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文档简介

一阶微分方程节

一、可分离变量方程二、齐次型微分方程三、可化为齐次型的微分方程四、一阶线性微分方程五、全微分方程2021/5/91判别:P,Q

在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数

u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.五、全微分方程则称为全微分方程

(又叫做恰当方程

).①2021/5/92例1.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为2021/5/93例2.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或2021/5/94积分因子法思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例2的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.2021/5/95常用微分倒推公式:积分因子不一定唯一

.例如,对可取2021/5/96例3.

求解解:分项组合得即选择积分因子同乘方程两边,得即因此通解为即因x=0也是方程的解,故C

为任意常数.2021/5/97练习题解方程解法1

积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外,y=0也是方程的解.2021/5/98解法2

化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解此外,y=0也是方程的解.2021/5/99解法3

化为线性方程.原方程

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