《高等应用数学》（何文阁） 第七章教案 7.1常数项级数的概念与基本性质

课题常数项级数的概念与性质课时1课时（45min）总52课时教学目标知识技能目标：（1）理解常数项级数的概念与性质。（2）掌握级数基本性质讨论级数的收敛性。思政育人目标：通过学习常数项级数的概念与性质，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：常数项级数的概念教学难点：级数基本性质与级数的收敛性教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→→传授新知（23min）→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家扫描教材上的二维码学习有关常数项级数的概念与性质的知识。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生简单了解常数项级数的概念与性质，增加学生的学习兴趣考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（5min）【教师】提出以下问题:你知道什么是常数项级数和幂级数吗？【学生】思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（23min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识知识点常数项级数的基本概念❖【教师】讲解常数项级数的基本概念定义1给定一个数列：，以加法符号“”顺次连接数列的各项得到的式子，称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作，即．（7-1）其中，第项称为级数（7-1）的一般项或通项．取级数（7-1）的前项相加，记其和为，即，称为级数（7-1）的前项部分和．当依次取时，可以得到一个新的数列，记为，它称为级数（7-1）的部分和数列．定义2如果级数（7-1）的部分和数列的极限存在，且为，即，则称级数（7-1）收敛，并称极限值为级数（7-1）的和，记作．如果部分和数列的极限不存在，则称级数（7-1）发散．发散级数不存在和，此时的级数（7-1）仅是一个式子，没有任何意义．当级数收敛时，称为级数的余项，它表示用代替所产生的误差．显然，级数收敛的充分必要条件是．❖【学生】记忆和理解概念(级数，通项，一般项，收敛，发散)❖【教师】讲解例题例1讨论几何级数（又称等比级数）（）的收敛性．例2证明级数是发散的．例3设数列通项为，，判别级数的收敛性，若收敛，求它的和．❖【学生】聆听例题，演算例题，同桌对比计算结果，提高计算能力知识点常数项级数的基本性质❖【教师】讲解常数项级数的基本性质性质1若级数收敛，为任意常数，则级数也收敛，且．性质2若级数和都收敛，则级数也收敛，且．性质3加上、去掉或改变级数的有限项，不改变级数的收敛性．性质4对收敛级数的项，任意加括号后所成的级数仍然收敛，且其和不变．推论如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散．性质5如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即．❖【学生】记忆和理解性质内容❖【教师】讲解例题例4证明调和级数是发散的．例5判别下列级数的收敛性；（2）； （3）．【学生】交流，理解，演算，对比教师的解析过程，查找自己的错误点通过教师讲解和例题分析，使学生理解常数项级数的基本概念的概念，并掌握应用常数项级数的基本性质判断级数的收敛性强化训练（10min）变式训练（5min）【教师】通过课堂例题进行变式训练1．根据定义判别级数的收敛性． 【学生】黑板板演【教师】巡视纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂达标（5min）【教师】布置练习题讨论的收敛性。【学生】练习课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了常数项级数的概念与性质。希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，为后面的学习打下坚实的基础。按时预习下一节课的内容。【学生】总结回顾知识点总结知识点，加深常数项级数的概念与性质相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业完成习题7.1的1、2题【学生】完成课后任务通过课后作业复习巩固学到的知识教学反思从教材处理方面：综合教材本节课提出边讲知识点边训练的模式，教材的例题较