广西贵港市覃塘区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

广西贵港市覃塘区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出标号为A、B、C、D的四1．下列各式，，，，，中，分式的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．若分式的值为0，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣13．下列分式变式正确的是（）A． B． C． D．4．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定5．把分式（x≠0，y≠0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，那么分式的值将是原分式值的（）A．2倍 B．4倍 C．一半 D．不变6．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠A＝75°，∠ACD＝135°，则∠B等于（）A．50° B．60° C．75° D．90°7．若化简的结果为，则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．28．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．179．下列四个选项中不是命题的是（）A．等边三角形的三个内角都是60° B．过三角形的顶点作对边的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互补10．若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．211．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，若再添加下列一个条件，仍然不能运用“SAS“说明△AOB≌△DOC，则这个条件是（）A．OB＝OC B．AD∥BC C．∠OBC＝∠OAD D．∠AOB＝∠AOD12．如图，在△ABC中，DE垂直平分边BC，垂足为D，∠BAC的平分线交DE于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G，∠BEC＝∠FEG．下列结论错误的是（）A．EF＝EG B．AC＝AF+BF C．AC＝AB+AF D．∠DEG＝∠ACB二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）若分式无意义，则x的值为．14．（2分）已知空气的单位体积质量约为1.293×10﹣3g/cm3，将数据1.293×10﹣3用小数表示为．15．（2分）计算：＝．16．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝DE＝EA＝AC，若∠ACB＝75°，则∠DEA的度数为．17．（2分）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则根据题意可得方程是．18．（2分）如图，点P在△ABC内，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC，若BC＝10，△PAB与△PAC的面积之和为16，则点P到BC边的距离为．三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（10分）计算：（1）；（2）．20．（6分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）已知：线段a，∠α求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α．21．（8分）解下列分式方程：（1）；（2）．22．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE．若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．23．（10分）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣10；（2），其中a＝﹣2．24．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．25．（10分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？26．（10分）已知：△ABC是等边三角形，经过点A作直线MN∥BC，动点D在直线MN上（不与点A重合），以点D为顶点作∠BDE＝60°，DE与边AC所在直线交于点E，连接BE．（1）如图1，当点E在边AC上时，探究发现：△BDE是等边三角形；要证明这个结论，经过思考分析，给出如下两种思路：思路一：在边AB上截取AP＝AD，连接DP，通过证明△PDB≌△ADE使问题得以解决；思路二：过点D作DP∥AC交边AB于点P，同理通过证明△PDB≌△ADE使问题得以解决．请你选择上述一种思路，给出完整的证明过程．（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，请判断△BDE的形状，并证明你的结论．​

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出标号为A、B、C、D的四1．下列各式，，，，，中，分式的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】直接利用分式的定义进而判断得出即可．【解答】解：分式的有：，，共3个．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键．2．若分式的值为0，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣1【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：根据题意得：，解得：x＝﹣2．故选：B．【点评】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．下列分式变式正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．【解答】解：A、＝，故A不符合题意；B、＝＝﹣1，故B不符合题意；C、≠，故C不符合题意；D、＝＝，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．4．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定【分析】根据各角之间的关系，求出∠C的度数，由∠C是钝角，可得出△ABC是钝角三角形．【解答】解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：6，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝108°＞90°，∴∠C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据各角之间的关系，求出△ABC中最大角的度数是解题的关键．5．把分式（x≠0，y≠0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，那么分式的值将是原分式值的（）A．2倍 B．4倍 C．一半 D．不变【分析】把分式（x≠0，y≠0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，就是用x变成2x，y变成2y．用2x，2y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系．【解答】解：＝，所以分式的值将是原分式值的一半．故选：C．