套卷山西省忻州市第一2015届高三1月月考数学（文）试题

班级姓名准考证号山西省忻州市第一2015届高三1月月考数学（文）试题注意事项1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上；2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效；3．满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集＜，集合，则等于A. B. C. D.2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为A． B. C.1 D.3．阅读程序框图，若输入，则输出分别是A．B．C．D．4．已知向量，，则与夹角的余弦值为A.B.C.D.5．下列说法正确的是A．要得到函数的图象，只要将的图象向左平移单位B．“”是“函数在区间上为增函数”的必要不充分条件C．若定义在上的函数满足，则是周期函数D．命题“”是真命题6．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A．①④③② B．①④②③ C．④①②③D．③④②①7．若，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率等于A．B．C．D．8.已知数列中满足，，则的最小值为A.7B.C.9D.9．某三棱锥的三视图如图，则该几何体的表面积是A． B．C． D．10.存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是A．B．C．D．11．以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为A． B．C． D．212．定义在R上的奇函数，当≥0时，则关于的函数（0＜＜1）的所有零点之和为二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的应位置上)13．抛物线的准线方程是，则实数的值为▲.14．若，，则=▲.15．已知三棱柱的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,,，则球的体积为▲.16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,24)＝▲.三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．（本题满分12分）且满足（Ⅰ）求角的大小；A（Ⅱ）若的面积试判断△的形状，并说明理由.A18.（本题满分12分）如图，在四棱锥中中，底面为菱形，，，点在线段上，且,为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求三棱锥的体积.19.（本题满分12分）某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测20人,得如下数据序号12345678910身高(厘米)192164172177176159171166182166脚长(码)48384043443740394639序号11121314151617181920身高(厘米)169178167174168179165170162170脚长(码)43414043404438423941(Ⅰ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成下面的联列表高个非高个合计大脚非大脚12合计20(Ⅱ)根据题(1)中表格数据,若按99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系?(Ⅲ)若按下面的方法从这20人中抽取1人核查测量数据的误差将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求抽到12号的概率.0.0500.0100.0013.8416.63510.828附20.（本题满分12分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.（Ⅰ）求椭圆C的离心率和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线的方程.21．(本题满分12分)已知函数(,为自然对数的底数).(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(Ⅱ)当的值时，若直线与曲线没有公共点,求的取值范围.请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.ACFEDB22图22ACFEDB22图如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=QUOTE3eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径.23.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求弦长.24.(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）解不等式.

班级姓名准考证号注意事项1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。3．满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集＜，集合，则等于（D）A. B. C. D.2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为（B）A． B. C.1 D.3．阅读程序框图，若输入，则输出分别是（D）A．B．C．D．4．已知向量，，则与夹角的余弦值为（B）A.B.C.D.5．下列说法正确的是（C）A．要得到函数的图象，只要将的图象向左平移单位B．“”是“函数在区间上为增函数”的必要不充分条件C．若定义在上的函数满足，则是周期函数D．命题“”是真命题6．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（B） A．①④③② B．①④②③ C．④①②③D．③④②①7．若，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率等于（C）A．B．C．D．8.已知数列中满足，，则的最小值为（D）A.7B.C.9D.【命题意图】考查数列求通项的方法，函数求最值的方法【试题解析】答案D，叠加得，.【讲评价值】求数列通项的方法是数列的重点知识，本题考查叠加法求通项，同时还用到了重要的函数求最值的方法。【同类变式】已知数列中满足，，则9．某三棱锥的三视图如图，则该几何体的表面积是（B）A． B．C． D．10.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【命题意图】导数的几何意义，方程的根．【试题解析】在上有解，而，即在上有解，，因为x＞0，所以，所以a的取值范围是，故选B．【讲评价值】导数的几何意义是切线的斜率，本题可以转化为导数为2有解问题，考查学生的转化能力，同时方程的根用数形结合处理也是学生应该具备的基本能力。【同类变式】11．以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（C）A． B．C． D．2【命题意图】考查学生的计算能力考查双曲线的简单性质．【试题解析】由图可得：易得为等边三角形，由双曲线定义得：，所以得离心率为【讲评价值】圆锥曲线中的离心率问题解决化为a,c的关系式，可以从题中几何关系挖掘出此关系式，进而求解，同时还会用到双曲线的定义。【同类变式】12．定义在R上的奇函数，当≥0时，则关于的函数（0＜＜1）的所有零点之和为（A）【命题意图】考查函数性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图像、分段函数，绝对值函数零点求法【试题解析】答案：A画出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的图象，

