无锡市太湖格致中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）

第33页/共33页太湖格致中学2021-2022学年九年级12月月考初三数学2021.12一．选择题1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；D、y=x2+中不是整式，故y=x2+不是二次函数，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．2.已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（）A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.与⊙O的位置关系无法确定【答案】A【解析】【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，4＜5，∴点A在⊙O内，故选A．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟知：一点到圆心的距离如果等于半径，则这点在圆上；如果一点到圆心的距离小于半径，则这点在圆内；如果一点到圆心的距离大于半径，则这点在圆外．3.如图，正五边形内接于，则的度数是（）A.36° B.26° C.30° D.45°【答案】A【解析】【分析】连接OD，OE，求出∠DOE=72°，再根据圆周角定理即可求出的值.【详解】解：如图所示，连接OD，OE，∵ABCDE是正五边形，∴∠DOE==72°，∴=∠DOE=36°，故选：A．【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.4.二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的解是（）x﹣3﹣2﹣1012y﹣12﹣50343A.x1＝x2＝﹣1 B.x1＝﹣1，x2＝0 C.x1＝﹣1，x2＝2 D.x1＝﹣1，x2＝3【答案】D【解析】【分析】先由对称性判断出对称轴是x=1，再根据对称性和一根是x=－1，判断出另一根是x=3，从而得解．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（－1,0），对称轴是：直线x=1，∴抛物线与x轴的另一交点是（3,0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3．故选D．【点睛】本题考查二次函数图像性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图像性质及与一元二次方程的关系是解决本题的关键．5.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】观察两图象，分别确定的取值范围，即可求解．【详解】解：A、抛物线图象，开口向下，即，而一次函数图象自左向右呈上升趋势，则，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B、抛物线图象与轴交于负半轴，即，而一次函数图象与轴交于正半轴，，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C、抛物线图象，开口向上，即，而一次函数图象自左向右呈下降趋势，即，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D、抛物线图象，开口向下，即，一次函数图象自左向右呈下降趋势，即，两图象与轴交于同一点，即相同，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数决定抛物线的开口方向，决定抛物线与轴的交点位置是解题的关键．6.如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2 B.48πcm2 C.60πcm2 D.80πcm2【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l＝＝10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．7.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接，过点作，此时点坐标可表示为，∴，，在中，，又∵半径为5，∴，∵，∴，则，∴，∴，∵左右两侧都有相切的可能，∴A点坐标为，故选：D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．8.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A. B.4 C.﹣ D.﹣【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9.如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】连接AD，令y＝0，则，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，即可求解．【详解】解：连接AD，如图，令y＝0，则，解得，则A（−4，0），B（4，0），∴O是线段AB的中点，∵E是线段BD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴，设圆的半径为r，则r＝2，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，，∴线段OE的最大值是．故选：B．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定AD的最大值．10.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为，P(m，n)为⊙O上一点，过点A(﹣6，5)，B(0，5)的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）同时也过点P，当代数式||取得最大值时，抛物线的二次项系数a的值为（）A. B. C.或 D.2【答案】C【解析】【分析】过点作轴于点，则，，当代数式||取得最大值时，则取得最大值此时，与相切，切点为,连接,根据题意，求得，即可求得点的坐标，进而根据不共线三点求抛物线解析式即可求得的值【详解】解：如图，过点作轴于点，则，在中，当代数式||取得最大值时，则取得最大值此时，与相切，切点为,连接,在中，中,过点A(﹣6，5)，B(0，5)的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）同时也过点P，则解得同理可得过点A(﹣6，5)，B(0，5)的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）同时也过点P，则解得综上所述或故选C【点睛】本题考查了切线性质，求抛物线解析式，解直角三角形，根据代数式求得最大值时找到点的坐标是解题的关键，注意过圆外一点可作2条圆的切线．二．填空题11.二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是________．【答案】(0，-3)【解析】【分析】根据二次函数解析式已经是顶点式直接解答即可．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数的顶点坐标为（0，-3），故答案为：（0，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为（0，k）．12.如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是____度．【答案】50【解析】【分析】连接AD，由AB为直径可得出AD⊥BC，由AB＝AC利用等腰三角形的三线合一即可得出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°，再根据圆周角定理即可得出弧DE的度数．【详解】连接AD，如图所示．∵AB为直径，∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．∴弧DE的度数＝2∠EAD＝50°．故答案为50．【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13.