2022北京房山区实验中学 高一数学理月考试卷含解析

2022北京房山区实验中学高一数学理月考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

「兀兀,

KJ-TT*V।

1.己知函数f（x）满足f（x）=f（”一x）,且当.22J时，f（x）=x+

sinx,

A.f(l)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<f(l)

C.f(3)<f(2)<f(l)D.f(3)<f(l)<f(2)

参考答案：

D

略

2.下列大小关系正确的是()

34304

A.0.4<3°-<log40.3B.0.4<log40.3<3-

30443

C.log40,3<0.4<3D.Iog40,3<30-<0.4

参考答案：

3.设1、m、n为不同的直线，a、£为不同的平面，则正确的命题是（）

A.若a_L#,则1//^

B.若a_L#,，匚a,贝！］7±

C.若7±zz?,加_1_〃，则/〃〃

D.若勿，a,〃〃,且a〃£,则mLn

参考答案：

D

4.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔5在它的北偏东30"处，且与它相距8煨海里，之

后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔5在它的北偏东

75°,此船的航速是（）

A.8（V6+^）B,8（V6-V2）0,16（质+阂D.

16（病-⑼

参考答案：

D

f（X）=sin（3x+—）（3>0）—

5.若函数ex，sin'6'图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,且该

函数图象关于点（x。，0）成中心对称，'o'[0'T],则x产（）

715兀兀7T

A.12B.12C.VD.4

参考答案：

B

【考点】函数y二Asin（3x+6）的图象变换.

【分析】利用函数尸Asin（3X+6）的图象的对称性，得出结论.

f（x）=sin（3x-H^-）（3>0）

【解答】解：・・'函数'''6图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

12K

工r兀

2-23=2,s=2,

/.f（x）=sin（2x+6）.

7T17T1

令2x+-T=kn,kez,求得x=Ekw-12,故该函数的图象的对称中心为（-

71

12,0),kez.

F「0

根据该函数图象关于点（X。，0）成中心对称，结合X。'L，2」，则X产12，

故选：B.

6.观察下列数表规律

2-36-710-*ll14fl5

tIt；fitI

0-*l4f58f912—1316f

则发生在数2012附近的箭头方向是（）

2012TT—2012I

A.TB.-2012C.ID.2012—

参考答案：

D

7.过点"(，°)作圆,廿=4的两条切线必、皿43为切点，则=

()

A.6B.-6C.10D.6、万

参考答案：

A

]ag+am

8.已知等比数列｛aj中，各项都是正数，且a,,2a3,2a?成等差数列，则a7+ag=

()

A.1+V2B.1-V2C.3+2V2D.3-2V2

参考答案：

C

【考点】等差数列的性质；等比数列的性质.

【分析】先根据等差中项的性质可知得2X(7a3)=ai+2a2,进而利用通项公式表示出

ag+a[0

M=l+2q,求得q,代入a7+a8中即可求得答案.

1_

【解答】解：依题意可得2X(^^3)=a+2a2,

即，a3=ai+2a2,整理得q'l+2q,

求得q=l土0，

•••各项都是正数

.,.q>0,q=l+V2

89

ag+aioa1q+a-

...a7+a8=ajq+a1q=3+2后

故选C

9.在等差数列｛四｝中，,♦,=12,.=3,则巧=

A.8B.9C.11D.12

参考答案：

B

【分析】

由已知结合等差数列的性质即可求解“7的值.

【详解】在等差数列kJ中，由，♦■9=12,得〜♦叼=12,

乂a4=3,二＞7=12-3=9

故选B.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题.

10.点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点,若AC=BD,且AC与

BD成90°,则四边形EFGH是（）

A.菱形B.梯形C.正方形D.空间四边形

参考答案：

c

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.

【分析】先根据三角形的中位线定理整出两队对边平行且相等，是一个平行四边形，再证

明四边形EFGH为菱形，然后说明NEFG=90°,得到四边形是一个正方形.

1

【解答】解：因为EH是AABD的中位线，所以EII〃BD,且EH=2BD

11

同理FG〃BD,EF〃AC,且FG=2BD,EF=5AC.