【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．6．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠A＝75°，∠ACD＝135°，则∠B等于（）A．50° B．60° C．75° D．90°【分析】由∠ACD是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠B的度数．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B+∠A，即135°＝∠B+75°，∴∠B＝135°﹣75°＝60°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．7．若化简的结果为，则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】利用分式的乘除法的法则对式子进行化简，再结合条件进行分析即可．【解答】解：＝，∵其结果为，∴x﹣3+m＝x﹣1，解得：m＝2．故选：D．【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．下列四个选项中不是命题的是（）A．等边三角形的三个内角都是60° B．过三角形的顶点作对边的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互补【分析】根据命题的概念判断即可．【解答】解：A、等边三角形的三个内角都是60°，是命题，不符合题意；B、过三角形的顶点作对边的平行线，不是命题，符合题意；C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题，不符合题意；D、直角三角形的两个锐角互补，是命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题．10．若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．2【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣1），得3﹣（x﹣1）＝m，即4﹣x＝m由于分式方程有增根，所以x＝1当x＝1时，4﹣1＝m即m＝3故选：B．【点评】本题考查了解分式方程及分式方程的增根．一般增根类问题按如下步骤进行：①根据公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程求出字母的值．11．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，若再添加下列一个条件，仍然不能运用“SAS“说明△AOB≌△DOC，则这个条件是（）A．OB＝OC B．AD∥BC C．∠OBC＝∠OAD D．∠AOB＝∠AOD【分析】根据题目的已知条件并结合图形，然后再根据每一个选项以及全等三角形的判断方法，逐一判断即可解答．【解答】解：A、在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故A不符合题意；B、∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC，∴∠OCB＝∠OBC，∴OB＝OC，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故B不符合题意；C、∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵∠OBC＝∠OAD，∴∠OBC＝∠ADO，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∴∠OCB＝∠OBC，∴OB＝OC，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故C不符合题意；D、根据∠AOB＝∠AOD，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，不能判断△AOB≌△DOC，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12．如图，在△ABC中，DE垂直平分边BC，垂足为D，∠BAC的平分线交DE于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G，∠BEC＝∠FEG．下列结论错误的是（）A．EF＝EG B．AC＝AF+BF C．AC＝AB+AF D．∠DEG＝∠ACB【分析】证明△AEF≌△AEG（AAS），推出EF＝EG．AF＝AG，证明Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），推出BF＝CG，可以证明A，B正确，再利用8字型，证明D正确即可．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠EAF＝∠EAG∵EF⊥AF，EG⊥AC，∴∠F＝∠AGE＝90°，在△EFA和△EGA中，，∴△AEF≌△AEG（AAS），∴EF＝EG．AF＝AG，∵DE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，在Rt△EFB和Rt△EGC中，，∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），∴BF＝CG，∴AC＝AG+CG＝AF+BF，设CD交EG于点O．∵∠EDO＝∠CGO＝90°，∠DOE＝∠COG，∴∠DEG＝∠DCG．故选项A，B，D正确．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）若分式无意义，则x的值为5．【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案．【解答】解：若分式无意义，则x﹣5＝0，解得x＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．14．（2分）已知空气的单位体积质量约为1.293×10﹣3g/cm3，将数据1.293×10﹣3用小数表示为0.001293．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1.293×10﹣3＝0.001293．故答案为：0.001293．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．（2分）计算：＝．【分析】将分式先通分，再进行计算．【解答】解：＝．【点评】此题是异分母分式的减法运算，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．通分时，也要注意分子符号的处理．16．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝DE＝EA＝AC，若∠ACB＝75°，则∠DEA的度数为80°．【分析】设∠B＝x，先利用等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACB＝75°，∠B＝∠BED＝x，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝2x，然后再利用等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠DAE＝2x，从而利用三角形的外角性质可得∠AEC＝3x，进而可求出∠BED＝x＝25°，最后利用平角定义进行计算，即可解答．【解答】解：设∠B＝x，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACB＝75°，∵BD＝DE，∴∠B＝∠BED＝x，∵∠ADE是△BDE的一个外角，∴∠ADE＝∠B+∠BED＝2x，∵ED＝EA，∴∠ADE＝∠DAE＝2x，∵∠AEC是△ABE的一个外角，∴∠AEC＝∠B+∠DAE＝x+2x＝3x，∴3x＝75°，∴x＝25°，∴∠BED＝25°，∴∠DEA＝180°﹣∠AEC﹣∠BED＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质是解题的关键．