已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，则点B的坐标为_____．【答案】（5，0）【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，然后再根据抛物线的对称性得出点B的坐标【详解】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+c的对称轴为：，又∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，∴点B的坐标为（5，0）．故答案为：（5，0）．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．【答案】【解析】【分析】根据二次函数与一次函数的图象的交点，利用图象解题即可【详解】抛物线与直线交于，两点，当时，抛物线在直线的下方，即的解集为故答案为：【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），二次函数与一次函数的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15.如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝________．【答案】【解析】【分析】连接OD、OE、OF，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出OD，根据切线长定理求出AD，根据勾股定理计算即可．【详解】解：设⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF，由勾股定理得，，∴×AC×BC=×AC×OD+×BC×OE+×AB×OF，即×6×8=×（6+8+10）×OD，解得，OD=2，设AD=x，则CD=6-x，根据切线长定理得，AF=AD=x，CE=6-x，则BE=8-（6-x）=2+x，∴BF=BE=2+x，则x+2+x=10，解得，x=4，在Rt△AOD中，，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理、勾股定理是解题的关键．16.如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为________．【答案】##【解析】【分析】如图，取AD的中点O，连接OP、OC，然后求出OP、OC的长，最后根据三角形的三边关系即可解答．【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OP、OC∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠PAD+∠ADP=90°，即∠APD=90°，∵AO=OD，∴PO=OA=AD，∴∴OP=，∵BD=CD=4，OD=，∴∵PC≤OP+OC，∴PC≤，∴PC的最大值为．故填：．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键在于正确添加常用辅助线，进而求得OP、OC的长．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰△ABO的顶点A在y轴上，AB＝OB，tan∠AOB＝2，抛物线y＝﹣x2+bx+2过点A．（1）若点O关于AB中点的中心对称点也恰好在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，则b＝________；（2）若将△ABO绕点A按逆时针方向旋转45°，得到，点在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，则b＝________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于C，根据x=0可求得点A的坐标，根据三角函数的定义可得BC=2，即点B的坐标（2，1），然后将点B的坐标代入抛物线的解析式求出b的值即可；（2）如图2，过点B'作B'H⊥AB于H，过H作GM⊥y轴于G，过点B'作B'M⊥GM于M，可证△AHB'是等腰直角三角形，得AH=B'H=，再证△AGH≌△HMB'{AAS），根据三角函数可得AG=HM=，GH=B'M=，确定点B'的坐标，最后代入抛物线的解析式求出b的值即可．【详解】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于C，当x=0时，y=2，∴A（0，2）∵AB=0B，∴∵∴BC=2∴B（2，1）∵AB的中点坐标为（1，），∴点O关于AB中点的中心对称点的坐标为（2，3），∵该点也恰好在抛物线y=-x2+bx+2上，∴-4+2b+2=3，解得b=；故答填；（2）如图2，过点B'作B'H⊥AB于H，过H作GM⊥y轴于G，过点B'作B'M⊥GM于M，由（1）得：AB=，由旋转的性质可得：AB'=AB=，∠BAB'=45°，∵∠AHB'=90°，∴△AHB'是等腰直角三角形，∴∵∠AGH=∠GAH+∠AHG=∠AHG+∠MHB'=90°，∴∠GAH=∠MHB'，∵∠AGH=∠M=90°，AH=B'H，∴△AGH≌△HMB'{AAS），∴GH=B'M，HM=AG，∵，∴AG=HM=，GH=B'M=，∴∴∵该点也恰好在抛物线y=-x2+bx+2上，∴，解得b=．故答填．【点睛】本题属于二次函数的综合运用，主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数的定义、三角形全等的性质和判定等知识点，确定点B和B'的坐标是解答本题的关键．18.如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱BC＝6cm，灯臂AC绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，AD（EF）总是与桌面BH平行．当AC⊥BH时，AB＝46cm，DM⊥MH，测得DM＝37.5cm（点M在墙壁M上，且MH⊥BH）；当灯臂AC转到CE位置时，FN⊥MH测得FN＝13.5cm，则点E到桌面BH的距离为_____cm．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面BH的距离为35cm，则EF所在圆的半径为_____cm．【答案】①38；②.．【解析】【分析】（1）过点E作EP⊥BH，垂足为H，延长FE交AB于点G，根据GE+FN=DM，AC=CE=AB-BC，在直角三角形EGC中，求得CG，证明四边形EGBP是矩形，可得EP=CG+BC；（2）可证四边形AMNG是矩形，得MN=AG，证明△GFC∽△NFM，求得EF的长，作EF的垂直平分线OR，交BH于R，交于点Q，交EF于点K，利用垂径定理，勾股定理解答即可．【详解】（1）过点E作EP⊥BH，垂足为H，延长FE交AB于点G，∵AC⊥BH，MH⊥BH，∴AG∥MN，∵DM⊥MH，FN⊥MH，∴AM∥GN，∴四边形AGNM是平行四边形，∴四边形AGNM是矩形，∴AM=GN，∴AD+DM=GE+EF+FN，∵AD=EF，DM=37.5，FN=13.5∴GE=DM-FN=24，∵AC⊥BH，AB＝46，BC=6，∴AC=CE=40，在直角三角形EGC中，CG=32，∵BG⊥EG，GB⊥BP，EP⊥BH，∴四边形EGBP是矩形，∴EP=BG=CG+BC=32+6=38；故答案为：38．（2）由（1）知，四边形AMNG是矩形，∴MN=AG=AB-BG=46-38=8，∵MN∥GC，∴△GFC∽△NFM，∴，∴FG=4FN=4×13.5=54，∴EF=FG-EG=54-24=30，作EF的垂直平分线OR，交BH于R，交于点Q，交EF于点K，设点O为圆心，根据题意，得EK=15，∵EP⊥PR，KR⊥PR，EK⊥KR，∴四边形EPRK是矩形，∴EP=KR=38，∵QR=35，∴KQ=3，设OE=OQ=x，则OK=x-3，在直角三角形OEK中，，∴，解得x=．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的相似，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，构造辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键．三．解答题19.