x,AD'=AC-CD'=2,AE=4-x,再根据勾股定理可得方程2?+/

=(4-x)2,再解方程即可.

【解答】解：•.工8=3,AC=4,

：.DC^3,BC=4

•*-^C=VAB2+BC2=5,

根据折叠可得：△£)£(7四△£>'EC,

：.D'C=DC=3,DE=D'E,

设E£)=x,贝I」。'E=x,AD'=AC-CD'=2,AE=4-x,

在RtZ\AED'中：(A。')2+(ED')2^AE1,

22+^=(4-x)2,

解得：尸与，

2

故答案为：3.

2

【点评】此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性

质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，

对应边和对应角相等.

三.解答题(共5小题)

12.计算或因式分解.

(I)计算：忌+际+4"2)2-(7)202、

(2)计算(2/)・(-3ab2)24-(-2ab)3；

(3)因式分解：3?-108xy2；

(4)因式分解：a2-tP-+lb-1；

(5)先化简，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=&+l,y是&

的小数部分.

【考点】整式的混合运算一化简求值；提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分

组分解法；估算无理数的大小；实数的运算.

【专题】整式；运算能力.

【分析】(1)先去掉根号，即可得出答案；

(2)先去掉括号，即可得出答案；

(3)先提取公因式3x,再利用完全平方公式，即可得出答案；

(4)利用完全平方公式，即可得出答案；

(5)先化简，再将x=&+l,y是近的小数部分，代入，即可得出答案.

【解答】解：(1)原式=、国+(-3)+2-(-1)=1-3+2+1=5；

V1644

224334433

(2)原式=(2a)•9a/?4-8«&=18a/?4-8a/?=ab；

4

(3)原式=3x(x2-36y2)=3x(x-6y)(x+6y)；

(4)原式=/-(廿-2b+l)=a2-(Z?-1)2=Ca+b-1)(a-b+\)；

(5)原式=4/+4盯+/+/-y2-57+5孙=9xy,

1,y=M-1,

原式=9(A/2-1)(&+1)=9.

【点评】本题考查的是实数的运算，整式的混合运算和因式分解，掌握各类运算的计算

方法是解题的关键.

13.哈佛大学一项长达20年的研究表明，爱做家务的孩子跟不爱做家务的孩子相比，就业

率为15：1,收入前者比后者高20%,而且婚姻更幸福.中国教育科学研究院对全国2

万个学生家庭进行的调查也表明，孩子爱做家务的家庭比不爱做家务的家庭，孩子成绩

优秀的比例高了27倍，为调查了解某区学生做家务的情况，随机发放调查表进行调查，

要求被调查者从“A：不做家务，B-.会煮饭或会做简单的菜，C：洗碗，D-.保持自己的

卧室清洁，E：洗衣服”五个选项中选择最常做的一项，将所有调查结果整理后绘制成不

完整的条形统计图和扇形统计图.

请结合统计图回答下列问题：

(1)本次调查中，一共调查了2000名学生:A、B、C、D、E五个选项的频率之和

等于1.

(2)扇形统计图中，“会煮饭或会做简单的菜”对应的扇形圆心角是54度:

(3)补全频数分布直方图；

(4)若某市有小学生约24万，请你估计做家务中“洗碗”的总人数.

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.

【专题】统计的应用；数据分析观念；推理能力.

【分析】(1)根据。的人数和所占的百分比即可求出总人数，由频率的关系得A、B、C、

D、E五个选项的频率之和等于1；

(2)用360°乘以B所占的比例即可；

(3)先求出C的人数，从而补全统计图；

(4)用某市小学生总人数乘以做家务中“洗碗”的人数所占的百分比即可.

【解答】解：(1)本次调查中，一共调查的市民数是：500・25%=2000(名)，4、B、C、

D、E五个选项的频率之和等于1,

故答案为：2000,1；

(2)扇形统计图中，“会煮饭或会做简单菜”对应的扇形圆心角是360°义空_=54°；

2000

故答案为：54；

(3)洗碗的人数有2000-100-300-500-300=800(人)，补全频数分布直方图如下:

即估计做家务中“洗碗”的总人数约有9.6万人.

【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用；读懂统计图，从统计图中得到必要的信

息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

14.如图所示，在△ABC中，AB：BC：。=3：4：5,且周长为3651,点尸从点A开始

沿AB边向B点以每秒\cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度

移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】动点型；整体思想.

【分析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直

角三角形.再求出3秒后的8P,8Q的长，利用三角形的面积公式计算求解.

【解答】解：设A3为BC为4xc/n,AC为5xc〃?，

周长为36cm,

AB+BC+AC=36cm,

.♦.3x+4x+5x=36,

得x=3,

.,.AB=9cm,BC—12cm,AC=\5cm,

'：AB2+BC2=AC2,

.二△ABC是直角三角形，

过3秒时，8尸=9-3X1=6(cm),8Q=2X3=6(cm),

，SAPBQ=」BP・8Q=2X6X6=18(cm2).

22

故过3秒时，△BPQ的面积为18a"2.