所以EH〃FG,且EH=FG

VAC=BD,

所以四边形EFGH为菱形.

VAC与BD成90°

•••菱形是一个正方形，

故选C.

【点评】本题考查简单几何体和公理四，本题解题的关键是要证明正方形常用方法是先证

明它是菱形再证明一个角是直角，本题是一个基础题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

=&-

11.在A3中，3边上的高为3,则ZC+AC=

参考答案：

历

兀1771

12.已知sin（a+正）而，则cos（a+,）=__

参考答案：

1

飞

【考点】GO：运用诱导公式化简求值.

?n7i7冗

【分析】根据诱导公式可知c°s（a+玉-）=sin（T-a-IT）,进而整理后，把sin

兀

（。+正）的值代入即可求得答案.

7n兀7兀K1

【解答】解：coS'O+近)=sin(丁-a-五)=-sin(a+H)=

故答案为：-3

13.求值：cos75°cosl5°-sin75°sinl5°=.

参考答案：

0

【考点】两角和与差的余弦函数.

【分析】根据题意，利用余弦的和差公式可得cos75°cosl50-

sin75°sinl5°=cos90°,利用特殊角的三角函数值可得答案.

【解答】解：根据题意，原式二cos75°cosl5°-sin75°sinl5°=cos90°=0,

故答案为：0.

2~x,

14.函数f(x)4x2,x<l,则f(f(-3))=_.

参考答案：

-7

考点：函数的值.

专题：函数的性质及应用.

分析：由分段函数的性质得f(-3)=(-3):9,从而f=f(9)=2-9=-7.

‘2-x,x〉l

解答：解：>(x)=1X2,x<l,

Af(-3)=(-3)2=9,

f(f(-3))=f(9)=2-9=-7.

故答案为：-7.

点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运

用.

-1x-l(x>0)

15.设函数f(x)=7(X<0)若f(a)>a,则实数a的取值范围是—.

参考答案：

(-8,-J)

【考点】其他不等式的解法.

【专题】计算题；分类讨论.

【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a'O时，和a<0时两种情况求解，

最后取并集.

f(a)=—a—l>a

【解答】解：当a20时，2，解得a<-2,

矛盾，无解

f(a)=—>a

当a<0时，aa<-1.

综上：a<-1

实数a的取值范围是(-8,-i).

故答案为：(-8,-1)

【点评】本题主要考查分段函数，一元一次不等式，分式不等式的解法，还考查了分类讨

论思想和运算能力.

5

16.设函数f(x)=*'-3x2+2,则使得f(1)>f(log3x)成立的x取值范围为.

参考答案：

0<x<3或x>3

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【分析】由题意，f(-X)=f(X),函数是偶函数，X>0递减，f(1)>f(10g3X),1<

|10g3X|,即可得出结论.

【解答】解：由题意，f(-X)=f(x),函数是偶函数，x>0递减

vf(1)>f(log3X)

•••l<|10g3X|,

•••0Vx<3或x>3,

••・使得f(1)>f(log3x)成立的x取值范围为0<x<3或x>3,

故答案为0<x<3或x>3.

17.（5分）如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论:

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角;

@DM与BN垂直.

其中，正确命题的序号是.

参考答案：

③④

考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系.

专题：证明题.

分析：先利用正方体纸盒的展开图，画出它的直观图，特别注意特殊点的位置，再在正方

体中证明线线位置关系以及求异面直线所成的角即可

解答：如图为正方体纸盒的直观图：

由图可知：BM与ED异面且垂直，①错误;

CN与BE平行，②错误;

异面直线CN与BM所成的角即NEBM,由于aEBM为等边三角形，故NEBM=60°,③正确;

因为DM_LNC,DM1BC,NCABC=C,所以DM_L平面NCB,所以DMJ_BN,④正确

故答案为③④

点评：本题考查了空间几何体的展开图与直观图间的关系，空间的线线位置关系及其证

明，异面直线所成的角及其求法，将平面图准确的转化为直观图是解决本题的关键

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18已知函数/（x）=x+2，Sinxcosx+1.

