物理参考答案

§1解题示例图10-5例10-1如图10-5所示，一根无限长直导线，其中部被弯成半圆形状，环的半径为。当导线通有电流时，求垂直于环面的轴线上一点的磁感应强度。图10-5解考虑到载流导线的弯曲部分和伸长部分激发磁场的规律不同，应分别计算，然后进行迭加，最后求出点处的合磁感应强度。（1）计算半圆形载流导线的磁场。在圆弧上任取电流元，它在点处产生磁场（图10-6）。全部电流元在点产生的磁场将构成一种顶角为的半锥面。根据磁场分布的状况，建立如图所示的坐标系。半圆弧电流在点所产生的磁感应强度的分量图10-6由对称性可知，对应磁感应强度的分量图10-6对应的分量（2）计算两段半无限长直导线的磁场。显然，对应的分量为（3）求点的合磁感应强度由于因此为求解此题首先必须绘出一幅直观的对的的立体图，否则很难计算，有的读者作图马虎潦草，因而找不到各量之间的对的关系。因此应当注意培养自己的空间想象能力，按照从平面到空间的次序逐步作出所需要的图形来。例10-2一条无限长的导线载有电流，将这导线折成一抛物线形状（图10-7），焦点到顶点的距离为，求焦点处的磁感应强度。解在载流抛物线上任取电流元，根据毕奥—萨伐尔定律有由于各电流元在点产生的磁场都垂直纸面对外，因而矢量积分退化为标量积分图10-7图10-7式中有几个变量，故先统一积分变量，设为积分变量，则在极坐标系中，抛物线方程为将后两式代入前式，得磁感应强度的方向垂直图面对外。上述计算十分简要，但若采用直角坐标系求解，则计算就比较冗长。可见，当载流导线为圆锥曲线或多个螺旋线形状时，最佳采用极坐标系。图10-8例10-3半径为的圆片均匀带电，电荷面密度为，若该圆片以角速度绕其中心轴线旋转，如图10-8所示。求轴线上距圆中心为处的磁感应强度和旋转圆片的磁矩。图10-8解（1）由于圆片以角速度绕其中心轴线旋转，形成面电流。将圆片划分成许多同心的窄圆环。任取二分之一径为、宽为的窄圆环（图10-9），当圆片旋转时，窄圆环的电流为图10-9运用圆电流轴线上一点的磁场公式，写出载流窄圆环在点的磁感应强度。图10-9根据磁场的迭加原理，得圆片在点处的磁感应强度显然，应沿轴向，设为正，则沿轴的正方向。（2）根据磁矩的定义，载流窄圆环的元磁矩旋转圆片的磁矩为磁矩的方向沿轴的正向。例10-4有一导体组，由无限多根平行密排的导线构成，已知单位长度上有根导线，且每根导线都无限长，载有电流，求空间一点的磁感应强度。解法一运用磁场的迭加原理求因导线系平行密排，故取宽度为的窄带元，窄带元上流过电流，它在点处的磁感应强度图10-10图10-10的方向如图10-10所示，在平行于导体组平面上的分量为在垂直于导体组平面上的分量为由几何关系知，，，于是。将这些关系代入上面二式，并积分故如点在导体组上方，的方向水平向左；如点在导体组下方，则的方向水平向右。解法二运用安培环路定理求根据无限长直电流的的磁场分布和磁场的迭加原理，易知平行密排的载流长直导体激发均匀磁场，磁力线平行于导体组平面。取如图10-11所示的矩形环路abcda。磁场强度的环流为图10-11图10-11由安培环路定理得点处的磁感应强度为以上两种解法的成果相似，显然解法二比解法一要简便得多。读者应注意，只有磁场分布含有某种对称性时，用安培环路定理求解磁场才是方便的，并且是惊人的简朴，但是能用安培环路定理求解磁场的问题并不多。图10-13图10-12（a）（b）例10-5在图10-12（a）中，磁场垂直平面对外，其变化规律为，式中和为常数，。