苏教版数学必修四讲义第3章章末复习课Word版含答案

求值问题已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β均为锐角，求cosβ的值．思路点拨：由tanα求sinα，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cosβ＝cos[(α＋β)－α]展开求解．[解]因为α，β均为锐角，所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以eq\f(π,2)＜α＋β＜π，且sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).因为tanα＝4eq\r(3)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cosα＝eq\f(1,7).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2).三角函数求值主要有三种类型，即1“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围.3“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求eq\f(sin4α,1＋cos2α)的值．[解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,6)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝eq\f(1,3)，即cos2α＝eq\f(1,3).又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－eq\r(1－cos22α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).∴eq\f(sin4α,1＋cos2α)＝eq\f(2sin2αcos2α,1＋\f(1＋cos2α,2))＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))×\f(1,3),1＋\f(1＋\f(1,3),2))＝－eq\f(4\r(2),15).化简与证明求证：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).思路点拨：先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．[证明]证明原不等式成立，即证明1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)成立．∵tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)＝eq\f(sin2θ,cos2θ)(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θ(cos2θ＋sin2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ.∴eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则1一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.2．化简：eq\f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cos10°)).[解]原式＝eq\f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cos10°))＝eq\f(2sin50°＋cos10°×\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°),\r(2cos25°))＝eq\f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cos5°|)＝eq\f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cos5°)＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin45°＋5°＋sin45°－5°)),\r(2)cos5°)＝eq\f(2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°,\r(2)cos5°)＝eq\f(4sin45°·cos5°,\r(2)cos5°)＝2.三角恒等变换的综合应用设向量a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．思路点拨：分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．[解](1)由|a|2＝(eq\r(3)sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，从而sinx＝eq\f(1,2)，所以x＝eq\f(π,6).(2)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinxcosx＋sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，当x＝eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))取最大值1.所以f(x)的最大值为eq\f(3,2).1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．3．已知函数f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\f(1,2).(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝eq\f(3\r(2),10)，求sin2α的值．[解](1)f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1＋cosx)－eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).所以f(x)的最小正周期为2π，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).(2)由(1)知f(α)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3\r(2),10)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5).所以sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝1－eq\f(18,25)＝eq\f(7,25).转化与化归思想在三角变换中的应用【例4】已知tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．思路点拨：先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值．[解]∵tanα＝eq\f(1,3)＞0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2α∈(0，π)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)＞0，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，又∵tanβ＝－eq\f(1,7)＜0，β∈(0，π)，∴β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7))),1＋\f(3,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7))))＝1，又∵2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－eq\f(3,4)π.在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握.4．已知eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．[解]∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(π,4)－α＜0，eq\f(3π,4)＜eq\f(3π,4)＋β＜π，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β)))＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α＋β))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a