2022年中考数学总复习考点知识梳理4.4相似三角形

4.4相似三角形◎了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.◎通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.◎掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.◎探索并了解相似三角形的判定定理;了解相似三角形判定定理的证明(选学).◎了解相似三角形的性质定理.◎会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.相似三角形的判定和性质经常是一年多考,安徽有关相似的考题有入手难、综合性强、方法多样等特点,预计2022年还会延续这种特点.考生在解决相似问题时,熟练地掌握基础知识,积累解题经验很重要,特别是要掌握相似问题的一些常见模型.命题点与相似三角形有关的证明与计算[必考]1.(2020·安徽第8题)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cosA=45,则BD的长度为(CA.94 B.C.154 D.【解析】在Rt△ABC中,AC=4,cosA=452.[一题多解](2021·安徽第23题)如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE于点F,连接BF.(1)求证:△ABF≌△EAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求BEEC的值解:(1)因为AE∥CD,AD∥CF,所以四边形AFCD是平行四边形,从而AF=CD,因为AE∥CD,DE∥AB,∠ABC=∠BCD,所以∠ABC=∠DEC=∠AEB=∠BCD,所以AB=AE,DE=AF,∠BAF=∠AED,所以△ABF≌△EAD(SAS).(2)由(1)知BF=AD,FC=AD,所以FC=FB,所以∠FBE=∠ECF=∠AED=∠BAE,又∠AEB=∠BEF,所以△ABE∽△BFE,所以BE2=AE·EF,因为AE=AB=9,EF=AE－AF=AE－CD=4,所以BE=6.(3)易证△ABE∽△DEC,所以BEEC解法1:如图1,作MN∥DE,交AE于点N,则AN=12AE,MN=1∴AFFN=AB设AF=a,EF=b,则AE=AB=a+b,AN=12①式可化为aa+于是BEEC=解法2:如图2,延长BM,交ED的延长线于点N.∵M是AD的中点,AB∥ED,∴易得AB=DN,且ABNE即ABAB+CD设AB=a,CD=1,②式可化为aa+1=1a-1,整理得a解得a=2+1(负值舍去3.[一题多解](2019·安徽第23题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h解:(1)在△ABP中,∠APB=135°,∴∠ABP+∠BAP=45°.又∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,即∠ABP+∠CBP=45°,∴∠BAP=∠CBP.又∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC.(2)解法1:由(1)知△PAB∽△PBC,∴PAPB∴PAPC=PAPB·PB解法2:∵∠APB=∠BPC=135°,∴∠APC=90°.∵∠CAP<45°,∴∠ACP>45°,故AP>CP.如图1,在线段AP上取点D,使AD=PC.又∵∠CAD+∠PAB=45°,且∠PBA+∠PAB=45°,∴∠CAD=∠PBA.又∵∠PBA=∠BCP,∴∠CAD=∠BCP.∵AC=CB,∴△ADC≌△CPB(SAS),∴∠ADC=∠CPB=135°,∴∠CDP=45°,∴△PDC为等腰直角三角形,∴PC=PD.又∵AD=PC,∴PA=2PC.(3)如图2,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3.在Rt△CPR中,PRCR∴h2h3=12,即又∵△PAB∽△PBC,且ABBC即h1=2h2.于是h12=h2·h考点1比例性质及平行线分线段成比例典例1如图,在△ABC中,EF∥BC,EG∥AB,AFFD=32.若G是DC的中点,求【答案】∵EF∥BC,∴AEEC∵EG∥AB,∴BGGC∵DG=GC,∴BGDG∴BDDC利用平行线找比例式,“对应线段”要正确.在求线段比的问题中,设“k”法很重要,也很实用,如本题在得到BGGC=32时,可设BG=3k,DG=GC=2k,易得BD=k,BC=5k提分1如图,AB∥CD,AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,则下列结论不一定成立的是(B)A.OAOC=ABC.CDDF=AB【解析】∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,△AOE∽△COF,△BOE∽△DOF,∴OAOC=AB考点2相似三角形的判定和性质典例2(2021·湖南益阳改编)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC=32,将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB'C',连接BB',CC',(1)求证:△ACC'∽△ABB';(2)求△ACC'与△ABB'的面积之比.【答案】(1)由旋转的性质可知∠BAB'=∠CAC'.∵AB=AB',AC=AC',∴ABAC∴△ACC'∽△ABB'.(2)由(1)知△ACC'∽△ABB',∴S△∵tan∠ABC=ACAB∴S△【思维教练】(1)(2)利用条件证明三角形相似时,先把已知相等的角、成比例的线段化归到两个三角形中,再找出这两个三角形相似的其他条件.提分2(2020·山东潍坊)如图,E是▱ABCD的边AD上的一点,且DEAE=12,连接BE并延长交CD的延长线于点F.若DE=3,DF=4,则▱ABCDA.21 B.28 C.34 D.42【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CF,∴△ABE∽△DFE,∴DEAE=DFAB=12.∵DE=3,DF=4,∴AE=6,AB=8,∴AD=AE+DE=6+3=9,∴提分3如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为(B)A.15 B.20C.25 D.30【解析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x.∵四边形EFGH是正方形,∴∠HEF=∠EHG=90°,EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴ANAD=EFBC,∴60-x60=x考点3全等三角形和相似三角形的综合应用典例3(2021·四川凉山州改编)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,过点D作DE⊥AB于点E,DE=BE.(1)求证:DA=DC;(2)连接AC交DE于点F,若AE=6,AD=10,求DF的长.【答案】(1)过点D作DG⊥BC,交BC的延长线于点G.∵DE⊥AB,∠B=90°,DG⊥BC,∴∠DEB=∠B=∠BGD=90°,∴四边形DEBG是矩形,∴∠EDC+∠CDG=90°,DG=BE=DE.∵∠ADC=90°,即∠EDC+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠CDG.在△ADE和△CDG中,∠∴△ADE≌△CDG(ASA),∴DA