17．（2分）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则根据题意可得方程是＝．【分析】根据一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同，列方程即可．【解答】解：设一片槐树叶一年平均滞尘量为xmg，则一片银杏树叶一年平均滞尘量为（2x﹣4）mg，由题意得：＝．故答案为：＝．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程．18．（2分）如图，点P在△ABC内，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC，若BC＝10，△PAB与△PAC的面积之和为16，则点P到BC边的距离为3.2．【分析】延长AP交BC于D，过P作PH⊥BC于H，由角平分线定义得到∠ABP＝∠DBP，由垂直的定义得到∠APB＝∠DPB＝90°，由三角形内角和定理推出∠BAP＝∠BDP，因此BA＝BD，由等腰三角形的性质推出AP＝PD，由三角形面积公式得到△ABP的面积＝△DBP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，即可得到△PBC的面积＝BC•PH＝16，于是求出BC＝10，【解答】解：延长AP交BC于D，过P作PH⊥BC于H，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠DPB＝90°，∴∠BAP＝∠BDP，∴BA＝BD，∵BP⊥AD，∴AP＝PD，∴△ABP的面积＝△DBP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，∴△BPD的面积+△PDC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积＝16，∴△PBC的面积＝BC•PH＝16，∵BC＝10，∴PH＝3.2．∴点P到BC边的距离为3.2．故答案为：3.2．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形的面积，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理推出∠BAP＝∠BDP．三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（10分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；（2）分子分母因式分解约分即可．【解答】解：（1）原式＝1×9+（﹣）×4＝9﹣2＝7；（2）原式＝××＝2．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．20．（6分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）已知：线段a，∠α求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α．【分析】先作∠MBN＝∠α，再BM上截取BA＝a，然后以点A为圆心，a为半径作弧交BN于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．（8分）解下列分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）利用解分式方程的步骤解各方程即可；（2）利用解分式方程的步骤解各方程即可．【解答】解：（1）原方程去分母得：x﹣2＝3（2x﹣1），去括号得：x﹣2＝6x﹣3，移项，合并同类项得：﹣5x＝﹣1，系数化为1得：x＝，经检验，x＝是分式方程的解，故原方程的解为x＝；（2），去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2），去括号得：8+x2﹣4＝x2+2x，移项得：x2﹣x2﹣2x＝﹣8+4，解得：x＝2，经检验，x＝2是分式方程的增解，∴原分式方程无解．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．22．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE．若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．【分析】利用等边三角形的性质可得∠DAB＝∠CAE＝∠DBA＝60°，从而可得∠ABC＝60°+∠BAC，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵△ADB和△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠CAE＝∠DBA＝60°，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝60°+∠BAC+60°＝120°+∠BAC，∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝60°+∠ABC，∵∠DAE＝∠DBC，∴120°+∠BAC＝60°+∠ABC，即：∠ABC＝60°+∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝60°+∠BAC，设∠BAC＝x°，∵∠BAC+2∠ABC＝180°，∴x+2（x+60）＝180，解得x＝20，∴∠BAC＝20°，∴∠ACB＝∠ABC＝60°+∠BAC＝60°+20°＝80°．∴△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．23．（10分）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣10；（2），其中a＝﹣2．【分析】（1）利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值进行运算即可；（2）利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值进行运算即可．【解答】解：（1）＝＝＝，当x＝﹣10时，原式＝＝；（2）＝＝＝a2﹣2a，当a＝﹣2时，原式＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝4+4＝8．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．24．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25．（10分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量＝总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润＝每件的利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据题意得：＝﹣30，解得：x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解．答：该商店3月份这种商品的售价是40元．（2）设该商品的进价为y元，根据题意得：（40﹣y）×＝900，解得：y＝25，∴（40×0.9﹣25）×＝990（元）．答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．26．（10分）已知：△ABC是等边三角形，经过点A作直线MN∥BC，动点D在直线MN上（不与点A重合），以点D为顶点作∠BDE＝60°，DE与边AC所在直线交于点E，连接BE．（1）如图1，当点E在边AC上时，探究发现：△BDE是等边三角形；要证明这个结论，经过思考分析，给出如下两种思路：思路一：在边AB上截取AP＝AD，连接DP，通过证明△PDB≌△ADE使问题得