在图10-12（b）中，磁感应强度的方向垂直图面对外，其分布遵从的规律，式中图10-13图10-12（a）（b）解（1）因磁场的分布含有轴对称性，故把圆形回路分割为无限多个同心圆环，任取二分之一径为、宽为之窄圆环（图10-13），则此面元通过面元的元磁通量通过圆形回路的总磁通量为（2）因磁场的分布仅为坐标的函数，故把半圆形回路分割为平行于轴的无限多个窄条，任取一窄条（图10-14），则此面元图10-14由于图10-14因此通过面元的元磁通量通过半圆形回路的总磁通量为当磁场的空间分布不均匀时，一定要通过积分来计算磁通量。为了简化积分运算，首先应认真考察磁场的分布状况，特别要注意哪些点处的磁感应强度相等。然后才干把回路所包围的曲面分割为适宜的面元。图10-15例10-6载有电流的无限长直导线旁有始终角三角形回路ABC，三边长度分别为a、b、c，载有电流，如图10-15所示，回路与长直导线在同一平面内，B端与长直导线相距，AB边与BC边夹角为，AC边平行于长直导线。求电流作用于三角形回路各边的安培力。图10-15解长直电流在周边空间激发磁场，磁场变化的规律为，式中为场点与长直导线的距离。可见，三角形回路处在非均匀磁场中，下面分别计算BC、CA和AB各边所受的磁力。（1）由于BC边上各点的磁感应强度不等，在导线上任取电流元（图10-16），其所受的磁力为图10-16图10-16因和平行，因此有，于是由于各电流元受力方向相似，可直接对上式积分，BC边所受的磁力为的方向垂直BC向下。（2）因CA边平行于长直电流，导线上各点磁感应强度的大小和方向相似，因此可运用（10-27），径直写出（3）在AB边上任取电流元，作用于它上面的磁力为图10-17元力的方向如图10-17所示。由于各电流元受力方向相似，因而可用标量积分求合力。须注意，这时和不再平行，故有，于是电流元所受磁力为图10-17AB边所受磁力为的方向垂直AB向上。例10-7今在一根载有电流的长直导线右侧，共面地放置另一根载流导线，该导线载有电流，导线的轨迹，端点坐标为和，如图10-18所示，试求载流导线acb所受的安培力。解导线acb处在非均匀磁场中，任取电流元，电流元所在处的磁场，方向垂直图面对里。根据安培定律，电流元受力的大小为图10-19图10-18方向如图10-19图10-19图10-18因各电流元受力方向不同，这时必须把分解为两分力的计算以下根据对称性分析，也可直接写出。载流导线acb所受合力为负号表达合力沿x轴的负向。例10-8半径为的半圆形线圈，通过电流，可绕轴转动。如图10-20所示，线圈放在匀强磁场中，磁场的方向与线圈平面平行。求（1）线圈所受磁力矩；（2）在磁力矩作用下，线圈转过时磁力矩所做的功。解法一按定义来计算力矩和力矩的功（1）在圆弧上任取电流元，其所受磁力的大小为，方向垂直线圈平面对外，如图10-21所示。磁力对轴的元力矩为元力矩的方向沿向下。整个线圈所受磁力矩为（2）当线圈转动时，磁力矩将发生变化，设线圈面法线与磁场的夹角为，则磁力矩体现式应为线圈在转过时磁力矩的功为图10-21图图10-21图10-20解法二由磁力矩和磁力的功的公式来计算（1）因半圆形线圈是平面线圈，磁场又是均匀的，故可应用式（10-3）来计算磁力矩，即（2）由于线圈中流过稳恒电流，故可用式（10-9）来计算磁力矩的功。即解法一从定义出发来计算力矩和力矩的功，物理意义明确。解法二直接引用公式，计算简捷，但必须注意公式的合用条件。例10-9如图10-22所示，有一种载电流的线框，由张角的圆弧和连接圆弧两端的弦线所构成，圆弧半径为a，另一种载电流的固定长直导线穿过圆弧的中心，并垂直线框平面。线框可绕MN轴转动，MN⊥PQ。求直电流激发的磁场作用于线框的磁力矩