共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，则而⇒log2（1-x3）=a⇒x3=1-2a，可得．【讲评价值】求函数零点的基本方法是①用定义求方程的解；②转化函数图像交点的横坐标；③上述两种方法综合应用首先由函数性质作出简图，找到对称中心，对称轴，再求函数零点的和。【同类变式】第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13．抛物线的准线方程是，则实数的值为▲【命题意图】考查抛物线的标准方程与简单几何性质【试题解析】答案：准线方程是，，14．若，，则=▲【命题意图】考查三角恒等变换的方法，考查同角公式，二倍角公式的灵活应用.【试题解析】答案：15．已知三棱柱的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,,,则球的体积为▲【命题意图】考查的空间想象能力，考查对几何体的外接球体模型的分析和球体的表面积公式【试题解析】答案：由余弦定理可得：是直角三角形则球心在正方形的中心位置，正方形的对角线易得，所以球体半径是，体积为16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,24)＝▲【命题意图】考查学生转化能力，化为数列问题求解【试题解析】答案：4200N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列；数列{bk}是以eq\f(1,2)为首项，－eq\f(1,2)为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝20时，N(20,24)＝11×202－10×20＝4200.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．（本小题满分12分）且满足（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积试判断△的形状，并说明理由.【命题意图】本题考查①解答三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式②三角恒等变换公式【讲评价值】1.能运用上述公式进行简单的恒等变换;2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【解题思路】利用正弦定理、余弦定理进行边角关系的转化进而求解【试题解析】17.解：（Ⅰ）(方法一)∵∴∴，(4分)∴∴∴.………………(6分)(方法二)∵∴，………………(2分)∴，即.………………(4分)∴.又,∴.………………(6分)（Ⅱ）∵，∴，∴.………………(8分)∵，∴.∴.………………(10分)A又，∴△是等边三角.………………(12分)A18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中中，底面为菱形，，，点在线段上，且,为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求三棱锥的体积；【命题意图】本题考查①利用所学定理、性质证明空间中的线面垂直关系②三求简单几何体的体积.【讲评价值】1.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题;2.会求球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【解题思路】证明线面垂直，在已知条件中找线线垂直，进而证明；球体积关键是确定底面积与高。【试题解析】证明：（=1\*ROMANI），为的中点，，又底面为菱形，，,平面，且,平面．………………（6分）（=2\*ROMANII）∵平面平面,平面平面,平面，,∵,又平面,，．………………(12分)19.（本题满分12分）某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测了20人,得到如下数据序号12345678910身高(厘米)192164172177176159171166182166脚长(码)48384043443740394639序号11121314151617181920身高(厘米)169178167174168179165170162170脚长(码)43414043404438423941(Ⅰ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成下面的联列表高个非高个合计大脚非大脚12合计20(Ⅱ)根据题(1)中表格数据,若按99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系?(Ⅲ)若按下面的方法从这20人中抽取1人核查测量数据的误差将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求抽到12号的概率.附0.0500.0100.0013.8416.63510.828【试题解析】(Ⅰ)表格为高个非高个合计大脚527非大脚113合计614(Ⅱ)根据上述列联表可以求得.8.802>6.635,所以我们有99%的把握认为人的脚的大小与身高之间有关系.(Ⅲ)抽到12号的概率为. 20.（本题满分12分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（Ⅰ）求椭圆C的离心率和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线的方程.【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，直线与圆锥曲线位置关系。【讲评价值】1.掌握圆锥曲线的标准方程与简单几何性质2.会用解析法分析直线与圆锥曲线的位置关系，会解决一些简单的直线与圆锥曲线相关问题.【试题解析】（Ⅰ）椭圆C中，，离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(eq\r(6),3)………………3分=2准圆方程为.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆方程C的方程为，因为准圆与轴正半轴的交点为，………………6分设过点且与椭圆有一个公共点的直线存在斜率设为，………7分所以由消去，.………………8分因为椭圆与只有一个公共点，所以，解得.………………10分所以方程为.………………12分21.(本小题满分14分)已知函数(,为自然对数的底数).(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(Ⅱ)求函数的极值;(Ⅲ)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的取值范围.(Ⅰ)由,得.得,即,解得.(Ⅱ),已知无公共点等价关于x的方程无实数根，即在上无实数根.当时,方程可化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表-0减增当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程无实数解,解得的取值范围是.12分选考题（本大题10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）ACFEACFEDB22图如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=QUOTE错误！未找到引用。，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。【试题解析】(Ⅰ)证明：连结DE,交BC与点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC.……5分ACFEDA