2022版高中数学理人教A版一轮复习课时作业：四十五 直线、平面垂直的判定及其性质

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课时作业梯级练

四十五直线、平面垂直的判定及其性质

基础落实练.（30分钟60分）

一'选择题（每小题5分，共25分）

1.（2021・红河州模拟）设机，〃是空间中不同的两条直线，a,£是空

间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是（）

A.若加〃a,n//P,a〃£,则相〃〃

B.若a_L£,mA-/3,则相〃a

C.若根_L〃，mA.a,a//B、则〃〃£

D.若aJ_夕，aC\B=1,m//a,ml.1,则/%_1_夕

［解析］选D.对于A,由加〃a,7i〃6,a///3,可得加〃咒或相与

n相交或相与〃异面，故A错误；对于B,由a_L£,m-L£，可得m//a

或mua,故B错误；对于C,由m_L〃，a〃£,可得n〃0

或〃u0,故C错误；对于D,由a_L£,aV\/B=l,m//a,m-Ll,

得加，夕，故D正确.

2.在正方形形CD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折

成一个四面体，使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在4AEF内的

射影为0,则下列结论正确的是（）

A.0是AAEF的垂心B.0是AAEF的内心

C.0是"EF的外心D.0是ZkAEF的重心

【解析】选A.由题意可知PA,PE,PF两两垂直，所以PA_L平面PEF,从而

PA_LEF,而PO_L平面AEF,则PO±EF,

因为POAPA=P,所以EF_L平面PAO,

所以EF±AO,

同理可知AE_LFO,AF±EO,

所以0为AAEF的垂心.

3.设a为平面,m,n为两条直线,若m_La,则是“nua”的

()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.当m_La时，如果m_Ln,不一定能推出nCa,

因为直线n可以在平面a夕卜，

当m_La时，如果nua,根据线面垂直的性质一定能推出m±n,

所以若m_La,则“m_Ln”是“nua”的必要不充分条件.

4.如图，在正四面体P-ABC中。，E,厂分别是AB,BC,CA的中点,

下面四个结论不成立的是()

p

A.3c〃平面PDF

B.QAL平面RIE

C.平面PO尸，平面抬E

D.平面PQ£，平面ABC

【解析】选D.因为BC//DF,。尸u平面PDF,8。。平面PDF,所以8C〃

平面PDF故选项A不符合题意；在正四面体中，AE.LBC,PE-LBC,

AEC]PE=E,且AE,P£u平面山区所以3cL平面用£

因为DF//BC,所以DF1,平面PAE,又u平面PDF,从而平面PDFS.

平面抬E.因此选项B,C均不符合题意.

9

5.已知三棱柱A3C-A15G的侧棱与底面垂直，体积为彳，底面是边

长为小的正三角形，若尸为底面△48G的中心，则用与平面A3C

所成角的大小为（）

5五nnJI

C.D.

A-~nB-T46

【解析】选B.如图,

取正三角形ABC的中心0,连接0P,则ZPAO是与平面ABC所

成的角.因为底面边长为小，所以4。=小X乎=|,A（?=|AD

=|x|=1.三棱柱的体积为:义（小尸义乎A4］=^,解得AAi=

小,即0。=441=5，所以tanN应0=M=小,即/出0=曰.

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.（2019•北京高考）已知I,m是平面a外的两条不同直线.给出下列三

个论断：

①„m;②m〃a奄1_1_a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确

的命题:.

【解析】选两个论断作为条件，一个作为结论，一共能够组成3个命题，

即①②"③,①③=②,②③今①，只有①②二③为假命题，其余两个为

真命题.

答案：若m〃a,/_La,则/_Lm（或若I±m,l±a,则m〃a）

7.如图，在三棱柱A3c4&G中，侧棱A41_L底面ABC,底面是以

/ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BBi=3a,。是4G的中

点，点厂在线段44］上，当Ab=时，平面8QF.

【解析】由题意易知，囱。，平面4。。］4，又CFu平面ACG4,所以

BiD.LCF.

要使CF±平面BXDF,只需CFLDF即可.

令CFLDF,设则A]/=3。一至

由RtACAF^RtAM^,

程善=AL即2a=x

付A/~AXD，叫3。一%—Q，

整理得f—3"+2c』=0,解得X=Q或％=2。.