如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；（2）若∠A＝40°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含50°角的直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接OD并延长与圆O交于点E，连接BE即为所求；（2）连接BO并延长交圆O于N，延长AD交圆O于M，连接NM，BM，则△BMN即为所求；【详解】解：如图所示，连接OD并延长与圆O交于点E，连接BE即为所求；∵D是AC的中点，∴，∴∠ABE=∠CBE，即BE平分∠ABC；（2）如图所示，连接BO并延长交圆O于N，延长AD交圆O于M，连接NM，BM，则△BMN即为所求；∵∠A=40°，∴∠BNM=∠A=40°，∵BN是圆的直径，∴∠BMN=90°，∴∠NBM=90-∠BNM=50°，∴△BMN是含50°的直角三角形．【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理等等；解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．20.已知二次函数．（1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标．【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）【解析】【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果．【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点，∴△=，∴m＞﹣1；故答案为：m＞﹣1；（2）∵二次函数的图像过点A（3，0），∴，∴m=3，∴二次函数的解析式为：，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：，∵抛物线的对称轴为：x=1，∴，解得：，∴P（1，2）．21.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【详解】分析:（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．详解:（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，∵=，∴∠BAD=∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠ADC，∵∠DCE=∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=3．点睛:本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【答案】（1）y＝x2﹣2x，顶点C的坐标是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【详解】（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，三角函数的定义等，正确求得平移后的解析式是解题的关键．23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）【答案】（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）①⊙O的半径为2．②S阴影=．【解析】【分析】（1）根据题意得：连接OD，先根据角平分线的性质，求得∠BAD＝∠CAD，进而证得OD∥AC，然后证明OD⊥BC即可；（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．【详解】解（1）相切．理由如下：如图，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC．又∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，OB＝2OD．又OA＝OD＝r，∴OB＝2r，∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半径是2；②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝2，S阴影＝S△BDO－S扇形ODE＝×2×2－＝2－π．【点睛】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，解题的关键是掌握一定的推理能力．24.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．（1）求证：点D为中点；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．【答案】（1）见解析；（2）DF=2；（3）5【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值为5．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，以及最短路径的解法是解题的关键．25.“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产个口罩．设增加条生产线后，每条生产线每天可生产口罩个．直接写出与之间的函数关系式；若每天共生产口罩个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线?设该厂每天可以生产的口罩个，请求出与的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个?【答案】（1）；（2）应该增加5条生产线．（3）当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．【解析】【分析】（1）根据“每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产个口罩”即可求出y与x的函数关系式；（2）根据题意，列出一元二次方程即可求出结论；（3）根据题意，即可求出与的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：；（2）由题意可得：解得：∵尽可能投入少，∴舍去答：应该增加5条生产线．（3）=∴∵＜0，开口向下，∴当x=时，w最大，又∵x为整数，所以当x=7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．【点睛】此题考查的是一次函数、一元二次方程和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．26.如图，在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上两点，它们的横坐标分别为其中，过点分别作轴的平行线，交抛物线于点，（1）若求的值；（2）点是抛物线上的一点，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）的最小值为【解析】【分析】（1）利用函数图象上点的坐标特征用a表示点A、B的坐标以及点C、D的坐标，再用a表示AD、CB的长，根据AD=BC，列方程即可求解；（2）作出如图的辅助线，设点E（，），求得点M的坐标为（，），再求得EM，根据得到二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）∵点A、B是一次函数图象上两点，它们的横坐标分别为，，∴点A的坐标为（a，a），点B的坐标为（a+3，a+3），将x=a，代入得：，将x=a+3，代入得：，∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（，），∴AD=，CB=()，∵AD=BC，∴，解得：；（2）设点E（，），过E作EM垂直于轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，如图：∵点M在直线上，∴点M的坐标为（，），∴EM，∴，∵，∴当时，的最小值为．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想以及数形结合思想等知识．27.已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）；（2）10.2米；（3）【解析】【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式是：，把代入得，解得，则抛物线是；（2）球门高为2