（I）求函数/（X）的单调递增区间，最小正周期；

（II）画出了（X）的图象.（要求：列表，要有超过一个周期的图象，并标注关键点）

参考答案：

kn—,kn+—

（I）/白）的单调递增区间L36」（上wZ）,最小正周期为开；（H）详见

解析.

试题分析：（I）首先需将函数/（X）的解析式转化到月,然后运

7_至

用正弦函数的单调性研究，最小正周期套用周期公式mi即可；（II）运用描点作图

法，具体地讲就是“五点作图法”，一个最高点，一个最低点，三个平衡点.

试题解析：(I)

/(x)=-73an2x+cos2x+2=2sin|2x+—|+2

\6/3分

2kfr——i2x+—£2k7T+—kir—Sx$k“+一

由262,解得36（无eZ）

n,”

kn—,kn-\"一

所以函数“X）的单调递增区间36

(ieZ)5分

最小正周期为

6分

(II)

力57r%

X

127法T12

CIX7T

2x+一0%史2万

62~2

y2A202

只要关键点数值正确即可9分

图象正确12分

图象正确但没标明关键点数值扣1分

考点：三角恒等变换及三角函数图象与性质.

19.（本题满分16分）已知函数/a）=x|勿-x|+2x,awR.

（i）若a=o,判断函数y=/（x）的奇偶性，并加以证明；

（2）若函数/（X）在R上是增函数，求实数a的取值范围；

（3）若存在实数“€卜2,2],使得关于x的方程/8）-1（%）=。有三个不相等的实数

根，求实数上的取值范围.

参考答案：

（1）函数）'=/（X）为奇函数.

当a=0时，/a）=x|x|+2r,xeR>A/（-x）=-x|-x|-2x=-x|x|-2x=-/（X）

函数y=/a）为奇函

数；..........

,•,3分

//p3+（2-2a）x（x52a）

/（X）=，2"\

（2）[一/+（2+2a）x（x<2a）t当xN2a时，了的对称轴为：

x=a-\,

当x<2a时，y=/《力的对称轴为：x=a+l；.♦.当a-lM2aWa+l时，在R

上是增函数，即时，函数尸=/（力在R上是增函

数；............7分

（3）方程/8A1（勿）=°的解即为方程/口）=f（勿）的解.

①当-IgaWl时，函数y=/a）在R上是增函数，.♦・关于x的方程//）=奴勿）不可能

有三个不相等的实数

根；............9分

②当a>1时，即2a>a+l>a-l,.•J=/3在上单调增，在（a+l,2a）上

单调减，在（勿,向上单调增，.•.当/Qa）W3</（a+D时，关于x的方程

/8）=y（勿）有三个不相等的实数根；即4a"4a<（a+l）J,

,I</<-（a+-+2）

•：a>1：.Aa

设⑷-.3+£+）,...存在“e[_2,2],使得关于x的方程八%）=以勿）有三个不相等

的实数根，（叽~又可证'⑷-彳0+）+，在0,2）上单调增

A(a)a«=|.l<f<!

12分

③当4<-1时，即.••>=/（力在（-8,㈤上单调增，在（%,a-D上单

调减，在（a-1，*°）上单调增，

.•.当（㈤</（勿）时，关于x的方程/伏）=叭勿）有三个不相等的实数根；

（.1<Z<~—（a+--2）g（a）=--（a+-—2）

gp-（a-l）<t4a<4at-:a<-iA4a，设4a

...存在“使得关于x的方程/（X）=[（22）有三个不相等的实数根，

119

...】C<g（a）x,又可证,3）■一彳°+）一2）在[-2,-1）上单调减二「-g

...8；

15分

综上：

,9

1</<-

8.

........................16分

20.成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数。

参考答案:

解：设四数为。-叼,。-4。+4。+立，则4a=26,a'-d'=40

一或二

即222,

d=3

当一5时，四数为2,5,8,11

d=N

当一5时，四数为11854.

略

21.已知函数/(©=(/一勿+3"是指数函数.

(1)求/3)的表达式：

⑵判断仪©=A^-/(-x)的奇偶性，并加以证明:

⑶解不等式：S.Q^＞!og«(x+2)

参考答案：

(1)加々(2)见证明；(3)2＜，C＜寸

【分析】

(1)根据指数函数定义得到，"3