学科思想专题等效思想讲义

等效思想编审教师：高级教师白英彬本专题主要讲述等效法在物理学中的应用。等效法亦称“等效替代法”，是科学研究中常用的思维方法之一，也是一种分析物理问题和解决物理问题的有效途径，在物理教学和科学研究中都有着广泛的应用。等效方法是在保证某种效果（特性和关系）相同的前提下，将实际的、陌生的、复杂的物理问题和物理过程转化为等效的、简单的、理想的、易于研究的物理问题和物理过程来研究，从而认识研究对象本质和规律的一种思想方法。掌握等效方法及其应用，体会物理等效思想的内涵是至关重要的。高考命题更加明显地渗透着物理思想、物理方法的考查，等效思想作为一种迅速解决物理问题的有效手段，经常体现于高考命题中。“等效思想”在力学、电磁学中的应用（智学精选）如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是（）A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＜T3＜T4C．T1＜T2＝T3＜T4 D．T1＞T2＝T3＞T4关键信息：摆长相同的单摆、不同条件下比较周期→单摆的周期公式T＝图1－图4→类单摆问题→根据T＝判断（g′为等效重力加速度）解题思路：根据图中单摆所处的不同环境，结合公式T＝进行判断，公式中的g′为等效重力加速度。根据周期公式T＝可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度（或者等效重力加速度）有关。题图1中单摆的等效重力加速度为重力加速度沿斜面方向的分量，即a1＝gsinθ，所以周期T1＝；题图2中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为a2＝g，所以周期T2＝；题图3中的周期T3＝；题图4中的等效重力加速度为a3＝g＋a，所以周期T4＝；故T1＞T2＝T3＞T4，故ABC错误，D正确。故选D。（智学精选）如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为＋q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的电场强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法错误的是（）A．粒子偏离入射方向的最大距离为B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为C．粒子从抛出到最低点的过程中电势能的变化量为－4mv2D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的A．根据题意E＝Bv得Eq＝Bqv将粒子以速度v水平向左抛入复合场中，根据“配速法”，粒子的初速度可以等效为一个水平向左的分速度2v和一个水平向右的分速度v，向右的分速度v会产生一竖直向上的洛伦兹F1＝qvB，由于Eq＝qvB，则粒子的一个分运动为水平向右的匀速直线运动，另一个分运动是水平向左沿逆时针方向的匀速圆周运动，速度大小为2v：Bq2v＝解得R＝，则粒子偏离入射方向的最大距离为2R＝，A错误；B．粒子在轨迹最低点速度大小为3v，方向水平向右。由Bq3v－Eq＝，解得，即轨迹最低点的曲率半径为，B正确；C．粒子从抛出到最低点的过程中电场力做正功，电势能减小，电势能的变化量为－Eq×2R＝－4mv2，C正确；D．粒子在复合场中运动过程中只有电场力做功，所以粒子的动能和电势能的总和是守恒的，D正确。本题选错误的，故选A。1．“等效力”的思想所谓等效力法，就是通过力的合成或者力的分解，用假设的合力或者分力，甚至矢量和为零的合力——平衡力，来代替和变换物体实际受到的力。2．“等效运动”思想利用运动叠加原理，可以将一个复杂运动等效为若干简单运动；有时，为了便于分析和计算，也可以将一个比较简单的运动等效为若干比较复杂的运动。3．等效摆长及等效重力加速度（1）L′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。