【点评】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式

结合求解.由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键.隐含了整体

的数学思想和正确运算的能力.

15.如图所示：ZVIBC是等边三角形，力、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BO=CE,

连接£>E交BC于点M.求证：MD=ME.

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】如图，过点E作EN〃AB,并交BC的延长线于M由4ABC是等边三角形，得

ZB=ZACB=60°.由AB〃NE,得NB=NN=60°,进而推断出NNCE=NN=60°,

那么CE=NE.由B£)=CE,得BD=NE.欲证。M=EM,即证四△代£；”.

【解答】解：如图，过点E作EN//AB,并交8c的延长线于N.

VAABC是等边三角形,

：.ZB=ZACB=60°.

又VZACB与NNCE是对顶角，

：./ACB=/NCE=60°.

'JAB//NE,

，NB=NN=60°.

:.NNCE=NN=60°.

:.CE=NE.

又*：BD=CE,

：.BD=NE.

在△BDW和△NEAf中，

'/BMD=ZNME,

<ZB=ZN,

BD=NE,

:.ABDMmANEM(A4S).

：.DM=EM.

【点评】本题主要考查等边三角形的性质、平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，

熟练掌握运用证明三角形全等从而证明线段相等是解决本题的关键.

16.如图①，在AABC中，AGL2C于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边，

向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△AC凡过点E、尸作射线GA的垂线，垂足分

别为P,Q.

(1)试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图②，若连接EF交GA的延长线于点”，由(1)中的结论你能判断EH与尸H

的大小关系吗？并说明理由；

(3)图②中△ABC与尸的面积相等吗(不用证明)？直接写出结论.

【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；几何直观；推理能力.

【分析】(1)易证aAEP也△BAG,△AFQ丝△C4G,即可求得EP=AG,FQ=AG,即

可解题；

(2)过点E作EPLHG于P,过点尸作FQ1HG于。，在(1)的结论基础上证明

^/\FHQ,利用全等三角形性质即可证明结论；

(3)根据全等三角形面积相等这一性质即可得出结论.

【解答】解：(1)PE=FQ.

如图①，'：AG±BC,EPLGA,FQ±GA,

：.ZAPE=ZAQF=ZAGB=ZAGC=90°,

,/XABE和△ACF均为等腰直角三角形，

.../a4E=/C4尸=90°,AB=AE,AC=AF,

：.ZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,

：.ZPEA=ZGAB,

：./\PEA^AGAB(AAS),

：.PE=AG,

同理，^QFA^/XGAC(44S),

：.FQ=AG,

：.PE=FQ；

(2)EH=FH.理由如下：

过点E作EP±HG于P,过点F作FQ1HG于Q,

由(1)知I：PE=FQ,

■:/EPH=NFQH=90°,ZEHP^ZFHQ,

：.^XEHP^/XFHQ(A4S),

:.EH=FH；

(3)SAABC=S^AEF-

由(1)(2)知△2口也△GAB,△。41丝△GAC,丛EHP迫/XFHQ,

，SAEA=SAGAB，S^QFA—S^GAC>S&EHP=S&FHQ，

S&AEF-S&AEH+S&AFH

=(SAPEA-S1EHP)+(S△。以+Sz\F〃Q)

=S"EA+S&QFA

=SAGAB+SAGAC

•*•SAABC=SAAEF.

图①

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形

的性质，根据条件判定三角形全等和添加辅助线构造全等三角形是解本题的关键.

考点卡片

1.非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝时值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则

其中的每一项都必须等于0.

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.

2.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“-

正数a的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作4.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

3.非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也

是非负数列出不等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值

问题.

4.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果丁=小那么x叫做“的立方根.记作：起.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号”3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

5.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

6.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

7.完全平方式

完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A,如果存在另一个实系数整式8,

使4=82,则称4是完全平方式.

c^±2ab+b1=（a±b）2

完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完

全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方，首末

项乘积的2倍中间放，符号随中央.（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，

再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的

符号，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用后边的符号都用+）”

8.整式的混合运算

(1)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数

的混合运算顺序相似.

(2)“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地

解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

9.整式的混合运算一化简求值

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合

运算顺序相似.

10.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

11.因式分解-分组分解法

1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组

后能出现公因式，二是分组后能应用公式.

2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①ov+ay+bx+by

=xCa+b)+y(.a+b)

=(a+b)(x+y)

®2xy-7+1-y2

=-(x2-2xy+y1')+1

=1-(x-y)2

=(1+x-y)(1-x+y)

12.因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题.

2、利用因式分解解决证明问题.

3、利用因式分解简化计算问题.

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用

解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代

入.

2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是

其中的一部分.

13.对顶角、邻补角

（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，

具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，

互为邻补角.

（3）对顶角的性质：对顶角相等.

（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.

（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角

都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形

成的.

14.三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形.

（3）三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏

的定时炸弹，容易忽略.

15.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

（2）判定定理2：S4S--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若

已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边

对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应

邻边.

16.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

17.线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”.

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到

线段两端点的距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，

并且这一点到三个顶点的距离相等.

18.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中

任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

19.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况