答案：Q或2。

8.（2019・全国I卷）已知N4CB=90°,尸为平面4BC外一点，PC=2,

点P到NAC3两边AC,3c的距离均为小，那么P到平面ABC的距

离为.

【解析】作PQ,尸E分别垂直于AC,BC于点、D,E,POJ■平面A8C,

连接O。，CO,知GDJ_PD,CD.LPO,PD^PO=P,

所以COJ_平面尸QO,OQu平面PQO,

所以CDJ_OQ,

因为PD=PE=y[^,PC=2.

所以sinZPCE=sinZPCD=^~,

所以NPCB=NPC4=60°,

所以POLCO,CO为NACB的平分线，

所以NOCD=45°,所以00=8=1,0C=yf2,

又PC=2,所以PO=14—2=72.

p

答案：啦

【加练备选•拔高】

如图,在直三棱柱ABC-ABG中，侧棱长为2,AC=BC=1,ZACB=90°,D是

AB的中点,F是BBi上的动点,AB„DF交于点E.要使AB」平面C.DF,则

线段BF的长为.

【解析】设BF=x,因为ABJ平面GDF,DFU平面GDF,所以ABJDF.

由已知可得AB=A/2设Rtz^AAB斜边AB1上的高为h,则DE=-h.

2

义2义捺hj22+(V2)2,

所以h二型,DE=—.

33

在RtADBlE中，BBJ(.2舟2哼

在RSDBF中，由面积相等得手J%2+(当2亭x,解得x=|

1

即线段BF的长为二

答案:已1

2

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中，ABJ_平面PAD,AB〃DC,PD=AD,E是PB

的中点,F是DC上的点且DF=-AB,PH为4PAD中AD边上的周求证：

2

AH

⑴PH_L平面ABCD;

⑵EF_L平面PAB.

【证明】（1）因为AB,平面PAD,ABu平面ABCD,

所以平面PAD_L平面ABCD.

因为平面PAD0平面ABCD二AD,PH±AD,

所以PH_L平面ABCD.

⑵取PA的中点M,连接MD,ME.

因为E是PB的中点，所以ME-AB.

2

又因为DF%B,所以MEDF,

2

所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF/7MD.

因为PD=AD,所以MDJLPA.

因为AB_L平面PAD,所以MD±AB.

因为PADAB二A,所以MD_L平面PAB,

所以EF_L平面PAB.

10.(2021•哈尔滨模拟)如图，在四棱台中，O”O分

别为上、下底面对角线的交点，001，平面4BCD,底面A3CO是边长

为2的菱形，且NABC=60°.

(1)证明：AC_L平面

(2)若NOi3O=30°,求三棱锥。-3由。的体积.

【解析】(1)因为底面ABC。是菱形，所以AC_L8D,因为OO]_L平面

ABCD,所以AC_LO]O,因为801~10|0=0,所以平面⑶用口。.

(2)连接8c囱。，因为底面ABC。是边长为2的菱形且NA3C=60°,

所以08=3，0C=l.

在RtZkOQB中，03=小，

001

由tan30°得OO\=1,

又因为&01〃平面BCD,所以B1到平面BCD的距离等于01到平面

BCD的距离.

义S&BCD=3*2小XI=小,

1

所以VD-BTBC=VBI-BCD=QS^CD•。。|=告.

素养提升练（2（）分钟35分）

1.（2021•北海模拟）如图,在正三棱柱A8GA山©中,底面边长为a,

侧棱长为4且点。是3G的中点，则直线AQ与侧面A331Al

所成角的正切值的最小值是（）

V130V39

1313

【解析】选D.取A/i的中点E,连接BE,C\E,则GE_LA圈.由正三

棱柱的性质可知，平面AiSCJ■平面ABB\A1,而平面ABGA平面

ABB}A}=A\B\,所以G£_L平面A83|A].

取8E的中点F,连接AF,DF.因为D为BC）的中点，所以DF//CR

所以平面A8BA，即点。在平面A83]A]上的投影为点R所以

ZDAF,即为直线A。与侧面ABB^所成角.