图（a）中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长，其周期T＝。图（b）中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。（2）g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。①在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g+a、g′＝ga，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。③单摆中的绝缘带电小球在竖直方向的匀强电场中摆动时，等效重力加速度分别为：g′＝。④单摆中的绝缘带电小球在水平方向且垂直带电小球运动所在平面的匀强磁场中摆动时，因回复力不变，等效重力加速度仍为g。⑤如果悬点有点电荷，单摆中的绝缘带电小球摆动时，因回复力不变，等效重力加速度仍为g。“等效思想”在电场中的应用（2021年湖北联考）如图所示，ABCD为竖直平面内的绝缘光滑轨道，其中AB部分为倾角为30°的斜面，BCD部分为半径为R的四分之三圆弧轨道，与斜面平滑相切，C为轨道最低点，整个轨道放置在电场强度为E的水平匀强电场中。现将一带电荷量为＋q、质量为m的小滑块从斜面上的A点由静止释放，小滑块恰能沿圆弧轨道运动到D点。已知重力加速度为g，且qE＝mg，下列说法正确的是（）A．释放点A到斜面底端B的距离为RB．小滑块运动到C点时对轨道的压力为9mgC．小滑块运动过程中的最大动能为mgRD．小滑块从D点抛出后恰好落在轨道上的B点关键信息：轨道放置在匀强电场中，带电小滑块从轨道上滑下→电场与重力场叠加问题水平匀强电场且qE＝mg→确定等效重力场中等效重力加速度的大小及方向小滑块恰能沿圆弧轨道运动到D点→“等效重力场”中小滑块运动的最高点，此时轨道对小滑块的压力为零，“等效重力”提供向心力解题思路：对物体受力分析，取重力与电场力的合力为等效力，找到等效最高点，应用竖直面内“轨道模型”规律处理问题。A．小滑块恰能沿圆弧轨道运动到D点，表明小滑块能通过轨道的等效最高点，重力与电场力的合力F＝＝2mg，所以轨道的等效最高点在圆心左上60°轨道上，即D点。在等效最高点，有2mg＝。从A点到轨道等效最高点，根据动能定理得：mg(xsin30°－Rcos30°－Rsin30°)＋Eq(xcos30°－Rsin60°＋Rsin30°)＝mv2－0，解得：xR，A项错误；B．从C到等效最高点，有－mg(R＋Rcos60°)－Eq·Rsin60°＝mv2－，在C点，有N－mg＝，解得N＝9mg，根据牛顿第三定律得小滑块对轨道的压力大小为9mg，B项正确；C．小滑块运动到D点在圆上关于圆心的对称点时，速度最大，有－2mg·2R＝mv2－，解得：＝5mgR，C项错误；D．小滑块从D点抛出后，小滑块做类平抛运动，假设其刚好落到B点，则有2mg＝ma，vt＝R，则在合力方向上的位移y＝at2＝R＜R，假设错误，D项错误。故选B。（2022宁夏月考）如图所示，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带电荷量为＋q的珠子，现在圆环平面内加一个匀强电场，使珠子由最高点A从静止开始释放（AC、BD为圆环的两条互相垂直的直径），要使珠子沿圆弧经过B、C刚好能运动到D（重力加速度为g）。（1）求所加电场的场强最小值及所对应的场强的方向；（2）当所加电场的场强为最小值时，求珠子由A到达D的过程中速度最大时对环的作用力大小；（3）在（1）问电场中，要使珠子能完成完整的圆周运动，在A点至少应使它具有多大的初动能？（1）根据题述，珠子运动到BC弧中点M时速度最大，作过M点的直径MN，设电场力与重力的合力为F，则其方向沿NM方向，分析珠子在M点的受力情况，由图可知，当F电垂直于F时，F电最小，最小值为：F电min＝mgcos45°＝mgF电min＝qEmin解得所加电场的场强最小值：Emin＝，方向沿∠AOB的角平分线方向指向左上方。