2022高考全国乙卷数学文科试题及答案

2022年全国乙卷高考试题及答案

文科数学

1.集合M={2,4,6,8』0},N={M-l<x<6},则MN=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

2.设(l+2i)a+b=2i,其中a*为实数，则()

A.a=1,/?=-1B.a=1,Z?=1C.a=-1,Z?=1D.a=-1,Z?=—1

rr

3,已知向量&=(2,D"=(一2,4),则"()

A.2B.3C.4D.5

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h),得如下茎叶图:

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

则下列结论中错误的是()

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

'x+y>2,

5.若x,y满足约束条件<x+2y«4,则z=2x—y的最大值是()

y>0,

A.-2B.4C.8D.12

6.设厂为抛物线C：V=4x的焦点,点A在C上，点8(3,0),若|AF|=|5用,则|AB|=

()

A.2B.25/2C.3D.3\/2

7.执行右边的程序框图，输出的〃=()

A.3B.4C.5D.6

8.右图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像,则该函数是（）

2xcosx2sinx

D.y=

x2+1c.yx2+1x2+1

9.在正方体—中,及下分别为AB,8c的中点,则（)

A.平面用EfJ.平面B.平面始后/_1_平面AB。

C.平面旦族〃平面AACD.平面4麻〃平面AC。

10.已知等比数列｛《,｝的前3项和为168,4一。5=42,则4=（）

A.14B.12C.6D.3

11.函数/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为（）

兀713兀兀Wk在2

A.---9-B.----,一C.D.

2222

12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当

该四棱锥的体积最大时，其高为（）

V2

D.

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记S,,为等差数列｛4｝的前〃项和.若2s3=3S2+6,则公差d=.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

15.过四点（0,0）,（4,0）,（—1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为.

16.若/（x）=lna+^j--1■〃是奇函数，则“=,b-.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

记,ABC的内角A,B,C的对边分别为,已知sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）.

（1）若A=2B,求C；

（2）证明：2a2=b2+c2

18.（12分）

如图，四面体ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

（1）证明：平面BE。，平面ACO；

（2）设AB=BD=2,NACB=60°,点尸在8。上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥

产一A3C的体积.

19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材

积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m?）和材积量（单

位：n?），得到如下数据：

总

样本号i12345678910

和

根部横截面积

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

王

材积量y.0.250.400.220.540.510.340.360460.420.403.9

101010

并计算得Zx：=O.O38，Zy：=16158,ZNX=02474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林

区这种树木的总材积量的估计值.

士(王一元)(凶-/_____

附：相关系数'=/J”,J1.896引.377.

店(%-元)2f(x—歹)2

Vi=li=l

20.已知函数/(x)=ax-L-(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求/⑴的最大值；

(2)若/J)恰有一个零点，求。的取值范围.

21.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),呜1］两点.

(1)求E方程；

(2)设过点p(l,—2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于

点了，点”满足MT=7H.证明：直线4N过定点.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔

在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多

涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系X0V中，曲线C的参数方程为［x='c°s2；c为参数)，以坐标原点

［y=2sinZ

为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为0sin事)+〃?=0.

(1)写出/的直角坐标方程；

(2)若/与C有公共点，求m的取值范围.

［选修4—5：不等式选讲］

333

23.已知a,Ac都是正数，且於+撰+胸=1，证明：

(1)ubcW一；

9

abc,1

(2)----1------1-----<-7==；

b+ca+ca+b2sjabc

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)

文科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.D11.D12.C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2

3

14.—##0.3

10

15.(x-2)2+(y-3)'=13或(x-2『=5或+fj或

+(y-l)2169

25

16.①.——；(2).In2.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

/、5兀

17.(1)—；

O

(2)由sinCsin(A—=sin3sin(C—A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB—becosA-hecosA—abcosC,然后根据余弦定理可知，

+c2-b2)-^b2+c2-a2)=^b2+c2-a2)-^a2+b2-c2),化简得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

18.【小问1详解】

由于AT>=C£>,E是AC的中点，所以

AD=CD

由于,80=8。，所以△ADBMZXCDB,

ZADB=ZCDB

所以AB=CB,故ACLBO,

由于Z)EcB£)=。，DE,BD\平面BED，

所以AC_L平面BED，

由于ACu平面AC£),所以平面8瓦)，平面ACO.

【小问2详解】

依题意AB=8O=5c=2,NAC3=60°,三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=百，

由于AO=C£>,AO_LC£>,所以三角形ACO是等腰直角三角形，所以OE=L

DE2+BE2=BD2)所以DELBE，

由于ACcBE=E,AC,BEu平面ABC,所以。EL平面ABC.

由于△ADBMZ^CQB,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于〈//84=NFBC,所以.FBA三.FBC,

AB=CB

所以AF=b，所以历_LAC,

由于S"c=g.AC-M，所以当E尸最短时，三角形AFC的面积最小值.

过£作所，3Z),垂足为F,

ii6

在Rt/XBEO中，—BEDE=-BDEF,解得=@

22

3

,BF=2—DF=-

2

BD4

FHBF3

过F作FH上BE,垂足为“，则FH〃DE,所以EH_L平面ABC,且一=——=-

DEBD4

3

所以尸H=—,

4

所以%ABC=~SABC-FH=-x-x2xy/3x-=—.

F-ABC3-ABC3244

D

F

19.(1)0.06m2；0.39m3

(2)0.97

(3)1209m3

20.(1)-1

(2)(0,+oo)

22

21.(1)汇+工=1

43

(2)(0,-2)

【小问1详解】

解：设椭圆E的方程为zw?+〃=1,过A(0,-2),

4/1=1

则,9，解得m=\,n=—,

—m+n-I34

14

2x2

所以椭圆E的方程为：^v-+—=1.

43

【小问2详解】

32

4(0,—2),3(],—1),所以A6:y+2=§x,

22

①若过点21,-2）的直线斜率不存在，直线尤=1.代入y+^=l,

可得M(1,2^),NQ-,代入A8方程y=|x—2,可得

T(V6+3,—).由加7=77/得到”(2n+5,.求得HN方程:

y=(2-半»—2,过点(0,-2).

②若过点P(l,-2)的直线斜率存在，设依-y-为+2)=0,"&,%),。®,%).

kx-y-(k+2)=0

22

联立《xy，得(3Z?+4)J?-6攵(2+左)尤+3々(％+4)=0,

—+—=1

I34

6k(2+k)—8(2+k)

可得《

3女(4+左)4(4+4攵一2%2)'

中2:三E

-24k,*、

且％%+马另=市著()

y=x3

联立12」可得T(—+3,弘),”(3乂+6-王，弘).

y=-x-22

I3

可求得此时“N:y-8=-好2----(x-/)，

3y+6-％-x2

将(0,-2),代入整理得2(西+々)-6(另+%)+玉%+&y-3yly2T2=0,

将(*)代入，得24k+1222+96+48女-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点(0,-2).

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直