1S

在RtAAFD中，DF=^。山=宁。，

…亭）2+6）2,

“，一一DFy[3a/—1—、/1

所以tanZDAF==/号，/="/-----TTJ/-----7=

人户后”线…

,当且仅当a=h时，等号成立.

所以直线49与侧面ABBMi所成角的正切值的最小值为普.

2.如图，正三角形玄。所在平面与正方形A3CQ所在平面互相垂直,

。为正方形ABCQ的中心，M为正方形ABC力内一点，且满足MP=

MC,则点M的轨迹为（）

【解析】选A.取A。的中点E,连接尸E,PC,CE.

由PE_L4。知PE_L平面ABCD,

从而平面PECL平面ABCD,取PC,AB的中点F,G,连接DF,DG,

FG,

由PD=DC知DFLPC,由DGA.EC^,QGJ■平面PEC,又PCu平

面PEC,

所以QG_LPC,DFHDG=D,所以PC,平面G,又点尸是PC的

中点，

因此，线段DG上的点满足MP=MC.

3.在直三棱柱ABCA/iG中,平面a与棱AB,AC,AQ,4名分别

交于点£,F,G,H,且直线A4i〃平面a.有下列三个命题：①四边形

E/G”是平行四边形；②平面a〃平面BCCB；③平面a,平面BCFE.

其中正确命题的序号是.

【解析】如图所示，

因为44]〃平面a,平面aG平面AAXBXB=EH,所以A4/E”.同理441

//GF,所以EH"GF,又因为ABC-A|3|G是直三棱柱，易知EH=GF

=44”所以四边形ENG”是平行四边形，故①正确；若平面a〃平面

BCGBi，由平面aG平面Ai8Ci=G"，平面8CG囱Cl平面=

3|G，知G”〃81G，而GH〃8|G不一定成立，故②错误；由

平面BCFE,结合AA]〃由知EH1.平面BCFE,又EHu平面a,所以

平面a_L平面3CFE,故③正确.

答案：①③

4.（10分）（2021・丽江模拟）如图,在直三棱柱ABC-OB£中，已知AC±

BC,BC=CCt.设AB,的中点为D,B,CnBC,=E,连接DE.

求证：⑴DE〃平面AACC;

(2)BCl±AB1.

A

【证明】（1）由题意，知E为B£的中点.

又D为AB】的中点，所以DE/7AC.

又因为DEC平面AACC,ACu平面AAGC,

所以DE〃平面AACC.

⑵因为棱柱ABC-ABG是直三棱柱，

所以CG_L平面ABC.

因为ACu平面ABC,所以AC±CC1.

又因为AC±BC,CGu平面BCCB,BCu平面BCCB,BCCICCkC,

所以ACJL平面BCCB.

又因为BCiC平面BCCB,所以BCi±AC.

因为BC=CG,所以矩形BCCB是正方形，

所以BGJLBC

因为ACu平面BiAC,B£u平面B,AC,ACABiC=C,

所以BG_L平面B,AC.

又因为AB,c平面BiAC,所以BG_LABi.

5.（10分）如图,在直三棱柱ABC-ABC中,BD_L平面AB,C,其垂足D落在

直线B,C上.

A

BC

(1)求证:AC_LBC;

⑵若P是线段AB上一点,BD=V3,BC=AC=2,三棱锥B-PAC的体积为弓,

求生的值.

PB

【解析】（1）因为ABC-ABG是直三棱柱，

所以AC_LBB“

又BD_L平面ABC,ACc平面AB£,

所以AC_LBD,又因为BDABBFB,BDC平面BBGC,BB,c平面BBCC,

所以AC_L平面BBCC,因为B£u平面BBCC,

所以AC_LBC

⑵由⑴知AC_L平面BBCC,

所以AC±BC,因为BC=AC=2,

所以AB=2位,C至IAB的距离为企,

=

设APx,贝IS/^PAC二—•x•V2—--x,

22

因为BD±B1C,BC=2,BD=V3,

所以DC二

2

由BB±BC,得BC2=CD•OB）,CBF—=4,

1CD

所以J42-22:2班,

所以｝=--^x-2>/3=—,

Br-PAC323

、，

所z以X二一x/2,所2以7A一p1