（2）当所加电场的场强为最小值时，电场力与重力的合力为F＝mgsin45°＝mg把电场力与重力的合力看做是“等效重力”，对珠子由A运动到M的过程，由动能定理得：F(r＋r)＝mv2－0在M点，由牛顿第二定律得：FN－F＝联立解得FN＝(＋1)mg由牛顿第三定律知，珠子对环的作用力大小为：FN′＝FN＝(＋1)mg。（3）由题意可知，N点为等效最高点，只要珠子能到达N点，就能做完整的圆周运动，珠子在N点速度为0时，所需初动能最小，此过程中，由动能定理得：－F(r－r)＝0－EkA解得：EkA＝mgr1．等效重力法：将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。2．带电体在等效重力场中能做完整的圆周运动的条件是能通过“等效最高点”（这里的“等效最高点”不一定是空间分布的最高点），带电体通过“等效最高点”时的速度最小。3．等效最高点和等效最低点位置确定方法：把等效重力平移到轨迹圆的圆心，等效重力正向延长线与圆的交点为等效最低点，等效重力反向延长线与圆的交点为等效最高点。“等效思想”在电路中的应用（2021年长沙模拟）如图1所示的电路，其中电源电动势E＝6V，内阻r＝2Ω，定值电阻R＝4Ω，已知滑动变阻器消耗的功率P与其接入电路的有效阻值RP的关系如图2所示，下列说法正确的是（）A．图2中滑动变阻器的最大功率P2＝2WB．图2中R1＝6Ω，R2＝12ΩC．滑动变阻器消耗功率P最大时，定值电阻R消耗的功率也最大D．调整滑动变阻器RP的阻值，可以使电源的输出电流达到2A关键信息：图2、定值电阻R＝4Ω→电源的输出功率问题→等效法的应用解题思路：当外电阻等于电源内阻时（或外电阻与内阻最接近时）电源的输出功率最大。若外电路中有定值电阻R，可将定值电阻看成电源内阻，此时等效电源内阻为R＋r。A．当电源内阻r等于外电路电阻R外时，输出功率最大，最大值Pm＝，把定值电阻看成电源内阻，由图2可知，当RP＝R1＝R＋r＝6Ω时，滑动变阻器消耗的功率最大，最大功率P2＝＝1.5W，A项错误；B．滑动变阻器的阻值为3Ω时与阻值为R2时消耗的功率相等，有：，解得R2＝12Ω，B项正确；C．当回路中电流最大，即RP＝0时，定值电阻R消耗的功率最大，C项错误；D．当滑动变阻器RP＝0时，电路中电流最大，最大值Im＝＝1A，则调整滑动变阻器RP的阻值，不可能使电源的输出电流达到2A，D项错误。故选B。(2022江西月考)如图所示，理想变压器原、副线圈匝数之比为1∶2，正弦交流电源电压的有效值为U＝15V保持不变，电阻R1＝15Ω，R2＝20Ω，滑动变阻器R3最大阻值为40Ω。开始时，滑片P处于滑动变阻器正中间位置，则下列正确的是（）A．通过R1的电流的有效值为1AB．电压表读数为12VC．若向下移动P，电压表读数将不变D．若向下移动P，变压器的输出功率将变小AB．理想变压器原、副线圈匝数之比为1∶2，可知原副线圈的电流之比为2∶1，设通过原线圈的电流为II，初级电压为U1＝U－IR1＝15－15I，次级电压为U2＝0.5I(R2＋)＝20I，根据变压器电压之比等于匝数之比可得＝＝，联立解得：I＝0.6A；U2＝12V，A错误，B正确；C．向下移动P，则R3电阻增大，次级电流变小，初级电流也随之变小，电阻R1的电压变小，变压器输入的电压变大，次级电压也变大，电压表读数变大，C错误；D．直流电路中外电路的总电阻等于电源内阻时，电源输出功率最大，如图所示R1等效为电源内阻，若向下移动P，R3电阻变大，等效外电阻为R等效＝(R2＋R3)，开始时，滑片P处于滑动变阻器正中间位置，可知R等效＝10Ω＜R1，当R3＝40Ω时，R等效＝15Ω＝R1，则随着向下移动P，副线圈输出功率将变大，D错误。故选B。1．用等效电源分析问题（1）如图1所示，电动势为E，内阻为r的电源与阻值为R的电阻串联。将图1中虚线框内部看作一个等效电源，则电路等效为图2所示电路。当AB间开路（Rx→∞）时，AB间的电压为E，则等效电源电动势E′＝E；当AB间短接（Rx→0）时，则可求得等效电源内阻。（2）如图3所示，电动势为E，内阻为r，把定值电阻R接在电源的两端。将图3